人教版必修4《第二章平面向量》2020年單元測試卷(二)

1、人教版必修4第二章平面向量2020 年單元測試卷 （二）一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）?=(31? ，則銳角 ?為 ( )1. 設2, ?)= (?,)，3 ，且 ?/?A. 30B. 60C. 75D. 452. 下列命題正確的是 ( )A. 單位向量都相等B. 若 ?與 ? 共線， ?與 ?共線，則 ?與 ?共?線?C. 若 | ?+ ?|= | ?- ?| ，則 ?= 0D. 若 ?與 ? 都是單位向量，則 ?= 1?3. 設向量 ?= (? -? 的夾角大于 90，則實數(shù)2, ?+ 3) ，?= (2? + 1, ? -2) ，若 ?與 ?m 的取值范圍是 ()A.

2、C.4(-3 ,2)4(-2,3)B.D.4(- ,- 3) (2, +)4(- ,2) ( 3 , +)4. 平行四邊形 ABCD 中， AC 為一條對角線，?， ?= (1,3)，則? ? 等= (2,4)? ?于 ( )A. 6B.8C. -8D. -65.已知| ?| = 1，?，則向量 ?與向量?的夾角是 ( )|?| =6?(?- ?)? =?2?A. 6B. 4C. 3D. 26.關于平面向量?，有下列四個命題：?, ?,? 若?/?,? 0，則存在?，使得 ?=；? 若 ?=0，則 ?=0或?= 0； 存在不全為零的實數(shù)?，? ；?使得 ?= ?+ ? 若?=?(?- ?)?，

3、則其中正確的命題是 ()A. B. C. D. 7.已知 | ?| = 5，| ?| =3，且?= -12上的投影等于 ()，則向量 ?在向量 ?1212A. -4B.4C. -5D. 5?()8.已知 O、A、 M、 B 為平面上四點，且?= ?+ (1 -，?(1,2)，則?)?A. 點 M 在線段 AB上B. 點 B在線段AM 上C. 點A在線段BM上D.O、 、M、B四點一定共線A9.P 是?內的一點?1? ?)?= 3(?+ ?)，則 ?的面積與 ?的面積之比為 (3A. 2B.3C. 2D. 610. ?中， ?= ?2，?= ?2，若?= ?+ ?，則?+ ?= ( )278D.

4、A. 3B. 9C. 9111. 已知 3 ?+?()4 ?+ 5 ?= 0，且 | ?| =|?| = |?| =1 ，則 ?(?+ ?)? =A. 0B.3C.3D.4- 55-5第1頁，共 11頁12. 定義平面向量之間的一種運算“”如下： 對任意的?，令 ?= (?, ?),?= (?,?)?= ?-，下面說法錯誤的是( )? 共線，則 ? ?A. 若 與?= 0B. ?= ? ?C. 對任意的 ?，有 (?) ?= ?(? ?)? 2? 2=2?2D. (? ?) + (?)| ?| ?|二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13.?，若向量?與向量 ?= (-4,-7)共線

5、，則 ?=_設向量 ?= (1,2) ，?= (2,3)?+ ? ?的夾角為 120， = 1 ，= 3? =_14.?已知 與?，則 5 ?- ?1?垂直，則直線 l15.2 )，直線 l 過點 ?(3,-1)，且與向量?+ 2已知 ?= (6,2) ，?= (-4,?的一般方程是 _ 16.?(5,1) ，設 M 是直線 OP 上任意一點 (為坐已知向量 ?= (2,1) ，?= (1,7) ，?=標原點 ) ，則 ?的最小值為 _ ?三、解答題（本大題共6 小題，共70.0 分）17. 如圖所示，以向量 ?= ?， ? ? 為邊作= ?， ? 表示 ?、?、 ?AOBD?1?1?，又，?

