數(shù)字信號處理課后答案

1、第一章 離散時間系統(tǒng)與z變換1 解：p(t)是一個周期函數(shù)，可以用傅氏級數(shù)來表示 2 解：頻譜混淆現(xiàn)象是指采樣頻率小于帶限信號的最高頻率(0到2p內(nèi)) 的2倍時所產(chǎn)生的一種頻譜混疊，使得采樣后的序列不能真正反映原信號。3 解：對于來說=2p，而=8p2=4p，無失真，可以被還原；對于來說=5p，而=8p=0，因果穩(wěn)定；0，穩(wěn)定非因果(3)u(n), 因果非穩(wěn)定 ；(4)u(3-n)，非因果非穩(wěn)定(5)，因果非穩(wěn)定；(6) ，穩(wěn)定非因果(7)，因果穩(wěn)定 ；(8) ，因果穩(wěn)定(9) ，非因果非穩(wěn)定；(10)，因果穩(wěn)定(11) ，因果穩(wěn)定 ； (12) ，因果穩(wěn)定5 解：(1)(2)(3)6 解：(

2、1)(2)(3) 7 解：8 解：9 解：(2)(4)零極點抵消，roc為全平面10解： (4) (5)極點:z=a,z=b零點:z=0(6)(7)設(shè)y(n)如圖 x(n) -(n-1) 0 n 0 n 2n y(n)=x(n)-x(n-1)第三章 第三章用直接型及正準型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)以下傳遞函數(shù)1(1)x(n) -5 y(n) x(n) -5 y(n) 2 -3 -3 2 -1/2 -3 -3 -1/2 -1 -1 直接型 正準型(2)x(n) 0.8 3 y(n) x(n) 0.8 3 y(n) 2 -4 -4 2 2 -3 -3 2 5 -2 -2 5 直接型 正準型(3) x(n) 1/8

3、y(n) x(n) 1/8 y(n) -1 1/4 1/4 -1 2 3/8 3/8 22用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)以下傳遞函數(shù) 一共能有幾種級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)？解：x(n) 5 y(n) 0.5 -1 1.2728 -1.4142 -0.81 -1 級聯(lián)型之一共有2！*2！=4種級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)。3用級聯(lián)型及并聯(lián)型實現(xiàn)以下傳遞函數(shù)：解：(1)x(n) 3 y(n) 2 0.5 -3.5/3 0.5 -1 2.5/3 x(n) y(n) -1 -1 級聯(lián)型之一 并聯(lián)型(2) x(n) 4 y(n) 2 -0.7071 1.4142-0.7071 x(n) -0.7071 y(n) -1 0.25 2 1.4142-0

4、.7071 -1 級聯(lián)型之一 并聯(lián)型4設(shè)濾波器差分方程為：用直接i型，ii型以及全部一階節(jié)的級聯(lián)型，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)它。解：傳遞函數(shù)為：x(n) y(n) x(n) y(n) 1/3 3/4 3/4 1/3 -1/8 -1/8 直接i型 直接ii型x(n) y(n) x(n) y(n) 1/2 1/4 1/3 1/4 1/2 1/3 x(n) y(n) x(n) y(n) 1/4 1/3 1/2 1/2 1/3 1/4 級聯(lián)型 10/3 -7/3x(n) 1/2 y(n) x(n) 1/4 y(n) -7/3 10/3 1/4 1/2 并聯(lián)型5求以下結(jié)構(gòu)的差分方程及傳遞函數(shù)：x(n) y(n)

5、x(n) 2 y(n) 1/4 1/4 0.5 1.5 -0.2 -3/8 2 0.5 4 0.2 -0.8 2 (a) (b)解：(a)(b)y(n)=6x(n)+4.4x(n-1)+16.5x(n-2)+5.1x(n-3)+7.8x(n-4)+0.8x(n-5)+1.5y(n-1) -0.26y(n-2)+0.98y(n-3)+0.62y(n-4)+0.08y(n-5)6求以下結(jié)構(gòu)的差分方程及傳遞函數(shù)：解：設(shè)變量有：(b)設(shè)變量：有：用矩陣表示：其中：7已知濾波器單位脈沖響應(yīng)為，橫截型結(jié)構(gòu)。解：x(n) 0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 y(n)或： y(n)x(

