5 內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)[教資優(yōu)擇]

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第1頁頁 第五章第五章 內(nèi)積空間與希爾伯特內(nèi)積空間與希爾伯特空間空間 內(nèi)積空間與內(nèi)積空間與希爾伯特空間希爾伯特空間 內(nèi)積空間內(nèi)積空間+ +完備性完備性希爾伯特空間希爾伯特空間 歐氏空間歐氏空間線性空間線性空間+ +內(nèi)積內(nèi)積內(nèi)積內(nèi)積空間空間 元素的長度（范數(shù)）元素的長度（范數(shù)） 兩向量夾角與正交兩向量夾角與正交 內(nèi)積空間特點(diǎn)內(nèi)積空間特點(diǎn)： 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第2頁頁 1 1 內(nèi)積與內(nèi)積空間內(nèi)積與內(nèi)積空間 一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念 定義定義1 設(shè)設(shè)H是數(shù)域是數(shù)域K上的線性空間上的線性空間，定義函數(shù)，定

2、義函數(shù) :HHK, , 使得：對(duì)使得：對(duì) x,y,z H, , K, ,滿足滿足 則稱則稱為數(shù)域?yàn)閿?shù)域K中中x與與y的內(nèi)積的內(nèi)積, ,而稱定義了內(nèi)積的空間而稱定義了內(nèi)積的空間H 為內(nèi)積空間。為內(nèi)積空間。 注注：1) 當(dāng)數(shù)域當(dāng)數(shù)域K為實(shí)數(shù)域時(shí)，稱為實(shí)數(shù)域時(shí)，稱H為實(shí)的內(nèi)積空間；為實(shí)的內(nèi)積空間； 當(dāng)數(shù)域當(dāng)數(shù)域K為復(fù)數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù)域C時(shí)，則稱時(shí)，則稱H為復(fù)的內(nèi)積空間。為復(fù)的內(nèi)積空間。 ; 00, 0, ) 1 xxxxx且且 ;, )2xyyx ., ;, )3 zxzx zyzxzyx ;, )3zxyxxzxyxzyzyx ;, )2zxyxzyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第3頁頁 2

3、 由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離 定義定義2 (1) 范數(shù)范數(shù)xxx, 稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。 (2) 距離函數(shù)距離函數(shù) yxyxyxyx ,),( 稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離。稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離。 (2) 內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的等式關(guān)系：內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的等式關(guān)系： )( 4 1 , 2222 iyxiiyxiyxyxyx (3) 由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足范數(shù)公理由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足范數(shù)公理內(nèi)積空間按照由內(nèi)積內(nèi)積空間按照由內(nèi)積 導(dǎo)出的范數(shù)導(dǎo)出的范數(shù), ,是線性賦范空間。但反之不然是線性賦范空間。但反之不然 注注: : (1) 內(nèi)積與

4、由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的三角不等式關(guān)系內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的三角不等式關(guān)系 許瓦茲不等式許瓦茲不等式.,yxyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第4頁頁 3 線性賦范空間成為內(nèi)積空間（范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)）的線性賦范空間成為內(nèi)積空間（范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)）的 充分必要條件充分必要條件 定理定理1 線性賦范空間線性賦范空間X是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間 x,y X, ,有有 |x+y|2 + |x-y|2=2|x|2 + 2|y|2 ( (平行四邊形公式或中線公式平行四邊形公式或中線公式) ) 定義定義3 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間，若是內(nèi)積空間，若H按照由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)成為按照由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)成為Ban

5、ach 空間，則稱空間，則稱H是希爾伯特空間。是希爾伯特空間。 4 希爾伯特空間希爾伯特空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第5頁頁 例例1 n維歐氏空間維歐氏空間Rn按照內(nèi)積按照內(nèi)積 n k kk yxyx 1 ,是內(nèi)積空間。是內(nèi)積空間。 Rn中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為 21 1 2 ,),( n i ii yxyxyxyx Rn按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) n k k xx 1 2 因而是因而是Hilbert空間?？臻g。 是是Banach空間，空間， 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第6頁頁 l 2按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) 按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) 1 2

6、k k xx 是是Banach空間，因而是空間，因而是Hilbert空間?？臻g。 l 2中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為 21 1 2 ,),( i ii yxyxyxyx 例例2 l 2空間按照內(nèi)積空間按照內(nèi)積 1 , k kk yxyx是內(nèi)積空間。是內(nèi)積空間。 ( (許瓦茲不等式許瓦茲不等式) ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第7頁頁 例例3 L2a,b空間按照內(nèi)積空間按照內(nèi)積 dttytxyx b a )()(,是內(nèi)積空間。是內(nèi)積空間。 L2a,b按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) 21 2 )( b a dttxx 是是Banach空間，因而是空間，因而是Hil

