二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識和經(jīng)典練習(xí)題

1、二次函數(shù)一、基礎(chǔ)知識1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的表示方法：數(shù)表法、圖像法、表達(dá)式.3.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：（；(頂點(diǎn)式)；（.它們的圖像都是對稱軸平行于（或重合）軸的拋物線.4.各種形式的二次函數(shù)的圖像性質(zhì)如下表：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()1.拋物線中的系數(shù) （1）決定開口方向： 幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（

2、2）和共同決定拋物線對稱軸的位置：當(dāng)時(shí)，對稱軸為軸；當(dāng)、同號時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)、異號時(shí)，對稱軸在軸右側(cè).（3）決定拋物線與軸交點(diǎn)位置：當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)； 當(dāng)時(shí),相交于軸的正半軸；當(dāng)時(shí),則相交于軸的負(fù)半軸.2.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對稱軸是直線.（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對稱軸是直線.其中.（3）運(yùn)用拋物線的對稱性：拋物線是軸對稱圖形，所以對稱點(diǎn)的連線的垂直平分線就是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).3用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂

3、點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）兩點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.4.拋物線與軸的交點(diǎn)設(shè)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式來判定：（1）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）；（3）拋物線與軸沒有交點(diǎn).5.二次函數(shù)的應(yīng)用一、的性質(zhì)1已知二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 。 解：2二次函數(shù)的圖象如圖，則直線的圖象不經(jīng)過第 象限。 理由：3.二次函數(shù)的圖象如圖，試判斷a、b、c和的符號。解：4.二次函數(shù)的圖象如圖，下列結(jié)論（1）c0；

4、（2）b0；（3）4a+2b+c0；（4）（a+c）20，其中正確的是：（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 理由：5 二次函數(shù)的圖象如圖，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c這四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有（ ）A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)理由：6 已知直線的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，那么的圖象為（ ）A B CD7已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是( )Ax1Bx1Cx2D2x48二次函數(shù)ya(xk)2k，當(dāng)k取不同的實(shí)數(shù)值時(shí)，圖象頂點(diǎn)所在的直線是( )AyxBx軸CyxDy軸9已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如右圖所示，則( )Aa0，c0，b24ac0 Ba0

5、，c0，b24ac0Ca0，c0，b24ac0 Da0，c0，b24ac010已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如下圖所示，則( )Ab0，c0，D0 Bb0，c0，D0Cb0，c0，D0 Db0，c0，D011二次函數(shù)ymx22mx(3m)的圖象如下圖所示，那么m的取值范圍是( )Am0Bm3Cm0D0m312在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)ykx2和ykx2(k0)的圖象大致如圖( )13函數(shù)(ab0)的圖象在下列四個(gè)示意圖中，可能正確的是( )14圖中有相同對稱軸的兩條拋物線，下列關(guān)系不正確的是( )AhmBknCknDh0，k015已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：abc

6、0；abc2；b1其中正確的結(jié)論是( )ABCD16下列命題中，正確的是( )若abc0，則b24ac0；若b2a3c，則一元二次方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若b24ac0，則二次函數(shù)yax2bxc的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2或3；若bac，則一元二次方程ax2bxc0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根ABCD二、的最值1 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y和提出概念所用的時(shí)間x（單位：分）之間大體滿足函數(shù)關(guān)系式：（0x30）。y的值越大，表示接受能力越強(qiáng)。試根據(jù)關(guān)系式回答：（1） 若提出概念用10分鐘，學(xué)生的接受能力是多少？（2） 概念提出多少時(shí)間時(shí)？學(xué)生的接受能力達(dá)到最強(qiáng)？2 某地要

7、建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示。圖（2）建立直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系是。請回答下列問題：（1） 柱子OA的高度是多少米？（2） 噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？（3） 若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？3 體育測試時(shí)，初三一名高個(gè)學(xué)生推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線為拋物線的一部分，根據(jù)關(guān)系式回答：（1） 該同學(xué)的出手最大高度是多少？（2） 鉛球在