6、n) 0.00032 0.0016 0.008 0.04 0.28用橫截型和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)傳遞函數(shù)。 解：x(n) x(n) y(n) -0.4142 0.4142 y(n) -1.4142 橫截型之一 級聯(lián)型之一9試問：用什麼結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)以下單位脈沖響應(yīng) 解：用橫截型：x(n) -3 5 y(n)等效為：x(n) -3 5 y(n)10fir濾波器的h(n)是圓周偶對稱的，n=6，h(0)=h(5)=1.5,h(1)=h(4)=2,h(2)=h(3)=3,求濾波器的卷積結(jié)構(gòu)。解：x(n) 1.5 2 3 3 2 1.5 y(n)或： x(n) 1.5 2 3 y(n) 可少用三個乘法器11f

7、ir濾波器的h(n)是圓周奇對稱的，n=7，h(0)=-h(6)=3,h(1)=-h(5)=-2,h(2)=-h(4)=3,h(3)=0,求濾波器的卷積結(jié)構(gòu)。解：x(n) 3 -2 3 -3 2 -3 y(n) x(n) -1 3 -2 3 y(n) 可少用兩個乘法器 x(n) -1 3 -2 y(n) 可少用三個乘法器12已知：fir濾波器的十六個頻率采樣值為：h(0)=12,h(1)=-3-j,h(2)=1+j,h(3)到h(13)都為零，h(14)=1-j,h(15)=-3+j求濾波器的采樣結(jié)構(gòu)。(設(shè)選則修正半徑r=1,即不修正極點位置)解：n=16,r=1 12 x(n) -6 0.0

8、625 y(n) 1.8487 -1 2 -1 13.用頻率采樣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)傳遞函數(shù),n=6,修正半徑r=0.9.解： 0.9 x(n) 4 0.1667 y(n) 0.9 3.6 -0.81 2 -0.9 14fir濾波器n=5,計算一個n=5的采樣結(jié)構(gòu)，修正半徑r=0.9。解： 0.9 x(n) 2 0.2 y(n) 0.5562 -3.8124 -0.81 2 -1.4562 0.2125 -0.81 第四章 第四章：無限長單位脈沖響應(yīng)(iir)濾波器的設(shè)計方法1，試用脈沖響應(yīng)不變法及雙線性變換將以上模擬傳遞函數(shù)h(z)，采樣周期t=0.5。解：(1) 用脈沖響應(yīng)不變法：(2) 用雙線性變換

9、2，采樣周期t=2,重復第1題。解：(1) 用脈沖響應(yīng)不變法：方法：(2) 雙線性變換3，采樣周期為t=0.1，重復第一題。解：(1)脈沖響應(yīng)不變法(2)雙線性變換4用脈沖不變法將以下轉(zhuǎn)換為h(z)，采樣周期t。解：(1)方法一：方法二：(2)(3),m為任意整數(shù)5是理想積分器，其輸出信號是輸入信號的積分就是曲線下的面積，現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換為一數(shù)字積分器，寫出數(shù)字積分器的傳遞函數(shù)，差分方程，畫出其結(jié)構(gòu)圖，并證明所得數(shù)字系統(tǒng)的功能與原模擬系統(tǒng)的差別就在于以采樣值向后所做的矩形面積來代替的連續(xù)面積。解：x(n) t y(n) x(n)是采樣值。tx(n)就是以采樣值向后所做的矩形面積，由差分

10、方程y(n)=tx(n)+y(n-1)，可見系統(tǒng)是遞歸型的，當前的y(n)等于當前采樣值向后所做的矩形面積之和，即，這正是：y(n)=x(n)*h(n)=tx(n)*u(n)由此證明所得數(shù)字系統(tǒng)的功能與原模擬數(shù)字系統(tǒng)的差別就在于以采樣值后所做的矩形面積來代替的連續(xù)面積。6以雙線性變換代替脈沖響應(yīng)不變法，重復第五題。并證明這時數(shù)字系統(tǒng)的功能就是將前后兩采樣點之間連線所圍成的梯形面積來代替的連續(xù)面積。解：x(n) y(n) t/2同第五題。(t/2)x(n)+x(n-1)是兩采樣點之間連線所圍成的梯形面積。y(n)等于這塊梯形面積加以往各梯形面積之和，以代替的連續(xù)面積。用數(shù)學式子加以表示：7一個采

