2019春浙江省寧波市奉化區(qū)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

1、2019 春浙江省寧波市奉化區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10 小題，共 40.0 分）1.橢圓+y2=1 的長軸長為（）A. 1B. 2C.D. 42. i 是虛數(shù)單位，若=a+bi（ a， bR），則 a+b 的值為（）A.B.C.D. 23. 從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為（）A.B.C.D.4.小明、小紅、小單三戶人家，每戶3 人，共9 個(gè)人相約去影院看老師好，9 個(gè)人的座位在同一排且連在一起，若每戶人家坐在一起， 則不同的坐法總數(shù)為 （）A.-xB.！C.D. ！在 x0， 4上的極大值為（）5.函數(shù)fx =xe（ ）A

2、.B. 0C.D.6. 離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為X123PP1P2P3則 EX=2 的充要條件是（）A.B.C.D.7.已知（ x+12x+n的展開式中沒有x2n N*，則n的值可以是（） （）項(xiàng)， A. 5B.6C.7D. 88. 在 “石頭、 剪刀、布 ”游戲中， 規(guī)定 “石頭贏剪刀、 剪刀贏布、 布贏石頭 ”，現(xiàn)有小明、小澤兩位同學(xué)玩這個(gè)游戲，共玩n 局，每一局中每人等可能地獨(dú)立選擇一種手勢，設(shè)小明贏小澤的局?jǐn)?shù)為，且 D（ ） =，則 E（） =（）A. 1B.C.D. 29.已知 P 為雙曲線：- =1（ a0，b0）右支上一點(diǎn)， A 為其左頂點(diǎn)， F（ 4，0）為其右焦點(diǎn)，滿足

3、|AF|=|PF|，PFA= ，則點(diǎn) F 到直線 PA 的距離為（）A.B.C.D.10.若函數(shù) f（ x） =至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則m 的取值范圍為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共7 小題，共36.0 分）11.函數(shù) f （ x） =4-2cosx 的最小值是 _，取得最小值時(shí)， x 的取值集合是 _第1頁，共 12頁12. 等差數(shù)列 an 的前 3 項(xiàng)依次為 a-1，a+1，2a+3，則實(shí)數(shù) a=_，數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 _13.已知 （f x）=，（f -1）=_ ；若 （f a）=1，則實(shí)數(shù) a 的值為 _14. 設(shè)集合 A=（ x，y）|y|x-2|，x 0，B=（ x，y

4、）|y-x+b ， AB? ， b 的取值范圍是 _ ；若（ x， y） AB，且 x+2y 的最大值為 9，則 b 的值是 _15. 在空間四邊形OABC 中，若 ， ，BOC= ，且 | |=| |=|=1，若 E， F 分別是 AB， BC 的中點(diǎn)，H 是 EF 上一點(diǎn)，且 EH= EF ，記=x+ y +z ，則（ x， y， z） =_16. ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，若 BC 邊上的高 AD =BC，則 +的取值范圍是 _17.已知向量 ，滿足 | |=1， |=| |?）=0若對每一確定，（） （的 ， | |最大值和最小值分別為m， n，則對任意

5、， m-n 的最小值是 _三、解答題（本大題共5 小題，共74.0 分）18.已知 0，函數(shù) f（ x） =cos（ 2x+）2+sin x（ 1）若 f（ 0） = ，求 的值；（ 2）若 =，求 f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間19. 已知函數(shù) f（ x） =1nx+x（ 1）求函數(shù)在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程；（ 2）若 axf（ x）對任意的x ， +）恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍第2頁，共 12頁20. 九章算術(shù) 中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為 “陽馬 ”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為 “鱉臑 ”如圖，在 “陽馬 ”P-ABCD 中，側(cè)棱 PD 底面 ABC