8、運(yùn)行過程中離地面的最大高度是多少？（3） 該同學(xué)的成績是多少？4 如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長為a的正方形ABCD的邊上，若AE=x，正方形EFGH的面積為y。（1） 求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） 正方形EFGH有沒有最大面積？若有，試確定E點(diǎn)位置；若沒有，說明理由。三、函數(shù)解析式的求法（1）1 某菜農(nóng)搭建了一個(gè)橫截面為拋物線的大棚，尺寸如圖：（1） 根據(jù)如圖直角坐標(biāo)系求該拋物線的解析式；（2） 若菜農(nóng)身高為1.60米，則在他不彎腰的情況下，在棚內(nèi)的橫向活動范圍有幾米？（精確到0.01米）2 根據(jù)下列條件求拋物線的解析式：（1） 圖象過點(diǎn)（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；（2

9、） 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3；（3） 圖象過點(diǎn)（1，-5），對稱軸是直線x=1，且圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4。3 在一場足球賽中，一球員從球門正前方10米處將球踢起射向球門，當(dāng)球飛行的水平距離為6米時(shí)，球到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)球高3米，已知球門高為2.44米，問能否射中球門？4 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-2，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值是2。（1） 求二次函數(shù)的圖象的解析式；（2） 設(shè)次二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P，求ABP的面積。5 如圖：（1） 求該拋物線的解析式；（2） 根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何范圍時(shí)，該函數(shù)值大于0。6 已知拋物線經(jīng)過A（-3，

10、0）、B（0，3）、C（2，0）三點(diǎn)。（1） 求這條拋物線的解析式；（2） 如果點(diǎn)D（1，m）在這條拋物線上，求m值和點(diǎn)D關(guān)于這條拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出tanADE的值。四、函數(shù)解析式的求法（2）1 已知某綠色蔬菜生產(chǎn)基地收獲的大蒜，從四月一日起開始上市的30天內(nèi)，大蒜每10千克的批發(fā)價(jià)y（元）是上市時(shí)間x (天)的二次函數(shù)，有近幾年的行情可知如下信息：x（天）51525 y（元）151015（1） 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2） 大蒜每10千克的批發(fā)價(jià)為10.8元時(shí)，問此時(shí)是在上市的多少天？2 如圖，某建筑物從10m高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀，如果拋物線的最高點(diǎn)

11、M離墻1m，離地面m，求水流落點(diǎn)B離墻的距離OB的長。3 一男生推鉛球，成績?yōu)?0米，已知該男生的出手高度為米，且當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離為4米時(shí)達(dá)到最大高度，試求鉛球運(yùn)行的拋物線的解析式。4 某工廠的大門是一拋物線型水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面3米高處各有一個(gè)壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6米，試求廠門的高度。5 拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E。（1） 求該拋物線的解析式；（2） 求四邊形ABDE的面積；（3） 求證：AOBBDE 。6已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象經(jīng)過一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，并也經(jīng)過(1，1)點(diǎn)求這個(gè)二次函數(shù)解析式

12、，并求x為何值時(shí)，有最大(最小)值，這個(gè)值是什么?7已知拋物線yx2bxc與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(m，0)，B(n，0)，且，(1)求此拋物線的解析式；(2)設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，過C作一條平行x軸的直線交拋物線于另一點(diǎn)P，求ACP的面積8已知拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且經(jīng)過直線yx3與x軸的交點(diǎn)B及與y軸的交點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且OMBC，垂足為D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)9某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的售價(jià)和生產(chǎn)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下：一件商品的售價(jià)M(元)與時(shí)間t(月)的關(guān)系可用一條線段上的點(diǎn)來表示(如圖甲)，一件商品的成本Q(元)與時(shí)間t(月)的關(guān)系可用一條拋物線上的點(diǎn)來表示，其中6月份成本最高(如圖乙)根據(jù)圖象提供的信息解答下面問題：(1