6、，用?= 3= 318. 已知 ?， ? 的夾角為 120，且 | ?| = 4， | ?，求：?|=2? ? ；(1)(? - 2 ?) ?(?+ ?)(2)| ?+ ?|；(3)|3 ?- 4 ?|.19. 已知 ?= ( 3, -1)?13kt2?， ?=， ?= (2,2 ) ，且存在實數(shù)和 ，使得 ?= ?+ (? -3) ?2?+?-? ?+ ?，且 ?，試求的最值?第2頁，共 11頁20. 已知?，?，?，在?上是否存在點M，使 ?，= (2,5)?= (3,1)= (6,3)若存在，求出點M 的坐標；若不存在，請說明理由、?滿足 | ?、?的夾角為21. 設兩向量 ?21| =

7、 2，|?| = 1，?2121向量 ?1 + ?2的夾角為鈍角，求實數(shù)t 的取值范圍60，若向量 2? + 7 ?與1222. 已知線段 PQ 過 ?的重心 G，且 P、Q 分別在 OA、OB 上，設 ? ，? ? ，?= ? ?= ?， ?1+1，求證：?= 3=?= ?第3頁，共 11頁答案和解析1.【答案】 D【解析】【分析】直接利用向量的平行，向量的坐標運算，推出?的三角函數(shù)值，求出銳角?本小題考查向量的平行，三角函數(shù)的值求角，考查計算能力【解答】解：因為 ?= (3?1? ，2,?，?)= (?,)，?/3?31所以 ?-1，所求角 ?為銳角，23= 0 ，即 ?2?=所以 2?=

8、 90，?= 45 故選 D2.【答案】 C【解析】【分析】本題考點是向量的共線與相等， 屬于對基礎概念考查的題目， 解答此類題需要對相關的概念熟練掌握才能正確作答題設條件簡單，本題的解題需要從選項入手，逐一進行驗證排除【解答】解：向量有大小、方向兩個屬性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A 不對；是零向量時，若 ?與? 共線， ? 與 ?共?線，則 ?與 ?共?B 選項對三個非零向量是正確的，若?線不一定成立當兩個向量互相垂直時兩向量和的模與差的模一定相等，故C 選項是正確的若 ?與 ?都是單位向量，則 ?= 1不一定成立，當兩者垂直時，數(shù)量積為零故選： C3.【答案】 A【解析】解：由

9、 ?與 ? 的夾角大于 90，得到兩個向量的夾角的余弦值小于0?，即? ? 0，?所以 (? - 2)(2? + 1) + (? + 3)(? -2) 0 ，整理得 3?2 - 2? - 8 =， 可能?=0，而 |?； ?|cos ?,0cos ?,? 0, |? 0即 ?，且 |?|? 0, |? 0， 該命題錯誤；| |? 不共線時，便不存在不全為0 的實數(shù) ?， ?使得?， ? 0，且 |? 當?= 0|0，且 ?, ? ， 該命題錯誤；?= ?+ ? 若 ?= ? ?則 ?- ?= ?(?- ?)? = 0；?(?- ?)?， 該命題正確；正確的命題是 故選 B7.【答案】 A【解析

10、】 解： | ?| = 5， | ?，且?= -12，則向量 ?在向量 ? 上的投影等于 | ?| ?| = 3?-12?= | ?| ?|?|?|=3=-4故選： A?根據(jù)投影的定義，應用公式| ?|cos =|? 求解本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運用8.【答案】 B【解析】【分析】?將已知等式變形，利用向量的運算法則得到=?，利用向量共線的充要條件得到第5頁，共 11頁兩個向量共線，得到三點共線，據(jù) ?(1,2) ，得到點 B 在線段 AM 上本題考查向量的運算法則、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點共線【解答】解： ?=?+(1-即 ? ?= ?，M

11、，B 共線點 B在線段 AM上故選 B9.【答案】 B?)?,?(1,2)?-= ?( ?-)?/?(1,2)【解析】 解：設1? ? ，則 D 是 BC 的中點，2(?+ ?)= ?1?，?= 3 (?+ ?)?2 ? ，?=?3如圖，過D 作 ?/?，交 AC 于 E，過 P 作 ?/?，交 AC于 N，交 BC于 M，設 ?在AB邊上的高為hAB1，則 ?在邊上的高為 3 ?，21 |?|?的面積與 ?的面積之比 = 11= 32 |?|3 ?故選： B1? ?，則 D 是 BC 的中點，由?1? ?2?，設 ?設?(?+ ?)，知 ?=32(?+ ?)= ?= 3?在 AB 邊上的高為

12、h，則 ?在 AB 邊上的高為 13 ? ，由此能求出 ?的面積與 ?的面積之比三角形面積性質：同 ( 等) 底同 ( 等 )高的三角形面積相等；同 ( 等 ) 底三角形面積這比等于高之比；同 ( 等) 高三角形面積之比等于底之比10.【答案】 B【解析】 解： ? ?，? ?，?= 2= 2?+?，?=+?= 2?，?= 3 ? ?= 3 ?，?= ?+? ? ?，?2 ?+ ?= ?(?+)?+?(2?+ 3?)= (3? + 2?) + 3?43? + 2?=2，?= 93?=11?= 3417?+ ?= ?9 + 3 = 9故選： B2 ? ?由向量的運算法則和題設條件知? ?+?=?