6、D 且 PD =CD =1，過棱 PC 的中點(diǎn) E，作 EF PB交 PB 于點(diǎn) F，連接 DE，DF ，BD，BE（ 1）證明： DE平面 PBC，試判斷四面體BDEF 是否為 “鱉臑 ”，若是，寫出其每個(gè)面的直角 （只需寫出結(jié)論） ：若不是，說明理由（ 2）若 BC=1 求直線AE 與平面 DEF 所成角的正切值2的直線交拋物線于A、 B 兩點(diǎn)21. 已知拋物線 y =4x，過焦點(diǎn) F 作斜率為 k1（ 1）若 |AB|=5，求 k1（ 2）過焦點(diǎn) F 再作斜率為 k2 的直線交拋物線于 C、D 兩點(diǎn)，且 M、 N 分別是線段AB、 CD 的中點(diǎn)，若 k1+k2=1 ，證明：直線 MN 過

7、定點(diǎn)22. 已知函數(shù) f（ x） =ex-a（ x+1），其中 aR（ 1）討論 f（ x）的單調(diào)性；（ 2）若 a 0 時(shí)，函數(shù) f（ x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的值（ 3）已知數(shù)列 an 滿足 an= ，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，求證 Sn 1n（ n+1）（其中 nN）第3頁，共 12頁答案和解析1.【答案】 D【解析】 解：橢圓中，根據(jù)橢圓的定義可得，a=2， b=1長軸 2a=4故選： D根據(jù)橢圓的方程可求a，進(jìn)而可得長軸2a本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎(chǔ)試題2.【答案】 D【解析】 解： =，且=a+bi， a= ， b= ，則 a+b= + =2故選：

8、D先對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，即分母分子同乘以1-i ，再進(jìn)行整理化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求出 a、b 的值，再求a+b 的值本題的考點(diǎn)是復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，考查了分式的分母是復(fù)數(shù)的化簡方法：分母分子同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3.【答案】 B【解析】 解：從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，基本事件總數(shù) n= =6，甲、乙兩人有且僅有一人入選包含的基本事件個(gè)數(shù)m=4，則甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為p= 故選： B基本事件總數(shù)n=6，甲、乙兩人有且僅有一人入選包含的基本事件個(gè)數(shù)m=4，由此能求出甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

9、礎(chǔ)題4.【答案】 C【解析】 解：利用相鄰問題捆綁法可先將小明、小紅、小單三戶人家設(shè)為三個(gè)整體，則每個(gè)整體內(nèi)部排序共（3?。?3 種不同的坐法，再將三個(gè)整體排序共3！種不同的坐法，則不同的坐法總數(shù)為（3?。?33！ =（ 3?。?4，故選： C由排列組合中的相鄰問題捆綁法得：不同的坐法總數(shù)為（3?。?33！=（ 3！）4，得解本題考查了排列組合中的相鄰問題，屬中檔題5.【答案】 A-x，【解析】 解：函數(shù) f（ x） =xe則 f（x）=，第4頁，共 12頁令 f（x）=0，得 x=1，當(dāng) x0， 1）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）遞增；當(dāng) x（ 1，4時(shí)， f（ x） 0， f（ x）遞

10、減 x=1 時(shí) f（ x）取得極大值也為最大值，f （1） = 故選： A求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極大值即可本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是基本知識(shí)的考查6.【答案】 B【解析】 解：由離散型隨機(jī)變量X 的分布列知：當(dāng) EX=2 時(shí)，解得 P1=P3，當(dāng) P1=P3 時(shí)， P1+P2+P3=2P1+P2=1EX =P1+2 P2+3P3=4P1+2 P2=2EX=2的充要條件是P13 =P故選： B當(dāng) EX=2 時(shí)，由離散型隨機(jī)變量 X 的分布列的性質(zhì)列出方程組得P1=P3，當(dāng) P1=P3 時(shí)，P1+P2+P3=2P1+P2=1 能求出 EX =2從而得到 EX=2

