2019屆高考數(shù)學大一輪復習第十章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例10.3相關(guān)性最玄乘估計與統(tǒng)計案例課件文北師大版

1、10.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 第十章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 基礎(chǔ)知識自主學習 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學習 1.相關(guān)性相關(guān)性 (1)通常將變量所對應的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖， 通常稱這種圖為變量之間的 . (2)從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點會有一 個集中的大致趨勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似，這樣 近似的過程稱為 . (3)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動， 則稱變量間是 的，若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直 線)附近波動，則稱此相關(guān)是 的.如果所有的點在散點圖中 沒有顯示 關(guān)系，

2、則稱變量間是 的. 知識梳理 散點圖 曲線擬合 非線性相關(guān) 線性相關(guān) 任何不相關(guān) 2.線性回歸方程線性回歸方程 (1)最小二乘法 如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用y1(abx1)2 y2(abx2)2yn(abxn)2來刻畫這些點與直線yabx的接 近程度，使得上式達到最小值的直線yabx就是所要求的直線，這 種方法稱為最小二乘法. (2)線性回歸方程 方程ybxa是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2， y2)，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù). b a 3.回歸分析回歸分析 (1)定義：對具有 的兩個變量進行統(tǒng)計分析

3、的一種常用方法. (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中， 稱為樣本點的中心. 相關(guān)關(guān)系 當r0時，表明兩個變量 ； 當r2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； 當23.841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； 當26.635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián). 題組一思考辨析題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系. () (2)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關(guān)關(guān) 系.() (3)只有兩個變量有相

4、關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預測價值.() 基礎(chǔ)自測 123456 (4)某同學研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關(guān)系，得線性回歸方 程y2.352x147.767，則氣溫為2時，一定可賣出143杯熱飲.() (5)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的2值越大.() 12456 3 題組二教材改編題組二教材改編 2.為調(diào)查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名 女生中有70名近視.在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，用下 列哪種方法最有說服力 A.回歸分析 B.均值與方差 C.獨立性檢驗 D.概率 答案 解析解析“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，

5、應用獨立性檢驗 判斷. 解析 12456 3 3.下面是22列聯(lián)表： 答案 解析解析a2173， a52.又a22b，b74. 解析 12456 則表中a，b的值分別為 A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 3 y1y2合計 x1a2173 x2222547 合計b46120 4.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進 行了5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y 0.67x54.9. 設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a， 則62a758189755，a68. 解析答案 12456 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為

6、_. 68 3 零件數(shù)x(個)1020304050 加工時間y(min)62758189 題組三易錯自糾題組三易錯自糾 5.某醫(yī)療機構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n1 000)，利用22列聯(lián)表和2 統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān).計算得24.453，經(jīng)查閱臨界值表 知P(23.841)0.05，現(xiàn)給出四個結(jié)論，其中正確的是 A.在100個吸煙的人中約有95個人患肺病 B.若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病 C.有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)” D.只有5%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)” 解析答案 12456 解析解析由已知數(shù)據(jù)可得，有10.0595%的把握認為“患肺病與吸煙 有關(guān)”. 3

7、 現(xiàn)已知其線性回歸方程為y0.36xa，則根據(jù)此線性回歸方程估計數(shù) 學得90分的同學的物理成績?yōu)開.(四舍五入到整數(shù)) 6.在一次考試中，5名學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚?已知學生的數(shù)學 和物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系) 解析答案 12456 73 3 學生的編號i12345 數(shù)學成績x8075706560 物理成績y7066686462 124563 所以660.3670a，a40.8， 即線性回歸方程為y0.36x40.8. 當x90時，y0.369040.873.273. 題型分類深度剖析 1.觀察下列各圖形， 解析答案 題型一相關(guān)關(guān)系的判斷自主演練自主演練 其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的

8、圖是 A. B.C. D. 解析解析由散點圖知中的點都分布在一條直線附近. 中的點都分布在一條曲線附近，所以中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系. A.逐年比較，2008年減少二氧 化硫排放量的效果最顯著 B.2007年我國治理二氧化硫排放 顯現(xiàn)成效 C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 2.(2018廣州質(zhì)檢)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量 (單位：萬噸)的條形統(tǒng)計圖.以下結(jié)論不正確的是 解析答案 解析解析從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到 2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，