7、bert空間?？臻g。 L2a,b中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為 21 2 )()(,),( b a tytxyxyxyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第8頁頁 Ca,b中范數(shù)不滿足平行四邊形公式，中范數(shù)不滿足平行四邊形公式， 例例4 Ca,b按照范數(shù)按照范數(shù)是線性賦范空間，是線性賦范空間， )(max , txx bat 但但Ca,b不是內(nèi)積空間不是內(nèi)積空間. . 證證 取取x =1, y =(t-a)/(b-a) Ca,b |x|=1, |y|=1 |x+y|=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, |x-y|=max|1-(t-a)/(b-a)|=1 |x+y|2+

8、|x-y|2=5 4=2(|x|2+|y|2) 因而不是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)因而不是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) Ca,b不是內(nèi)積空間不是內(nèi)積空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第9頁頁 5 內(nèi)積空間中的極限內(nèi)積空間中的極限 證證 xnx |xn-x| 0 yny |yn-y| 0 | - - | - - | +| - - | |xn-x| |yn| + |x| |yn-y|0 ( (n) ) yxyxyxxxx n n n n n ,lim0,lim , 定義定義4 （極限）設(shè)（極限）設(shè)X是內(nèi)積空間，是內(nèi)積空間， xn X, x X 及及y X, , 定理定理2 設(shè)設(shè)H是希爾伯特空間，則是希爾伯特空

9、間，則H中的內(nèi)積中的內(nèi)積 是是x,y的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), , 即即 xn、yn H, x, y H, , 若若xnx, yny, , 則則. 注注：距離函數(shù)、范數(shù)、內(nèi)積都是連續(xù)函數(shù)：距離函數(shù)、范數(shù)、內(nèi)積都是連續(xù)函數(shù) （線性運(yùn)算對(duì)內(nèi)積的連續(xù)性）（線性運(yùn)算對(duì)內(nèi)積的連續(xù)性） 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第10頁頁 6 內(nèi)積空間的完備化內(nèi)積空間的完備化 定義定義5 ( (內(nèi)積空間的同構(gòu)內(nèi)積空間的同構(gòu)) ) 設(shè)設(shè)X,Y是同一數(shù)域是同一數(shù)域K上的內(nèi)積空間，若存上的內(nèi)積空間，若存 在映射在映射T: XY, ,保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變, ,即即 x,y X, , K, ,有有

10、(1) T( x+ y)= Tx+ Ty, (2) = 則稱內(nèi)積空間則稱內(nèi)積空間X與與Y同構(gòu)同構(gòu), ,而稱而稱T為內(nèi)積空間為內(nèi)積空間X到到Y(jié)的同構(gòu)映射。的同構(gòu)映射。 定理定理3 設(shè)設(shè)X是內(nèi)積空間，則必存在一個(gè)是內(nèi)積空間，則必存在一個(gè)Hilbert空間空間H，使，使X與與H的稠的稠 密子空間同構(gòu)，而且在同構(gòu)意義下，滿足上述條件的密子空間同構(gòu)，而且在同構(gòu)意義下，滿足上述條件的Hilbert空間是空間是 唯一的。唯一的。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第11頁頁 二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理 在解析幾何中，有向量正交和向量投影的在解析幾何中，有向量正交

11、和向量投影的 概念，而且兩個(gè)向量正交的充分必要條件是概念，而且兩個(gè)向量正交的充分必要條件是 它們的內(nèi)積等于它們的內(nèi)積等于0，而向量，而向量x在空間中坐標(biāo)平在空間中坐標(biāo)平 面上的正交投影向量面上的正交投影向量x x0 0是將向量的起點(diǎn)移到是將向量的起點(diǎn)移到 坐標(biāo)原點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)做平面的垂線所得坐標(biāo)原點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)做平面的垂線所得 的垂足與原點(diǎn)之間的有向線段而得到的。且的垂足與原點(diǎn)之間的有向線段而得到的。且 有有x=x0+x1, , 其中其中x1 該坐標(biāo)平面。這時(shí)稱該坐標(biāo)平面。這時(shí)稱 x=x0+x1為為x關(guān)于做表面的正交分解。關(guān)于做表面的正交分解。 下面將把正交分解和正交投影的概念與推廣到一般

