2019年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、2019 年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷副標(biāo)題題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共4 小題，共12.0 分）1.設(shè)函數(shù) y=f（ x），“該函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn) （1，1）”是“該函數(shù)為冪函數(shù)”的（）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件2.下列關(guān)于函數(shù) y=sin x 與 y=arcsinx 的命題中正確的是（）A. 它們互為反函數(shù)B. 都是增函數(shù)C. 都是周期函數(shù)D. 都是奇函數(shù)3. 如圖，在正方體 ABCD -A1B1C1D 1 的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線 A1B 異面且?jiàn)A角成 60的直線的條數(shù)為（）A. 3B. 4C. 5D. 64.如圖

2、，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是（）A. （ |x|-y-1） ?（1-x2+y2） =0B. （） ?（1-x2+y2） =0C. （ |x|-y-1） ?（） =0D. （） ?（） =0二、填空題（本大題共12 小題，共 36.0 分）5. 不等式 0 的解集為 _6. 雙曲線 x2- =1 的漸近線方程為 _7.若復(fù)數(shù) z=1-i （ i 為虛數(shù)單位），則z2 的共軛復(fù)數(shù)為 _8.記等差數(shù)列 an* ）的前 n 項(xiàng)和為 S59n （ nNx，若 a =1，則 S =_ 2）=1，則 （fx）=_y=fx（ a 0，且 a1）的反函數(shù)， 且 （f9.若函數(shù)y=a（ ）是函

3、數(shù)第1頁(yè)，共 14頁(yè)2 210. 已知 a 0， b0，若 a+b=4 ，則 a +b 的最小值為 _11.已知三階行列式，元素 8 的余子式的值與代數(shù)余子式的值之和_12. 設(shè) aR，若（ 2+ ）（ 1+x） 5 展開(kāi)式中 x2 的系數(shù)為 10，則 a=_13.某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6 段，傳遞活動(dòng)分別由6 名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能從甲、 乙、丙三人中產(chǎn)生， 最后一棒火炬手只能從甲、 乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有_種（用數(shù)字作答）14.n （ nN*），若 a1=1， an+1n=（ ）n，則a2n=_已知數(shù)列 a+a15. 在邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形 ABCDEF 中

4、，記以 A 為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，若與的夾角記為ij，其中 i ，j 1 ，2，3，4，5 ，且 ij，則 | |cos 的最大值為 _ij16. 如圖， l1、 l2 是過(guò)點(diǎn) M 夾角為 的兩條直線，且與圓心為O，半徑長(zhǎng)為1 的圓分別相切，設(shè)圓周上一點(diǎn)P 到 l1 、l2的距離分比為d1、 d2，那么 2d1+d2 的最小值為 _三、解答題（本大題共5 小題，共60.0 分）17. 如圖，一個(gè)圓錐形量杯的高為 12 厘米，其母線與軸的夾角為 30（ 1）求該量杯的側(cè)面積 S；（ 2）若要在圓錐形量杯的一條母線 PA 上，刻上刻度，表示液面到達(dá)這個(gè)刻度時(shí)， 量杯里的液體的體積是多

5、少？當(dāng)液體體積是100 立方厘米時(shí)，刻度的位置B 與頂點(diǎn) P之間的距離是多少厘米（精確到0.1 厘米）？18. 已知函數(shù) f（ x） =sin2x+2cos2x-1， x（0， ）（ 1）求函數(shù) y=f （ x）的單調(diào)遞減區(qū)間；第2頁(yè)，共 14頁(yè)（ 2）在 ABC 中，若 f（ A）=f（ B），且 AB，AB=，求ABC 外接圓半徑的長(zhǎng)19. 已知函數(shù) f（ x） =+b，其中 a，bR（ 1）當(dāng) a=6，b=0 時(shí)，求滿足 f（ |x|） =2x的 x 的值；（ 2）若 f（ x）為奇函數(shù)且非偶函數(shù)，求a 與 b 的關(guān)系式20. 橢圓 ： + =1（ 1）若拋物線 C 的焦點(diǎn)與 的焦點(diǎn)重合