11、的充要條件是P1=P3本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為2 的充要條件的求法，是基礎(chǔ)題， 解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)的合理運(yùn)用7.【答案】 C【解析】 解：（ x+1） 2=x2+2x+1，x2 項(xiàng)，根據(jù)題意，所給式子的展開式中沒有則的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，沒有一次項(xiàng)，沒有二次項(xiàng)的通項(xiàng)為，n-4r0， 1，2，即 n4r，n4r+1 ，n4r+2，故選： C本題考查二項(xiàng)式定理，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，只需將（x+1）2 展開，再綜合分析即可，題目難度較小本題考查二項(xiàng)式定理，特點(diǎn)是本題是兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，而其中一個(gè)項(xiàng)數(shù)很少，只要將它展開，就可對另一個(gè)展開式的項(xiàng)的情況進(jìn)行分析，

12、從而得出結(jié)論8.【答案】 C【解析】 解：由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為：0、 1、2、 3，每一局中小明贏小澤的概率為，B（ n， ），D （ ） =， D（ ） =n=，解得 n=5， E（ ）=5 = 故選： C第5頁，共 12頁的可能取值為： 0、1、2、3，每一局中小明贏小澤的概率為，進(jìn)而可得 B n（，），由二項(xiàng)分布的期望的求解可得答案本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法， 考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9.【答案】 D【解析】 解：由題意，A（-a， 0）， F（ c， 0），右準(zhǔn)線方程為x=，|AF|=|PF|， PFA=60 ，可得 APF 為等

13、邊三角形，即有 P（，（ a+c），由雙曲線的第二定義可得= ，22化為 c -3ac-4a =0，由 c=4 ，可得 a= ，則點(diǎn) F 到 PA 的距離為（a+c） =?5=故選： D由題意可得 APF 為等邊三角形，求出P 的坐標(biāo)，利用雙曲線的第二定義，列出方程，可得 c=4 a，由等邊三角形的高可得所求值本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查等邊三角形的性質(zhì)，以及化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題10.【答案】 A【解析】 解： 函數(shù) f（ x）至少存在一個(gè)零點(diǎn)，=0 有解，即 m=-x2+2ex+有解，m=-2x+2e+=-2 （ x-e） +，當(dāng) x（ 0， e）時(shí)， m0， m 為關(guān)于 x 的增函

14、數(shù)；當(dāng) x（ e，+）時(shí)， m 0，m 為關(guān)于 x 的減函數(shù)2因此，畫出函數(shù)y=-x +2ex+的圖象如右圖所示，則若函數(shù)f （ x）至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則 m 小于函數(shù) y=- x2+2ex+的最大值即可，22函數(shù) y=-x +2 ex+的最大值為 e +2即 me + 第6頁，共 12頁f x =0x22y=-x2+2ex+由題意得 （ ） ，即-2ex+m- =0 有解，即 m=-x +2ex+ ，我們畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分析函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)m 的取值范圍，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)m 的取值范圍，即可得到答案本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，數(shù)形結(jié)合思想是解析函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)中最常

15、用的方法， 即畫出滿足條件的圖象， 然后根據(jù)圖象直觀的分析出答案，但數(shù)形結(jié)合的前提是熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)11.【答案】 2 x|x=6k，kZ【解析】 解：當(dāng) cosx=1，即=2k kZx=6k kZf x）取得最小值4-2=2， ，時(shí)，（此時(shí) x 的集合為 x|x=6k， kZ ，故答案為2； x|x=6k， kZ 當(dāng) cos x 取得最大值時(shí)，f（ x）取得最小值本題考查了三角函數(shù)的最值，屬中檔題12.【答案】 0an=2 n-3【解析】 解：等差數(shù)列 an 的前 3 項(xiàng)依次為 a-1，a+1 ， 2a+3，則實(shí)數(shù) 2（a+1 ）=（ a-1） +（ 2a+3），解得 a

