圓的有關證明與計算題專題

1、圓的證明與計算專題研究圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對解決后而問題的發(fā)揮有重要的影響，所以解 決好此題比較關鍵。一、考點分析：1. 圓中的重要定理：(1) 圓的泄義:主要是用來證明四點共圓.(2) 垂徑泄理:主要是用來證明一一弧相等、線段相等、垂直關系等等.(3) 三者之間的關系泄理：主要是用來證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等.(4) 圓周角性質(zhì)圧理及英推輪：主要是用來證明一一直角、角相等、弧相等.(5) 切線的性質(zhì)建理:主要是用來證明一一垂直關系.(6) 切線的判左左理：主要是用來證明直線是圓的切線.*(7) 切線長定理：線段相等、垂直關系、角相等.2. 圓中

2、幾個關鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明 和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關的計算：求線段長(或而積)；求線 段比：求角度的三角函數(shù)值(實質(zhì)還是求線段比)。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：(1) 若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化：平行轉(zhuǎn)化：直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等：有時可通過計算結合相似、勾股左理證垂直；(2) 若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線泄理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：要證直線垂直的是圓的

3、半徑(過圓上一點)：直線與半徑的關系是互相垂 直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進行由此及彼的聯(lián)想、要總結常添加的輔助線.例：(1) 如圖，M是00的直徑，BC丄43, AD/0C交00于D點，求證：CD為的切線：(2) 如圖，以Rt/ABC的直角邊為直徑作)0,交斜邊AC于D,點為BC的中點，連結DF,求證：DE是 0的切線.(3) 如圖，以等腰ABC的一腰為直徑作OO,交底邊BC于D,交另一腰于F,若DE丄&C于F (或E為CF中點), 求證：DE是00的切線.(4)如圖，是)0的直徑，AF平分ZBAF,交00于點E,過點E作直線FD丄AF,交AF的延長線于點D，

4、交2、與圓有關的計算：(1) 構造思想：如：構建矩形轉(zhuǎn)化線段：構建“射影泄理”基本圖研究線段(已知任意兩條線段可求苴它所 有線段長)；構造垂徑泄理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構造勾股左理模型：構造三角函數(shù).(2) 方程思想；設出未知數(shù)表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關系建立方程解決問題。(3) 建模思想：借助基本圖形的結論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形 的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結論，進而找岀隱藏的線段之間的數(shù)量關系。3、典型基本圖型：圖形3：如圖：RtMBC中，ZABC=90，以AB為直徑作。0交AC于D,基本結論有: 如右圖：

5、(1) DE切OOOE是BC的中點：(2 )若 DE 切00,則：DE二BE二CE：D、0、B、 四點共圓=Z CED=2A ACDCA=4B已 阮 _ CD _ BU R BD BA圖形特殊化：在(1)的條件下如圖2：若DF的延長線交&3的延長線于點匹顯；竺=2EF 3 R V2如圖DEW ABO/1ABC. ACDE是等腰直角三角形;圖形4：如圖，ZL4BC中，AB=AC.以為直徑作O,交BC于點D,交&C于點F,基本結論有：(1) deacdeWOo；(2) 在DE丄AC或DE切00下，有：ZJDFC是等腰三角形：XX“BFEF二EC；D是 的中點。與基本圖形1的結論重合。連AD,產(chǎn)生母

6、子三角形。圖形5:如圖：直線PR丄OO的半徑OB于& PQ切00于Q, BQ交直線PQ于乩 基本結論有：（1）PQ二PR （4PQR是等腰三角形）:B(2) 在 “PR丄OB、“PQ 切OOt “PQ二PR” 中，知二推一(3) 2PRRE=BR-RQ=BE-2R=AB2四.范例講解:c cl. A ABP中，Z ABP=90以&3為直徑作OO交AP于C點，弧CF二CB,過C作&F的垂線，垂足為M, MC的延長線交BP于D.（1）求證:譏。的切線：連皿P于E，若晅6, ES求等的值。2. 直角梯形ABCD中，Z BCD=90% AB=ADBC.為直徑的圓交BC于& 連OC、BD交于F求證：CD

7、為00的切線若竺-3,求竺的值AB 5 DF3如圖，AB為直徑，PB為切線，點C在OO上，ACW OP.(1)求證：PC為OO的切線。(2)過D點作DE丄AB, E為垂足，連&D交BC于G, CG=3, DE=4,求竺的值。 DB4. 如圖，已知AABC中，以邊3C為直徑的00與邊加交于點D,點后為 的中點，AF為ABC的角平分線，且 AF 丄 EC。,過D作&的垂線，F(xiàn)為垂足.(1)求證：4C與00相切；(2)若AC=6, BC=8,求EC的長5如圖，RtA ABC,以為直徑作OO交AC于點D,品=徒(1)求證：DF為00的切線:(2)若DQ3, 00的半徑為5,求taiiZEAC的值.B過

8、D作直線BC的垂線交直線于點& F為垂足.6.如圖，為00的直徑，C、D為OO上的兩點人)二DC(1)求證：EF為00的切線:（2）若 AC=6. BD=5,求sinE 的值.7.如圖，為OO的直徑半徑OCAB. D為延長線上一點，過D作00的切線，F(xiàn)為切點，連結CE交于點F.(1)求證：DE二DF；(2)連結處，若OUL, BQ3,求tanZA的值.8.如圖，RtA ABC 中，Z C=90,BD平分Z.ABC,以AB上一點0為圓心過&D兩點作00, OO交于點一點E,EF丄&C于點(1)求證：00與&C相切:(2)若 EF=3, BC=4,求 tanZA 的值.,AE=1,以AB為直徑作0

9、 0交3C于點D,(2)若 8C= 4/59. 如圖，等腰ABC中，AB=AC,(1)求證：DE為OO的切線；10. 如圖，BD為00的直徑，A為BC的中點，AD交BC于點E, F為BC延長線上一點，且FD二FE.(1)求證：DF為。0的切線:(2)若 AF=2, DE=4. BDF 的而積為83 ,求 tanZEDF 的值.11、如圖，加是00的直徑，M是線段04上一點，過M作的垂線交AC于點M交BC的延長線于點&直線CF交EN于點F,且ZECF二乙E.（1）求證：CF是OO的切線;（2）設00的半徑為1,且AC=CE=求AM的長.12如圖，是OO的直徑，BC丄&3,過點C作0的切線CE,點D是CE延長線上一點，連結&D,且AD+BUCD.（1）求證：AD是00的切線；（2）設0E交&C于F,若0Q3, EF=2,求線段8C的長.13. 如圖，4BC中，AB二BC,以AB為直徑的00交4C于點D,且CD=BD.（1）求證：BC是00的切線：（2）已知點/V分別是46 CD的中點，延長線交于E, EF/AC,分別交36 B/V的延長線于H、F,若DH=2, 求EF的長.14、如圖，是半0O上的直徑，E是址的中點，0