6、，求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）若 的上頂點(diǎn) A、右焦點(diǎn) F 及 x 軸上一點(diǎn) M 構(gòu)成直角三角形， 求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；（ 3）若 O 為 的中心，P 為 上一點(diǎn)（非 的頂點(diǎn)），過(guò) 的左頂點(diǎn) B，作 BQOP，BQ 交 y 軸于點(diǎn) Q，交 于點(diǎn) N，求證：? =2221. 給定整數(shù) n（n4），設(shè)集合 A= a1，a2 ， ，an 記集合 B= ai+aj|ai，ajA，1ijn （ 1）若 A=-3 ， 0， 1， 2 ，求集合 B；（ 2）若 a1，a2， an 構(gòu)成以 a1 為首項(xiàng)， d（ d 0）為公差的等差數(shù)列，求證：集合B 中的元素個(gè)數(shù)為2n-1；（ 3）若 a1，a2， ， an

7、構(gòu)成以 3 為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列，求集合B 中元素的個(gè)數(shù)及所有元素之和第3頁(yè)，共 14頁(yè)答案和解析1.【答案】 B【解析】解：若函數(shù) f（x）為冪函數(shù)，則該函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）反之不成立“該函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）”是 “該函數(shù)為冪函數(shù) ”的必要非充分條件故選：B若函數(shù) f（x）為冪函數(shù)，利用性質(zhì)可的該函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）反之不成立即可判斷出關(guān)系本題考查了冪函數(shù)的性 質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與 計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2.【答案】 D【解析】解：y=sinx 在 R 內(nèi)不存在反函數(shù)，且不具有 單調(diào)性，故 A，B 不正確；y=arcsinx 不是周期函數(shù)，故 C 不正

8、確；故選：D根據(jù)正弦函數(shù) y=sinx 的性質(zhì)可得 A ，B 不正確，反正弦函數(shù)不是周期函數(shù)得 C 不正確本題考查了反函數(shù)，屬基礎(chǔ)題3.【答案】 B【解析】解：在正方體 ABCD-A 1B1C1D1 的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直 線，與直線 A 1B 異面且?jiàn)A角成 60的直線有：AD 1，AC，D1B1，B1C，共4 條故選：B結(jié)合圖形，利用異面直線所稱的角的概念，把與 A 1B 成 60角的異面直 線一一列出，即得答案本題考查異面直線的定義域判斷方法，異面直 線成的角的定 義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基 礎(chǔ)題第4頁(yè)，共 14頁(yè)4.【答案】 C【解析】解：如圖曲線表示折線段的一部分和雙曲 線

9、，選項(xiàng)A 等價(jià)于 |x|-y-1=02 2線y=|x|-1 的全部和雙曲線錯(cuò)或 1-x +y =0，表示折，故誤；選項(xiàng) B 等價(jià)于，或|x|-y-1=0，|x|-y-1=0 表示折線 y=|x|-1的全部，故錯(cuò)誤；選項(xiàng) C 等價(jià)于或 1-x2+y2=0，表示折線 y=|x|-1在雙曲線的外部（包括有原點(diǎn)）的一部分，1-x2+y2=0 表示雙曲 線，符合題中圖象，故正確；選項(xiàng) D等價(jià)于或，表示表示折 線 y=|x|-1 在雙曲線的外部（包括有原點(diǎn)）的一部分，表示雙曲 線在 x 軸下方的一部分，故錯(cuò)誤 故選：C由圖象可得曲 線表示折線段的一部分和雙曲 線，對(duì)照選項(xiàng)一一分析，方程表示的圖形，注意絕對(duì)

10、值和根式的意 義，即可得到正確選項(xiàng)本題考查 曲線的方程和方程的曲 線概念，關(guān)鍵在于考慮問(wèn)題 要周全，即在每個(gè)因式等于 0 時(shí)，需保證另一個(gè)因式有意 義，此題是個(gè)中檔 題，也是易錯(cuò)題 5.【答案】 （ 0，1）【解析】解：由不等式0 可得 x（x-1）0，解得 0 x 1，故答案為：（0，1）由不等式0 可得 x（x-1）0，由此解得不等式的解集本題主要考查分式不等式的解法，體 現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基 礎(chǔ)題6.【答案】 y=x【解析】第5頁(yè)，共 14頁(yè)線x2-=1的，解：雙曲a=1 b=可得漸近線方程為 y= x，即有 y=x故答案為：y=x 由雙曲線的方程-=1 的漸近線方程為 y=