16、=0，a1=-1 ， a2=1， a3=3，數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為：an=-1+ （ n-1） 2=2n-3故答案為： 0， an=2n-3等差數(shù)列 an 的前 3 項(xiàng)依次為 a-1，a+1 ，2a+3，得到實(shí)數(shù) 2（ a+1）=（ a-1）+（ 2a+3），由此求出 a=0，從而 a1=-1， a2=1 ， a3=3，由此能求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題13.【答案】1+【解析】 解： f（ x） =，f-1）=4-1=，（若 f（ a） =1，則當(dāng) a0時(shí)， f（ a） =a2-2a=1，解得 a=1+或 a=1-

17、（舍），當(dāng) a 0 時(shí)， f（a） =4a=1 ，解得 a=0（舍），綜上，實(shí)數(shù) a 的值為 1+故答案為：，1+ 由 -1 0，得 f（ -1）=4-1= ，由 f（ a）=1，當(dāng) a0時(shí)，f（a）=a2-2a=1，當(dāng) a 0 時(shí)， f（ a）a=4 =1，由此能求出實(shí)數(shù)a 的值本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題14.【答案】 2， +）第7頁，共 12頁【解析】 解：（ 1）由題意，集合A 對應(yīng)的范圍是折線 y=|x-2|及其上方部分，集合 B 對應(yīng)的范圍是直線y=-x+b 及其下方的部分，要使兩個(gè)集合交集不空，直線 y=-x+b 要位于折線y=-x+

18、2 上方，實(shí)數(shù) b 為集合 B 對應(yīng)直線的縱截距，再觀察題中的圖象， 可知 b 的取值范圍是2，+）；（ 2）若 P（ x， y）AB，則 P（x， y）在圖中的四邊形內(nèi)，z=x+2y 在（ 0， b）處取得最大值，所以0+2b=9，所以 b=故答案為： 2， +），（ 1）根據(jù)題意，集合A 對應(yīng)的范圍是折線及其上方部分，集合B 對應(yīng)的范圍是直線及其下方的部分，要使兩個(gè)集合交集不空，直線y=-x+b 要位于折線y=-x+2 上方，由此可得實(shí)數(shù) b 的取值范圍；（ 2）集合 AB 是題中的陰影部分（含邊界），動(dòng)點(diǎn)P 在其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)P 的坐標(biāo)為（ 0，b）時(shí)，題中的目標(biāo)函數(shù)z=x+2y 取到

19、最大值9，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到b 的值本題以一元二次不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檩d體，考查了集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題15.【答案】【解析】 解：由 E，F(xiàn) 分別是 AB ，BC 的中點(diǎn)， H 是 EF 上一點(diǎn)，且 EH= EF，可得：=（）-（）=（），=所以= （） + （）=，即 x= ， y= ， z= ，故答案為：（ ， ， ）由平面向量基本定理及平面向量線性運(yùn)算得：=（+）（=，即 x= ， y= ， z= ，得解本題考查了平面向量基本定理及平面向量線性運(yùn)算，屬中檔題16.【答案】 2，222【解析】 解：由余弦定理b +c =a +2cosAbc222b +c =

20、bc（ sinA+2cosA）第8頁，共 12頁 + =sin A+2cosA= sin（A+tan =2），（） sin （ A+） ， + ， + 2=2， + 的取值范圍為2， 故答案為： 2，先利用余弦定理求得b， c 和 a 的關(guān)系式，繼而根據(jù)三角形面積公式求得bcsinA= a2，形 進(jìn)而表示出 b2+c2，然后利用基本不等式求得+ 的最小值，根據(jù) + 的表達(dá)式求得其最大值本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用， 三角形面積公式， 三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及基本不等式的基礎(chǔ)知識(shí)考查了學(xué)生的綜合思維17.【答案】【解析】 解：把 放入平面直角坐標(biāo)系，使 起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，方向與 x 軸正方向