12、的內(nèi)積空間中。下面將把正交分解和正交投影的概念與推廣到一般的內(nèi)積空間中。 其中的投影定理是一個(gè)理論和應(yīng)用上都極其重要的定理，利用投影其中的投影定理是一個(gè)理論和應(yīng)用上都極其重要的定理，利用投影 定理可以將內(nèi)積空間分解成兩個(gè)字空間的正交和。這是內(nèi)積看所特定理可以將內(nèi)積空間分解成兩個(gè)字空間的正交和。這是內(nèi)積看所特 有的性質(zhì)，這個(gè)定理在一般的巴拿赫空間中并不成立（因?yàn)榘湍煤沼械男再|(zhì)，這個(gè)定理在一般的巴拿赫空間中并不成立（因?yàn)榘湍煤?空間中沒有正交性的概念）。在實(shí)際應(yīng)用中，投影定理還常被用來空間中沒有正交性的概念）。在實(shí)際應(yīng)用中，投影定理還常被用來 判定最佳逼近的存在性和唯一性。判定最佳逼近的存在性和唯

13、一性。 x0 0 x1 1 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第12頁頁 1 正交的概念正交的概念 定義定義5 ( (正交正交) ) 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,x,y H, M,N H. . (1) x y =0; (2) x M y M, 都有都有 =0; ; (3) M Nx M， y N, ,都有都有=0. . 定理定理4 ( (勾股定理勾股定理) )設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,若若x,y H, 且且x y, 則則 |x+y|2=|x|2+|y|2 注注: :1）在一般的內(nèi)積空間中，若在一般的內(nèi)積空間中，若x y，則有則有勾股定理勾股定理 |x+y|2=|x|2+|y|

14、2成立，但反之不然。成立，但反之不然。 事實(shí)上，事實(shí)上， |x+y|2=|x|2+|y|2+2Re(x,y) 2）在實(shí)內(nèi)積空間中，在實(shí)內(nèi)積空間中，x y|x+y|2=|x|2+|y|2，即即勾股定理勾股定理成立成立 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第13頁頁 定義定義6 ( (正交補(bǔ)正交補(bǔ)) ) 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,M H, , 稱集合稱集合 M =x| x y, y M 為為M在在H中的正交補(bǔ)。中的正交補(bǔ)。 注注：正交補(bǔ)的性質(zhì)：正交補(bǔ)的性質(zhì)： HH 0,0 ) 1 ( 0, )2( MMHM MHM, )3(是是H的閉線性子空間，即的閉線性子空間，即H的的 完備子空間完備子

15、空間. . 事實(shí)上，事實(shí)上， x, y M 及及 z M, ,有有 =0,=0=0 = + =0 M M 為為H線性子空間線性子空間 xn L , xnx, z M =lim =0 x M M 為為H的閉子空間的閉子空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第14頁頁 定義定義10 ( (正交分解與正交投影正交分解與正交投影) ) 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間，是內(nèi)積空間，M H是線性是線性 子空間，子空間，x H, ,如果存在如果存在x0 M, x1 M , , 使得使得 x = x0+x1 （1 1） 則稱則稱x0為為x在在M上的正交投影，而稱上的正交投影，而稱( (1)式為式為x關(guān)于關(guān)于M的的正交

16、分解正交分解。 2 正交分解與正交投影正交分解與正交投影 定理定理14 ( (投影定理投影定理) ) 設(shè)設(shè)M是希爾伯特空間是希爾伯特空間H的閉線性子空間的閉線性子空間, ,則對(duì)則對(duì) x H在在M中存在唯一的正交投影中存在唯一的正交投影x0 0, , 使得使得 x =x0+x1 ( (其中其中x1 M ).). yn M, 使得使得|yn-x|d (n) ( (下確界定義下確界定義) ) 證證 x H, , 令令x到到M的距離的距離 0|inf),( yxMxd My 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第15頁頁 M是是H的線性子空間的線性子空間ym,yn M, ,有有 0 |ym-yn|2

17、 = |(ym-x)+(x-yn)|2 = |(ym-x)+(x-yn)|2+|(ym-x)-(x-yn)|2-|(ym-x)-(x-yn)|2 = 2|ym-x|2+2|x-yn|2-|(ym+ yn)-2x|2 ( (平行四邊形公式平行四邊形公式) ) 2|ym-x|2+2|x-yn|2-4d 20 (m,n) dx yy M yy nmnm 22 2) 證明證明 xn在在M中收斂中收斂 1) 證明證明 yn是基本列是基本列 M 是是Hilbert空間的閉線性子空間空間的閉線性子空間M是完備的是完備的 x0 M, 使使ynx0 ,|yn-x|x0-x| (n) xn是基本列是基本列 0|i