11、x，求得 a，b，即可得到漸近線方程本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲 線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題7.【答案】 2i【解析】解：若復(fù)數(shù) z=1-i（i為虛數(shù)單則2（2，位）， z）=-2i= 1-i則共軛復(fù)數(shù)為 2i，故答案為：2i然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考 查復(fù)數(shù)的基本概念，是基 礎(chǔ)題8.【答案】 9【解析】解：a5=1，a1+a9=2a5則 S9=9a5=9故答案為：9由 a5=1，利用等差數(shù)列的性 質(zhì)可得 a1+a9=2a5再利用求和公式即可得出本題考查了等差數(shù)列的性 質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與 計(jì)算能力，屬于中檔題

12、9.【答案】 log2x【解析】解：f（x）=log2x函數(shù) y=ax（a0，且 a1）的反函數(shù)是第6頁(yè)，共 14頁(yè)f （x）=logax，又f（2）=1，即loga2=1，所以，a=2，故f （x）=log2x故答案是：log2x 欲求函數(shù) y=ax 的反函數(shù)，先由原函數(shù)式解出 x ，后將x，y 互換即得最后根據(jù)f （2）=1 求出 a 值 本題主要考查了反函數(shù)的求法，屬于基 礎(chǔ)題10.【答案】【解析】解：a0，b0，a+b=4，又，則 a2+b28，即最小值為 8故答案為：8利用基本不等式，可求本題主要考查了利用基本不等式，求解最值的應(yīng) 用11.【答案】 0【解析】解：三階行列式，元素 8

13、 的余子式 為：=-6，5元素 8 的代數(shù)余子式 為：（-1）=6，元素 8 的余子式的 值與代數(shù)余子式的 值之和為：-6+6=0故答案為：0元素 8的余子式 為：5=6，由此=-6，元素 8 的代數(shù)余子式 為：（）-1能求出元素 8的余子式的 值與代數(shù)余子式的 值之和本題考查行列式的余子式與代數(shù)余子式之和的求法，考查余子式、代數(shù)余子式的定義等基礎(chǔ)知識(shí)查礎(chǔ)題，考 運(yùn)算求解能力，是基12.【答案】 -1【解析】第7頁(yè)，共 14頁(yè)解：（2+5）（2345）（1+x） （），= 2+1+5x+10x +10x +5x +x故 x2 的系數(shù)為 20+10a=10，a=-1，故答案為：-1522的系數(shù)為

14、 10，求得把（1+x）按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得 x的系數(shù)，再根據(jù) x實(shí)數(shù) a 的值 本題主要考查二項(xiàng)式定理的 應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通 項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題13.【答案】 96【解析】解：分兩類：第一棒是丙有 C11?C21?A44=48，第一棒是甲、乙中一人有C21?C11?A44=48因此共有方案48+48=96 種；故答案為 96根據(jù)題意，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中 產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中 產(chǎn)生；按第一棒是丙或甲、乙中一人，分為兩類，分別計(jì)算其情況數(shù)目，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意優(yōu)先分析有特殊要求的元素， 對(duì)

15、于本題，注意分類的標(biāo)準(zhǔn)前后統(tǒng)一，要做到不重不漏14.【答案】【解析】*）滿足 a =1，an解：數(shù)列 a （nN+a =（ ），n1n+1n（a1+a2）+（a3+a4）+ +（a2n-1+a2n）=，又 a1+（a2+a3）+（a4+a5）+ +（a2n-2-a2n-1）=第8頁(yè)，共 14頁(yè)=即由已知推 導(dǎo)出，從而，由此能求出a2n本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通 項(xiàng)公式，考查數(shù)列極限的求法，是中檔題15.【答案】【解析】解：由向量的投影的幾何意 義有：|cos 的幾何意 義為向量在向量方向上的投影，ij由圖可知：在向量方向上的投影最大，且 為，故答案為：由向量的投影的幾何意 義有：|cos

16、的幾何意 義為向量在向量方向ij上的投影，由 圖可知：在直角三角形 AED 中，向量在向量方向上的投影最大，即可得解本題考查了向量的投影的幾何意義簡(jiǎn)單題，屬16.【答案】 3-【解析】題是過(guò)點(diǎn) M夾角為的兩解：根據(jù) 意，l 1、l2條直線，且與圓心為 O，半徑 r=1 的圓分別相切，則 |OM|=2r=2，如圖建立坐標(biāo)系，以圓心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM 為 y 軸建立坐標(biāo)系，M （0，2），第9頁(yè)，共 14頁(yè)又由 l 1、l2 是過(guò)點(diǎn) M夾角為的兩條直線 則l 1、l2 的關(guān)于 y軸對(duì)稱，易得 l 1、l2 的傾斜角為和則設(shè)的方程為y=x+2，l2的方程為y=-，l 1x+2 ，P 是圓周上的一