9、A選項正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確； 雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體 呈遞減趨勢，C選項正確； 自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，D選項錯誤，故 選D. x，y是負相關(guān)關(guān)系； 在該相關(guān)關(guān)系中，若用y 擬合時的相關(guān)系數(shù)為r1，用ybxa 擬合時的相關(guān)系數(shù)為r2，則r1r2； x，y之間不能建立線性回歸方程. 3.x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_. 解析答案 2 1e c x c 由散點圖知用y 擬合比用ybxa擬合效果要好，則r1r2，故 正確； 解析解析在散點圖中，點散布在

10、從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負 相關(guān)關(guān)系，故正確； 2 1e c x c x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故錯誤. 判定兩個變量正，負相關(guān)性的方法 (1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分 布從左上角到右下角，兩個變量負相關(guān). (2)相關(guān)系數(shù)：r0時，正相關(guān)；r0時，正相關(guān)；b0時，負相關(guān). 思維升華思維升華 典例典例 (2017全國)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗 員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm). 下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的盡寸： 題型二線性回歸分析師生共研師生共研 抽取

11、次序12345678 零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 抽取次序910111213141516 零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 (1)求(xi，i)(i1,2，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生 產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|0.25，則可 以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小)； 解答 由于|r|0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行 而系統(tǒng)地變大或變小. (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在 之外的零件， 就認為

12、這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天 的生產(chǎn)過程進行檢查. 從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？ 解答 解答 解解剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 因此這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02. 剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為 思維升華思維升華 線性回歸分析問題的類型及解題方法 (1)求線性回歸方程 利用公式，求出回歸系數(shù)b，a. 待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù). (2)利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值. (3)利用回歸直線判斷正、負相關(guān)；決定正相關(guān)還是負相關(guān)的是系數(shù)b. (4)回

13、歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當|r|越趨近于1時， 兩變量的線性相關(guān)性越強. 跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018惠州月考)以下是某地收集到的新房屋的銷售價格y和房 屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積x(m2)11511080135105 銷售價格y(萬元)24.821.618.429.222 (1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖； 解答 解解數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示： (2)求線性回歸方程，并在散點圖中畫出回歸直線； 解答 設(shè)所求線性回歸方程為ybxa，則 故所求線性回歸方程為y0.196 2x1.814 2. (3)根據(jù)(2)的結(jié)果估計當房屋面積為150 m2時的銷售價格. 解答 解解根據(jù)(2)，當x

14、150時，銷售價格的估計值為 y0.196 21501.814 231.244 231.2(萬元). 典例典例 (2017全國)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的 產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單 位：kg)，其頻率分布直方圖如下： 題型三獨立性檢驗師生共研師生共研 (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； 解答 解解舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.0120.0140.0240.0340.040)50.62. 因此，事件A的概率估計值為0.62. (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱

15、產(chǎn)量與 養(yǎng)殖方法有關(guān)： 解答 箱產(chǎn)量6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). 箱產(chǎn)量10.828，所以有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”. (2)根據(jù)22列表中的數(shù)據(jù)利用獨立性檢驗的方法判斷是否有99.9%的把 握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”？ 解答 解解將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得： P(2k)0.0100.001 k6.63510.828 思想方法指導思想方法指導 回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學方法.主要解決： (1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學 表達式；(2)根據(jù)一組觀測值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨 勢；(3)

16、求出線性回歸方程. 求線性回歸方程的方法技巧 思想方法思想方法 典例典例 (12分)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)： (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程ybxa； (2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預測該地2018年的糧食需求量. 思想方法指導規(guī)范解答 年份20062008201020122014 需求量/萬噸236246257276286 規(guī)范解答規(guī)范解答 解解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來求 線性回歸方程，先將數(shù)據(jù)處理如下表. 年份201042024 需求257211101929 由上述計算結(jié)果，知所求線性回歸方程為

17、y2576.5(x2010)3.2， 即y6.5(x2010)260.2. 8分 (2)利用所求得的線性回歸方程，可預測2018年的糧食需求量大約為 6.5(20182010)260.26.58260.2312.2(萬噸). 12分 課時作業(yè) 1.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)系 數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是 A.模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.98 B.模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.80 C.模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.50 D.模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.25 基礎(chǔ)保分練 解析答案 12345678910111213141516 解析解析相關(guān)系數(shù)r越大，擬合效果越好，因此模

18、型1擬合效果最好. 2.(2018洛陽月考)為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別 從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù) 分析，下列說法正確的是 A.有99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀 B.有99%的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C.有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D.沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 12345678910111213141516 解析答案 12345678910111213141516 解析解析只有26.635才能有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革 有關(guān)系，而即使26.635也只是對“該電視欄目