18、nf| 0 yxxxd My 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第16頁頁 3) 證明證明x0 0 是 是x在在M中的正交投影中的正交投影 記記x1=x-x0, z M, z, C x0+ z M 特取特取 2 0 2 0 , z xxz z zxx 22 00 2 0 2 0 2 0 |,|)(|zzxxxxzxxzxxxx 0|, 22 00 zzxxxxz 4) 證明證明x0 是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的 0|,|0|,| 0 2 0 zxxxxz zxxzxx 00 0, 1001 xxxMxxx 設(shè)設(shè) 是是x在在M上的兩個(gè)正交投影，

19、則上的兩個(gè)正交投影，則00, x x ., 0| 00100 xxxxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第17頁頁 注注：1)由定理的證明過程易知由定理的證明過程易知, ,只要只要M是是H的完備子空間的完備子空間, ,而而H本身本身 不完備不完備, ,定理結(jié)論也成立定理結(jié)論也成立. .從而上述正交分解式也唯一從而上述正交分解式也唯一. . 2) 設(shè)設(shè)en是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交系的標(biāo)準(zhǔn)正交系, , x H, ck=, 則則 n k kk n k kk execx 11 即對(duì)任何數(shù)組即對(duì)任何數(shù)組 1, 2, n, ,有有 n k kk n k kk eexecx 11 0 , 是

20、是x在內(nèi)積空間在內(nèi)積空間H上的正交投影上的正交投影 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第18頁頁 2 正交投影的應(yīng)用正交投影的應(yīng)用最佳逼近問題最佳逼近問題 (1)最佳逼近問題的一般提法最佳逼近問題的一般提法: :設(shè)設(shè)H是是Hilbert空間空間, ,x, x1, x2, , xn H, , 要求尋找出要求尋找出n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 1, 2, n, 使得使得 n k kk n k kk xxxx n 1 ),.,( 1 1 min 即要求出即要求出,., 21 1 0n n k kk xxxspanxx 使得使得|x-x0|最小。最小。 (2)最佳逼近問題的幾何解釋：最佳逼近問題的幾何解釋：記記M=

21、spanx1, x2, , xn H, ,則則 n k kkx x 1 表示表示x到到M上某點(diǎn)的距離上某點(diǎn)的距離 n k kk n k kk xxxx n 1 ),.,( 1 1 min 表示表示x到到M的最短距離的最短距離 n k kkx x 1 0 表示表示x在在M上的正交投影上的正交投影 最佳逼近問題實(shí)際上就是求正交投影的問題最佳逼近問題實(shí)際上就是求正交投影的問題 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第19頁頁 (2) 最佳逼近問題的求解步驟：最佳逼近問題的求解步驟： 設(shè)設(shè)xn M線性無關(guān)，記線性無關(guān)，記M=spanx1, x2, , xn H 唯一的唯一的x0 0: : Mxx n

22、k kk 1 0 使得使得|x-x0|=inf |x-y|, 且對(duì)且對(duì) y M, 有有=0 =0 (xk M, k =1,2,n) = (xk M, k =1,2,n) ),.2 , 1(, 1 nkxxxx kk n k kk ),.2 , 1(, 1 nkxxxx kk n k kk M是是H的閉線性子空間的閉線性子空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第20頁頁 ),.2 , 1( , , , , 1 1111 1 1111 nk xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx nnnkn nk nnnn n k 01 1 0 ,xxxxx n k kk 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

23、下頁 返回 結(jié)束 第第21頁頁 三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù)三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù) 1 正交系的概念正交系的概念 在解析幾何中，向量在解析幾何中，向量i, j, k起著坐標(biāo)架的作用起著坐標(biāo)架的作用, ,他們兩兩正交他們兩兩正交, ,R3 中一切向量中一切向量x x都能由他們線性表示：都能由他們線性表示：x=x1i+x2j+x3k。這是解析幾何。這是解析幾何 的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。 R3中的向量正交概念中的向量正交概念 一般內(nèi)積空間中的向量正交概念一般內(nèi)積空間中的向量正交概念 定義定義7 ( (正交集與標(biāo)準(zhǔn)正交系正交集與標(biāo)準(zhǔn)正交系) ) 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,M H,(1)