13、(?+)?+?(2 ?+ 3?)=第6頁，共 11頁(3? + 2?)?+ 3?，所以 3? + 2?= 2 ，由此能得到 ?+ ?的值3?= 1本題考查平面向量的運算，解題時要根據(jù)實際情況靈活地運用公式進行求解11.【答案】 B【解析】 解： | ?| = | ?| = | ?| = 1，設向量 ?， ?， ?分別是向量 3 ?， 4 ?， 5 ?的?單位向量，由3?+ 4 ?+ 5 ?= 0， 5 ?構成一個封閉的三角形ABC，向量 3 ?， 4 ?，向量 ?，?= 4?= 3?= 5?根據(jù)勾股定理，?是直角三角形，且 ?= 90，cos =- 3，5?，?，?= 0?(?+ ?)? =

14、?+ ?= ?= | ?| ?| ?|? ?cos 3 3= 11(- 5) = - 5故選： B由已知條件推導出向量3 ?，4 ?，5 ?構成一個封閉的三角形ABC ，由勾股定理可得?是直角三角形，且?= 90，展開 ?(?+ ?)?，利用數(shù)量積公式求得答案本題考查平面向量數(shù)量積的運算，合理地構造三角形，用勾股定理解題是關鍵，屬中檔題12.【答案】 B【解析】 解：對于A，若 ?與?共線，則有 ? ?= ?- ?= 0，故 A 正確；對于 B，因為 ? ?= ?- ?，而 ? ?= ?-?，所以有 ? ? ? ?，故選項B 錯誤，對于 C，(?)? ?= ?- ?，而 ?(? ?)? = ?

15、(?- ?)= ?- ?，故 C 正確，對于D，(?2?2222222)+ (?)= (?- ?)+ (?+ ?)= (? + ?)(? + ?) =| ?|2 | ?|2 ， D 正確；故選： B根據(jù)題意對選項逐一分析若?與 ? 共線，則有?= ?-?= 0，故 A 正確；因為 ?，而，所以有?，故選項B錯誤，? ?= ?-? ? ?= ?-? ?對于C，?，而?，故 C 正確，(?)? ?= ?-? ?(? ?) = ?(?- ?)= ?-?對于D，(? ?2?2222222?)= (?- ?)+ (?+ ?)= (?+ ?)(? + ?) =)+ (?| ?|2 | ?|2 ， D 正確

16、；得到答案本題在平面向量的基礎上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎知識以及分析問題、解決問題的能力13.【答案】 2【解析】 解： 向量 ?=(1,2)?2,2?+ 3) ， ?= (2,3) ，若向量 ?+ ?= (?+又向量?+與向量 ?= (-4,-7) 共線，?(?+ 2) (-7)- (2?+ 3)(-4) = 0 ，?= 2故答案為： 2由已知條件，求出?+? ，利用共線向量的充要條件列出方程，求出?的值?第7頁，共 11頁本題考查了平面向量的應用問題，解題時按照平面向量的運算法則進行計算，即可得出正確的答案，是基礎題14.【答案】 7【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算把條件

17、代入(|5 ?- ?2化簡求值，再開方后就是所要求的向量模|)本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的模問題，屬于基礎題【解答】解：由題意得， (|5 ?- ?|) 2 =2225 ? + ? - 10 ?= 25 + 9 - 10 1 3 ?120= 49， ? ?，|5 ?- ?| = 7故答案為： 715.【答案】 2?- 3?- 9 = 0(6,2) ， ?= (-4,1【解析】 解： 由于 ?=2) 而?+ 2 ?= (-2,3) ，設 ?(?,?)為直線 l 上任意一點， 由向量?+ 2? 垂直與直線 l，得直線 l 的一般方程是 2?-?3?- 9 = 0故答案為： 2?- 3?- 9