11、樣數(shù)字處理低通濾波器如圖，h(z)的截止頻率為，整個系統(tǒng)相當于一個模擬低通濾波器，今采樣頻率，問等效于模擬低通的截止頻率=？若采樣頻率分別為，而h(z)不變，問這時等效于模擬低通的截止頻率又為多少？ d/a h(z) a/d x(n) y(n) 解：8設(shè)采樣頻率為=6.28318khz，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階巴特瓦茲數(shù)字低通，截止頻率為=1khz,并畫出該低通的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖。解：設(shè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖： 03679 x(n) y(n) -1 -1 9用雙線性變換設(shè)計一個巴特瓦茲數(shù)字低通，采樣頻率為=1.2khz，截止頻率為=400hz。解：數(shù)字域臨界頻率為，預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率將代入式(4-1

12、9)10用雙線性變換設(shè)計一個巴特瓦茲數(shù)字低通，采樣頻率為=6khz，截止頻率為=1.5khz。解：數(shù)字域臨界頻率為,預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率,將代入式(4-19)由雙線性變換得：11用雙線性變換設(shè)計一個巴特瓦茲數(shù)字高通，采樣頻率為=720hz，上下邊帶截止頻率為。解：數(shù)字域的上下邊帶截止頻率代入式(4-28),求中心頻率：代入式(4-30)，求模擬低通的截止頻率：模擬低通為12若是模擬網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)，也就是網(wǎng)絡(luò)在單位階躍輸入的情況下的輸出，即=u(t)則為數(shù)字網(wǎng)絡(luò)h(z)的階躍響應(yīng)，即網(wǎng)絡(luò)在單位階躍序列輸入下的輸出序列，x(n)=u(n)則。如果已知及，令這樣來設(shè)計h(z)就稱為階躍不變法，試

13、用階躍不變法確定h(z)與的關(guān)系。解：兩邊取z變換得：其中表示反拉氏變換。13證明式(4-37)滿足全通特性，即。證明：14證明式(4-37)滿足穩(wěn)定性要求，即z平面的單位圓以內(nèi)映射到u的單位圓以內(nèi)，z平面的單位圓以外映射到u的單位圓以外。解： |r|1時，即z平面單位圓以外映射到u單位圓以外同理，當當|r|1時，|u|1即z平面單位圓以內(nèi)映射到u單位圓以內(nèi)。15證明式(4-37)當n=1時，即一個實根單節(jié)全通函數(shù)時，其相位函數(shù)滿足j(0)-j(p)=p。解：j(0)-j(p)=p16證明式(4-37)當n=2,并且為一對共軛復根時，j(0)-j(p)=2p。證明：17證明式(4-37)的相差

14、一般特性，j(0)-j(p)=np。證明：當為實數(shù)時，n為偶數(shù)1，n為奇數(shù)-1所以當為復數(shù)時，則兩兩共軛，n=2r時相當于16題情況1n=2r+1時則有r對共軛復根和一個實根，-1所以18證明u=-z是一個低通到高通，帶通到帶阻的穩(wěn)定轉(zhuǎn)換。證明：h(u)=h(-z)=變化的是相位而幅度無變化。19若及分別為兩個穩(wěn)定的全通變換函數(shù)，證明仍然是穩(wěn)定全通變換函數(shù)。證明：|=|=1|=1第五章 第五章有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計方法1 解：(a) (b) 為了保證線性相位h(n)的類型取決于，n為奇數(shù)h(n)為偶對稱第一類，h(n)必須偶對稱于n=a處，否則不滿足n為奇數(shù)的已知條件若n為偶數(shù)。即n=

15、2k,則h(n)必須奇對稱于n=a處，否則不滿足n為偶數(shù)的已知條件(c) 2 解：(a) (b)為了保證線性相位若n為奇數(shù)，設(shè)n=2k+1則a=kh(n)滿足奇對稱，即h(n)=-h(n-1-n)屬于第iii類fir濾波器若n為偶數(shù)，設(shè)n=2k則a=k-1/2h(n)滿足偶對稱，即h(n)=h(n-1-n)屬于第ii類fir濾波器(c)3 解： (a) n為奇數(shù)時，設(shè)n=2k+1，h(n)滿足于偶對稱，屬于第i類fir濾波器(b) n為偶數(shù)時，設(shè)n=2k,a=k-1/2h(n)滿足偶對稱，屬于第ii類fir濾波器(c) n為奇數(shù)時，用升余弦窗設(shè)計n為偶數(shù)，用升余弦窗設(shè)計4 解：與第三題相比知由