21、一致，則 =（1， 0）設(shè)=（ x1， y1）， ， x1= ， =（ ， y1）設(shè) =（ x， y），則=（ 1-x， -y），=（ -x， y1-y）（） ?（） =0 （ 1-x）（ -x） -y（ y1-y） =0化簡得， x2 +y2- x-y1y+ =0，也即=（） 2，點(diǎn)（ x， y）可表示圓心在（，），半徑為的圓上的點(diǎn)，=， 最大值 m=，最小值n=m-n=-（） =當(dāng) y12=0 時(shí)， m-n 有最小值為，故答案為可以先把向量，放入平面直角坐標(biāo)系， 則=（ x1，0）， =（ ，y1），再用，的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，利用（）?（） =0，可轉(zhuǎn)化為含y1 的式子，再看y1 等于多少時(shí)

22、， m-n有最小值即可本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析，找到突破口18.cos（ 2x+） +sin2x，【答案】 解：（ 1） 已知 0，函數(shù) f（ x） =若 f（ 0） =，則 cos= ， =cos +0=第9頁，共 12頁2=f x=cos 2x+）+sin2（ cos2x- sin2x+（ ）若，則（）x=）（= （ cos2x-sin2x） + = cos（ 2x+ ） + 令 2k-2x+ 2k，求得 k-xk- ，可得 f（ x）的增區(qū)間為 k-， k- ， kZ【解析】 （ 1）由題意先求出cos的值，可得的值（ 2）利用三角恒等變換化簡 f（x）的解析式，再

23、利用余弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題19.【答案】 解：（ 1） f（ 1） =1，則切線斜率 k=f（ 1） =2切線方程為 y-1=2 （ x-1）即 2x-y-1=0 （ 2）依題意可得 a，令 g（ x）=，則 ag（ x） max，g（ x） =，g x）0? ，g x0 xe（ ）? ，g（ x）在（， ）遞增，在（ e， +）遞減g（ x） max ，實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ， +）【解析】 （ 1）可得切線斜率k=f （ 1） =2由點(diǎn)斜式寫出切線方程（ 2）依題意可得a，令 g（x）=，則 ag（ x）max，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）最

24、大值即可本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及恒成立問題，屬于中檔題面20.【答案】 解：（ 1）證明：得 PD BC，又 BCCD ，CDPD =D，從面而 BC面 PDC 面得 BCDE ，面得 DE面 PBC由由面得 PBDE 又 PBEF， DEEF=E，從而 PB面 DEF ，面可知四面體 BDEF 的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體 BDEF 是 “鱉臑 ”，四個(gè)直角分別為DEB， DEF ， EFB ， DFB 第10 頁，共 12頁（ 2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，由PBDEF可知，是面 DEF 的一個(gè)法向量，面設(shè)直線 AE 與平面 DEF 所成角為，故直線 AE 與平面 DEF 所成角

25、的正切值為【解析】 （ 1）利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明，根據(jù)“鱉臑 ”定義進(jìn)行判斷即可；（ 2）利用空間向量計(jì)算直線 AE 與平面 DEF 所成角的正弦值，進(jìn)而計(jì)算出其正切值本題考查新概念、空間位置關(guān)系以及空間角問題，屬于中檔題目21.【答案】 解：（ 1）設(shè)直線 L 的方程為： y=k（ x-1）， A（x1， y1）， B（ x2， y2 ）聯(lián)立，化為： ky2-4y-4k=0，y1+y2= ， y1y2=-4k0， 0|AB |=5，即k2=1，直線 L 的斜率為 2（ 2） M 是線段 AB 的中點(diǎn)， M（，（），即 M（1+，）同理 N（ 1+，），k12+k =1 ，直線 MN 的方程為： y-=k1k2 （x-）y=k1k2（ x-1）+=k1k2（ x-1）+2直線 MN 過定點(diǎn)（ 1，2）第11 頁，共 12頁【解析】 （ 1）設(shè)直線L 的方程為： y=k（x-1）， A（ x1， y1 ）， B（x2