18、= 0?1?=(-2,3)，由于直線 l 過點 ?(3,-1)且與向量 ?+ 2 ?由于 ?= (6,2) ， = (-4,2) 而?+ 2垂直，利用條件及直線的方程的定義即可此題考查了向量的坐標的加法運算律，直線的方程及方程的思想求解問題16.【答案】 -8【解析】【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)量積的坐標運算及二次函數(shù)求最值，是中檔題由題意設 ?，則 ?、 ?= ?，利用向量三角形減法法則求得?= (2?,?)的坐標，得到關于?的二次函數(shù)求最值【解答】?，則 ?解：由題意設 ?，?，=?=(2?,?)又 ?(1,7)， ?，=?= (5,1)， ?(1 - 2?,7 -=-?=

19、?)=?-?= (5 - 2?,1 - ?)?=(1 -2?,7 - ?)?(5 -2?,1 -?)=(1 - 2?)(5 -2?)+ (7 -?)(1- ?)2= 5? - 20?+ 12對稱軸方程為 ?=2，當 ?= 2 時，?的?最小值為 5 22- 202+12= -8 ?故答案為： -817.【答案】 解：如圖所示，第8頁，共 11頁以向量 ?，?為邊作平行四邊形AOBD ，?= ?= ?又 ?1?1 ?，?，= 3=3所以? 1?=?+=?+3?1?15 ?，= ?+ 6 (?- ?) = 6 ?+ 6 ?由 ?= 1 ?= 1 ?，33所以 ?4? 2? ?2?=3?=3?(?+

20、 ?)?=3(?+ ?)，所以? ?=?-=2 (?+ ?) -1 ?-5 ?36611= 2 ?- 6 ?【解析】 利用平面向量的三角形法則和平行四邊形法則解答即可本題考查了平面向量的平行四邊形法則和三角形法則的運用，熟記法則是解答的關鍵，屬于基礎題? 的夾角為 120，且 | ?| = 4， | ?，18.【答案】 解： ?， ?| = 2可得 ?= 4 2 ?120= -8 12 = -4 ，22(1)(? -?24+4= 12；2 ?) ?(?+ ?) =? - 2 ? - ?= 16 -(2)| ?+? 2 2? 2?16 + 4- 24=23；?| =(?+ ?)= ? + ? +

21、 2 ?=(3)|3 ?-?(3 ?-? 22?24?| =4?) =9?-24 ?+ 16 ?= 9 16 + 24 4 + 16 4 = 419【解析】 運用向量數(shù)量積的定義，可得 ?= -4 ，由向量數(shù)量積的性質：向量的平方即為模的平方，計算即可得到(1) 、 (2) 、(3) 的值本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質， 主要是向量的平方即為模的平方， 考查運算能力，屬于中檔題19.【答案】 解：由題意有|?|=2+ (-1)2= 2，?| =3212= 1( 3)|( )+ ( )22因為?13? ?=32- 12 = 0，故有 ?因為 ?，故 ?= 03?+ (? -3)? ?(-? ?

22、+ ?) =0?-3?2化簡得 ?=421 2127?+? =4 (? + 4?- 3) =4 (?+ 2)-4當 ?=27-2 時， ?+?有最小值為 -?4第9頁，共 11頁【解析】 由? ，再由 ?，可得 ?= 0 ，即2? ?=0可知 ?+ (? -3) ?(-? ?+3?) =0，化簡得 ?=?-3?421?+?=23) ，根據(jù)二次函數(shù)的性質可求最值?4(? + 4?-本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質：?的應用，還考查了利用二次函? ?= 0數(shù)的性質求解函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉化思想在解題中的應用20.【答案】 解：設存在點M，且?，?= ?= (6?,3?)(0 ? 1)?，=(2 - 6?,5 - 3?)?= (3 - 6?,1 - 3?)?，?(2 -6?)(3 -6?)+ (5 -3?)(1 -3?)=0，即248?+ 11= 0 ，45? -解得 ?=1或?= 113152211?= (2,1) 或 ?= ( 5 , 5 ).2211存在 ?(2,1) 或 ?( 5 , 5 ) 滿足題意【解析】 利用三點共線即向量共線，利用向量共