16、-wa變?yōu)?aw-p/2，所以只需將上題由偶對稱變?yōu)槠鎸ΨQ即可(a) n為奇數(shù)，a=k奇對稱屬于第iii類濾波器(b) n為偶數(shù)，a=k-1/2奇對稱屬于第iv類濾波器(c) 用改進升余弦窗設(shè)計n為奇數(shù)n為偶數(shù)5 解：(a) 一個帶阻濾波器相當于一個全通濾波器減去一個帶通濾波器全通帶通則帶阻(b) 因是線性相位濾波器，不妨設(shè)j(w)=-aw6 解：(a)(b)n為奇數(shù)時，a=(n-1)/2=kn為偶數(shù)時，a=(n-1)/2=k-1/2顯然n為偶數(shù)時性能好(c)7 解：(a)(b)n為奇數(shù)時，a=kn為偶數(shù)時，a=k-1/2n為奇數(shù)時性能好(c) 9解：(a)(b)橫截型x(n) 頻率采樣型 h

17、(0) x(n) h(1) 1/15 y(n) h(14) (c)橫截型用的乘法器多，頻率采樣型用的加法器多10解：(a)為的圓周移位(b)如圖所示，又知，均關(guān)于n=3.5偶對稱，所以屬于線性相位濾波器時延為3.511解：圖略第一類線性相位fir濾波器，設(shè)計的過渡帶寬如果邊沿設(shè)定v(k)為一點，即令v(9)= v(24)=0.3912解：(a) n=33(b) n=3213.解：(a) n=33，因為n為奇數(shù)，所以可能是第i，iii型濾波器第i型第iii型(b) n=34, 可能是第ii,iv型濾波第ii型第iv型14解：(a) n為偶數(shù)，上面正交網(wǎng)絡(luò)可設(shè)計成第iv型濾波器(b) n為奇數(shù)，純

18、虛數(shù)幅度響應(yīng)樣本為：由于這是一個iii型線性相位濾波器，在w=p處振幅響應(yīng)應(yīng)為零，即為了減少波動，在靠近w=p處（即中點兩旁）設(shè)過渡點，不妨選值為0.4j15解：(a)（虛數(shù)）幅度樣本為：n為奇數(shù)時沒有突變邊沿n為偶數(shù)時沒有突變邊沿(b) n為偶數(shù)時(8)x(z)=11.解:長除法:留數(shù)定律:由收斂域可知x(n)是右邊,所以不必考慮n=0有一個極點為z=0.5,也即部分分式法: (2)長除法:留數(shù)法:由收斂域可知x(n)為左邊序列,所以不必考慮n=0的情況n=0時,有極點z=0,部分分式法:12.解:零點:z=0(二階)極點:z=2,z=1/2(1)|z|2為右邊序列,(2)|z|0.5為左邊

19、序列,x(n)=(3)0.5|z|2為雙邊序列,x(n)=13.解:(3)(7)14解： 15解：(1)(2)16證明：17解：18解：x(n)是因果序列，(1)(2)(3)19解：(1)(2)20解：(1)(2)(3)21解：(1) 直接法復卷積法：22解：23解：直接法(1)， |ab|0零點：極點：其中極點與零點抵消所以共有零點(n-1)個35解：(1)所以具有零相位(2)所以具有零相移第二章 離散傅里葉變換(dft)1 設(shè)x(n)=r3(n)求，并作圖表示，。解： = -7 1 2 7 8 9 n | k2.設(shè)求：，的周期卷積序列，以及。 解：2 用封閉形式表達以下有限長序列的dftx

20、(n)。解：(1)x(k)=dftx(n) (2) (3)有：x(k)=dftx(n) (4)4.已知以下x(k),求idftx(k),其中m為某一正整數(shù),0mn/2.解：(1)(2)x(n)=idftx(k)= 5有限長為n=100的兩序列作出x(n),y(n)示意圖,并求圓周卷積f(n)=x(n)y(n)并作圖。解： x(n) y(n) 10 99 n 90 99 n y(n) 10 90 99 n6有限長序列n=10的兩序列用作圖表示x(n),y(n)f(n)=x(n)y(n)。解： x(n) 0 9 ny(n) 9 nf(n) 5 1-1 n-3 -57已知兩有限長序列用卷積法和dft變換兩種方法分別求解f(n)。解：(1) (2) (3) 8x(n)為長為n有限長序列，分別為x(n)的圓周共軛偶部及奇部，也即：證明： 9證明：若x(n)實偶對稱，即x(n)=x(n-n),則x(k)也實偶對稱； 若x(n)實奇對稱，