24、,(1)如果對(duì)如果對(duì) x,y M, x y, 都有都有=0，則稱則稱M是是H中的正交系。中的正交系。 . , 1 ; , 0 , nm nm ee nm (2) 設(shè)設(shè)en H, 若若 則稱則稱en是是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第22頁頁 2 正交的性質(zhì)正交的性質(zhì) 例如例如 ( (1) i, j, k 是是R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 ,.cos 1 ,cos 1 ,.,sin 1 ,cos 1 , 2 1 ntnttt 是是L2- , 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 (3) e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,

25、),en=(0,0,0,1,0,) 定理定理4 ( (勾股定理勾股定理的推廣的推廣) )設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間，若是內(nèi)積空間，若x1,x2,.,xn H是正是正 交系交系，則，則 |x1+x2+xn|2=|x1|2+ |x2|2+|xn|2 (2) 是是l 2 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第23頁頁 定理定理7 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間，若是內(nèi)積空間，若M=e1,e2,.,en, H是標(biāo)準(zhǔn)正交系是標(biāo)準(zhǔn)正交系, ,則則 e1,e2,en,是線性獨(dú)立系，即是線性獨(dú)立系，即e1,e2,.,en, 中的任何有限組是中的任何有限組是 線性無關(guān)的。線性無關(guān)的。 證證 n, 令

26、令 1e1+ nen= 0 = 0 j = j = 0 e1,en線性無關(guān)線性無關(guān)e1,en,是線性獨(dú)立系。是線性獨(dú)立系。 定理定理8 (Gram-Schmidt正交化定理正交化定理) )設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,x1,x2,.,xn, H 是是H中任一個(gè)線性獨(dú)立系中任一個(gè)線性獨(dú)立系, ,則可將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個(gè)標(biāo)則可將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個(gè)標(biāo) 準(zhǔn)正交系。準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第24頁頁 定理定理8 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間，是內(nèi)積空間，e1,e2,.,en, H是標(biāo)準(zhǔn)正交系，是標(biāo)準(zhǔn)正交系， 記記 Mn=spane1,en. 即為即為x在在Mn上的正交投影

27、。上的正交投影。 . |inf),(| 222 yxMxxxxx n My nnn 22 1 2 |,|,| nn exexx (2) 若若 , 11nnnn MeexeexxXx 則則 （最佳逼近定理）（最佳逼近定理） , 11nnnn MeexeexxXx (3) , nn Mxx (1) 若若, 11nne ex ;, ii ex 則則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第25頁頁 y Mnxn-y Mnx-xn xn-y 證證 (1) = = i = i (2) 顯然顯然 xn=e1+en Mn, = = (i=1,2,n) x-xn Mn x-xn,e1,en兩兩正交兩兩正交,

28、, 且且x-xn xn. . =0 (i=1,2,n). |xn|2=|e1+en|2 =|e1|2 +|en|2=|2+|2 |x|2=|(x-xn)+xn|2=|x-xn|2+|xn|2 |x-xn|2= |x|2- |xn|2 ),(|inf| 2 n My n Mxyxxx n |x-y|2=|(x-xn)+(xn-y) |2=|x-xn|2+|xn-y|2 |x-xn|2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第26頁頁 定理定理9 ( (貝塞爾貝塞爾( (Bessel) )不等式不等式) )設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,e1,e2,.,en, H 是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則

29、 x H, 有有 1 22 , i i xex 證證由定理由定理8有有, xn=e1+en , x H, |x|2=|x-xn|2+|xn|2 |xn|2 =|x|2-|x-xn|2 |x|2 |2+|2 |x|2 |2+|2+ |x|2 (n) 推論推論 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,e1,e2,.,en, H是標(biāo)準(zhǔn)正交系是標(biāo)準(zhǔn)正交系, ,則則 x H, 有有 . 0,lim n n ex 證證 根據(jù)定理根據(jù)定理9 9，級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù) |2收斂收斂 . 0,lim n n ex 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第27頁頁 3 內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù) 定義定義8( (

30、Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)) )設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間, ,en (n=1,2,)是是H中的標(biāo)準(zhǔn)正中的標(biāo)準(zhǔn)正 交系交系, x H,則稱則稱cn= (n=1,2,)為為x關(guān)于關(guān)于en的的Fourier系數(shù)系數(shù), ,而稱而稱 11 , n nn n nn eexec 為為x關(guān)于關(guān)于en的的Fourier級(jí)數(shù)。記作級(jí)數(shù)。記作 注：注：1) x H, x的的Fourier系數(shù)系數(shù)cn=(n=1,2,)滿足滿足Bessel不等式不等式 2) 微積分學(xué)中的微積分學(xué)中的Fourier級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)是L2a,b上元素上元素x關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交系關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,.cos 1 ,cos 1 ,.,sin 1 ,cos 1