17、個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，設(shè) P（cos ，sin ），則 d1=1+，d2=1-，則 2d1+d2=2+（cos -sin ）+1-（cos +sin）=3+=3+sin（-）3-；即 2d1+d2 的最小值為 3-；故答案為：3-根據(jù)題意，分析可得 |OM|=2，建立坐標(biāo)系，分析可得 l1、l2 的關(guān)于 y 軸對(duì)稱，據(jù)此設(shè)出直線 l 1 與 l2 的方程，P（cos，sin ），由此表示2d1+d2，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，注意建立坐標(biāo)系，表示 2d1+d217.r ，【答案】 解：（ 1）設(shè)底面圓的半徑為h=12， OPA =30 ，AP=8， r=12 =4，量杯的側(cè)

18、面積S=rl =4 8 =96cm2，（ 2） V= Sh= r2h= 48 12 =196cm2，設(shè) PB=x，則 BC= x， PC= x，2x=3V = （ x） ?x =100 ，解得 x7.6cm，即刻度位置B 到頂點(diǎn) P 之間的距離為7.6cm.【解析】【分析】第10 頁(yè)，共 14頁(yè)（1）設(shè)底面圓的半徑為 r，根據(jù)側(cè)面積公式即可求出，（2）根據(jù)體積公式計(jì)算即可本題考查了圓錐的側(cè)面積和體積，考查了運(yùn)算能力，屬于基 礎(chǔ)題18.【答案】 解：（1） （x）=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=，f由，得， kZ取 k=0 ，可得函數(shù) y=f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）；

19、（ 2）由 f（A） =f（ B），得，AB， ，則 A+B=，C=， c=AB=，即 R=1【解析】（1）利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化 積，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)y=f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由f（A ）=f（B），且AB，求得 A+B=，得C=，結(jié)合 c=AB=，再由正弦定理求得 ABC 外接 圓半徑的 長(zhǎng)本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)查題用，考 三角形的解法，是中檔19.a=6 ， b=0時(shí)， f（ x） =，【答案】 解：（ 1）根據(jù)題意，當(dāng)若 f（ |x|） =2 x，則=2x，又由 2x 0，則 2x=3，則 x=log 23，（ 2）若 f（ x）為奇函數(shù)且非偶函數(shù)，

20、則 f（ -x） +f（ x） =0，即（+b） +（+b） =0，變形可得： a-2b=0，即 a=2b（ a0）【解析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)a=6，b=0時(shí)，f （x ）=，若f（|x|）=2x，則=2x，解可得第11 頁(yè)，共 14頁(yè)x 的值，即可得答案；題義可得 f（-x）+f （x）=0，即（+b）+（+b）（2）根據(jù) 意，由奇函數(shù)的定變=0， 形分析可得 a、b 的關(guān)系，即可得答案本題考查函數(shù)的奇偶性的 應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題20.【答案】 解：（1+ =1中a2=9，b2=4）橢圓 ：，222c =a -b =5，c=，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（， 0），（ -， 0），拋物線 C

21、的焦點(diǎn)與 的焦點(diǎn)重合，p=2，且拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸上，C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=4；（ 2） 的上頂點(diǎn) A、右焦點(diǎn) F 及 x 軸上一點(diǎn) M 構(gòu)成直角三角形，A（ 0， 2）， F（ ， 0），設(shè) M（ t， 0），顯然 t 0，|MA |2+|AF|2=|MF |2，t2+4+5+4= （ -t）2，解得 t=- ，M（-，0），證明（3）由 B（-3，0）， BQOP，設(shè)直線BQ 的方程為 x=my-3，直線 OP 的方程為 x=my，由，消 x 可得（ 4m2 +9） y2-24my=0，解得 y=0 ，或 y=，則 xN=-3=則 N 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），對(duì)于直線方程x=my-3，令 x=0，可得 y=Q（ 0，），?=（+3，）?（3，）=+=由，解得 yp2=，xp2=第12 頁(yè)，共 14頁(yè)解得或，22=2（ xp2+yp2） =2（+） =， ?=22【解析】（1）根據(jù)橢圓的方程和拋物 線的性質(zhì)即可求出，（2）根據(jù)勾股定理即可求出，（3）由B（-3，0），BQOP，設(shè)直線 BQ 的方程為 x=my-3，直線 OP 的方程為x=my，