19、是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系” 這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關(guān).故只有D 正確. 解析答案 12345678910111213141516 解析答案 12345678910111213141516 12345678910111213141516 線性回歸方程為y4x70. 將x24代入上式，得y42470166.故選C. 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得的線性回歸方程為ybxa.若某同學根據(jù)上表中 的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為ybxa，則以下結(jié)論 正確的是 A.bb，aa B.bb，aa C.ba D.bb，aa 5.(2018湖南永州模擬)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)

20、如下表： 解析答案 12345678910111213141516 x123456 y021334 12345678910111213141516 解析解析由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y2x2，b2，a 2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)， 所以ba. 6.某地2009年至2015年中，每年的人口總數(shù)y(單位：萬)的數(shù)據(jù)如下表： 若t與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則其回歸直線ybta一定過點 A.(3,9) B.(9,3) C.(6,14) D.(4,11) 解析答案 12345678910111213141516 年份20092010201120122013201

21、42015 年份代號t0123456 人口總數(shù)y888991011 所以回歸直線ybta一定過點(3,9). 根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是_，家庭年平均收入 與年平均支出有_相關(guān)關(guān)系.(填“正”或“負”) 7.某市居民20102014年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出y(單 位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示： 12345678910111213141516 13 解析答案 解析解析中位數(shù)是13.由相關(guān)性知識，根據(jù)統(tǒng)計資料可以看出，當年平均收 入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系. 年份20102011201220132014 收入x11.512.1131

22、3.315 支出y6.88.89.81012 正 8.以下四個命題，其中正確的序號是_. 從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品 進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣； 兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1； 在線性回歸方程y0.2x12中，當自變量x每增加一個單位時，因變量 y平均增加0.2個單位； 對分類變量X與Y的統(tǒng)計量2來說，2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程 度越大. 解析答案 12345678910111213141516 解析解析是系統(tǒng)抽樣； 對于，統(tǒng)計量2越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小. 9.為了判斷高中三年級學生選修文科是否

23、與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名 學生，得到如圖所示22列聯(lián)表： 解析答案 12345678910111213141516 95% 理科文科總計 男131023 女72027 總計203050 12345678910111213141516 因為5.0244.8443.841， 所以有95%的把握認為選修文科與性別有關(guān). 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程ybxa中的b2，預測當氣溫為4 時， 用電量約為_度. 解析答案 12345678910111213141516 68 10.某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4 天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表： 氣溫()181310

24、1 用電量(度)24343864 12345678910111213141516 因為回歸直線過樣本點的中心，所以a40(2)1060， 所以當x4時，y(2)(4)6068，所以用電量約為68度. 11.某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù) 如下表： 解答 12345678910111213141516 (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程； 年份2009201020112012201320142015 年份代號t1234567 人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9 解解由所給數(shù)據(jù)計算得 12345678910111213141516 1234

25、5678910111213141516 所求線性回歸方程為y0.5t2.3. (2)利用(1)中的線性回歸方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭 人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入. 解答 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解解由(1)知，b0.50，故2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純 收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 將2018年的年份代號t10代入(1)中的線性回歸方程，得y0.510 2.37.3， 故預測該地區(qū)2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.3千元. 12

26、.(2017西安質(zhì)檢)某省會城市地鐵將于2017年6月開始運營，為此召開了一 個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了50人，他們的收 入與態(tài)度如下： 12345678910111213141516 月收入(單 位：百元) 15，25) 25， 35) 35，45) 45，55)55，65)65，75) 贊成定價者 人數(shù) 123534 認為價格偏 高者人數(shù) 4812521 12345678910111213141516 解解 “贊成定價者”的月平均收入為 “認為價格偏高者”的月平均收入為 “贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1x2 50.5638.7511.81

27、(百元). (1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定 價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差異是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))； 解答 解答 12345678910111213141516 (2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認為“月收 入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”. 月收入不低于55百元 的人數(shù) 月收入低于55百元 的人數(shù) 總計 認為價格偏高者 贊成定價者 總計 P(2k)0.050.01 k3.8416.635 沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有 差異”. 12345678910111213141516 解解根據(jù)條件可得22列聯(lián)表如下： 月收入不低于 55百元的人數(shù) 月收入低于55百 元的人數(shù) 總計 認為價格偏高者32932 贊成定價者71118 總計104050 技能提升練 解析答案 12345678910111213141516 14.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法 從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 12345678910111213141516 性別 是否需要志愿者 男女 需要4030 不需要160270 (1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； 解答 12345678910111213141516 (