31、 , 2 1 2 baLntnttt 的的Fourier級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。 1 , n nn eexx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第28頁頁 3) x H, x的的Fourier系數(shù)系數(shù)cn= (n=1,2,)是平方可和的，是平方可和的， 即即cn l 2. . 問題問題：由定理由定理8 可知，對(duì)可知，對(duì) x H, 及任何及任何n, ,xn=e1+en 到到x的距離最小，那么當(dāng)?shù)木嚯x最小，那么當(dāng)n時(shí)，時(shí)，xn是否收斂于是否收斂于x呢？呢？ 即即x的的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)e1+en+是否收斂于是否收斂于x x？或？或 者說者說 x能否展開成傅立葉級(jí)數(shù)？能否展開成傅立葉級(jí)數(shù)？ 機(jī)動(dòng) 目錄

32、上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第29頁頁 4 內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性 定理定理11( (Fourier級(jí)數(shù)收斂的充要條件級(jí)數(shù)收斂的充要條件) ) 設(shè)設(shè)en是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間H的標(biāo)準(zhǔn)正的標(biāo)準(zhǔn)正 交系交系, ,x H,則則x關(guān)于關(guān)于en的的Fourier級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于x的充要條件是成立巴的充要條件是成立巴 塞弗塞弗( (Parseval) )等式：等式： 1 22 , i i xex 證證 由定理由定理8知知, ,若若 x X, 取取xn=e1+en,則則x-xn xn, ,且且 222 nn xxxx 1 22222 ,lim0)(lim i in n

33、n n exxxxx , 1 22 n i in exx 0,lim0limlim 1 n i n n n n n n exxxxxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第30頁頁 問題：問題：對(duì)于對(duì)于n維歐氏空間而言，如果基向量的個(gè)數(shù)小于維歐氏空間而言，如果基向量的個(gè)數(shù)小于n, ,則空間則空間 中的一些向量就無法用這些基向量線性表示。這時(shí)可以認(rèn)為基向中的一些向量就無法用這些基向量線性表示。這時(shí)可以認(rèn)為基向 量沒有選量沒有選“完全完全”。此時(shí)不能保證。此時(shí)不能保證Parseval等式成立，而只有等式成立，而只有 Bessel不等式成立。只有基向量的個(gè)數(shù)等于不等式成立。只有基向量的個(gè)數(shù)等于n

34、時(shí)，才能認(rèn)為基向量時(shí)，才能認(rèn)為基向量 是是“完全完全”的。的。 對(duì)于一般的無限維內(nèi)積空間，也只有當(dāng)基選完全時(shí)，才能保對(duì)于一般的無限維內(nèi)積空間，也只有當(dāng)基選完全時(shí)，才能保 證證Parseval等式成立，從而使得空間中的任何元素都能由這組完等式成立，從而使得空間中的任何元素都能由這組完 全的基線性表示，其傅立葉級(jí)數(shù)才能收斂于自身，或者說，全的基線性表示，其傅立葉級(jí)數(shù)才能收斂于自身，或者說，H中中 的任何元素都可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)。那么，如何確認(rèn)其基向量的任何元素都可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)。那么，如何確認(rèn)其基向量 是完全的呢？為此引入下面的定義：是完全的呢？為此引入下面的定義： 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

35、返回 結(jié)束 第第31頁頁 定義定義9 (9 (完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系) ) 設(shè)設(shè)H是內(nèi)積空間，是內(nèi)積空間，en (n=1,2,)是是 H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，如果在中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，如果在H中不再存在于所有中不再存在于所有en(n=1,2,) 都都 正交的非零元素，即如果正交的非零元素，即如果x H, x en(n=1,2,), 必有必有x= , , 則稱則稱 en是是H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。 ,.cos 1 ,cos 1 ,.,sin 1 ,cos 1 , 2 1 ntnttt 是是L2- , 中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。 （2）勒讓德勒讓德( (Legendre) )多項(xiàng)式表示的正交系多項(xiàng)式表示的正交系 例如例如，（，（1）三角函數(shù)系三角函數(shù)系 ,.)2