數(shù)字信號(hào)處理課后答案

1、第一章 離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換1 解：p(t)是一個(gè)周期函數(shù)，可以用傅氏級(jí)數(shù)來(lái)表示 2 解：頻譜混淆現(xiàn)象是指采樣頻率小于帶限信號(hào)的最高頻率(0到2p內(nèi)) 的2倍時(shí)所產(chǎn)生的一種頻譜混疊，使得采樣后的序列不能真正反映原信號(hào)。3 解：對(duì)于來(lái)說(shuō)=2p，而=8p2=4p，無(wú)失真，可以被還原；對(duì)于來(lái)說(shuō)=5p，而=8p=0，因果穩(wěn)定；0，穩(wěn)定非因果(3)u(n), 因果非穩(wěn)定 ；(4)u(3-n)，非因果非穩(wěn)定(5)，因果非穩(wěn)定；(6) ，穩(wěn)定非因果(7)，因果穩(wěn)定 ；(8) ，因果穩(wěn)定(9) ，非因果非穩(wěn)定；(10)，因果穩(wěn)定(11) ，因果穩(wěn)定 ； (12) ，因果穩(wěn)定5 解：(1)(2)(3)6 解：(

2、1)(2)(3) 7 解：8 解：9 解：(2)(4)零極點(diǎn)抵消，roc為全平面10解： (4) (5)極點(diǎn):z=a,z=b零點(diǎn):z=0(6)(7)設(shè)y(n)如圖 x(n) -(n-1) 0 n 0 n 2n y(n)=x(n)-x(n-1)第三章 第三章用直接型及正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下傳遞函數(shù)1(1)x(n) -5 y(n) x(n) -5 y(n) 2 -3 -3 2 -1/2 -3 -3 -1/2 -1 -1 直接型 正準(zhǔn)型(2)x(n) 0.8 3 y(n) x(n) 0.8 3 y(n) 2 -4 -4 2 2 -3 -3 2 5 -2 -2 5 直接型 正準(zhǔn)型(3) x(n) 1/8

3、y(n) x(n) 1/8 y(n) -1 1/4 1/4 -1 2 3/8 3/8 22用級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下傳遞函數(shù) 一共能有幾種級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)？解：x(n) 5 y(n) 0.5 -1 1.2728 -1.4142 -0.81 -1 級(jí)聯(lián)型之一共有2！*2！=4種級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)。3用級(jí)聯(lián)型及并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)以下傳遞函數(shù)：解：(1)x(n) 3 y(n) 2 0.5 -3.5/3 0.5 -1 2.5/3 x(n) y(n) -1 -1 級(jí)聯(lián)型之一 并聯(lián)型(2) x(n) 4 y(n) 2 -0.7071 1.4142-0.7071 x(n) -0.7071 y(n) -1 0.25 2 1.4142-0

4、.7071 -1 級(jí)聯(lián)型之一 并聯(lián)型4設(shè)濾波器差分方程為：用直接i型，ii型以及全部一階節(jié)的級(jí)聯(lián)型，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)它。解：傳遞函數(shù)為：x(n) y(n) x(n) y(n) 1/3 3/4 3/4 1/3 -1/8 -1/8 直接i型 直接ii型x(n) y(n) x(n) y(n) 1/2 1/4 1/3 1/4 1/2 1/3 x(n) y(n) x(n) y(n) 1/4 1/3 1/2 1/2 1/3 1/4 級(jí)聯(lián)型 10/3 -7/3x(n) 1/2 y(n) x(n) 1/4 y(n) -7/3 10/3 1/4 1/2 并聯(lián)型5求以下結(jié)構(gòu)的差分方程及傳遞函數(shù)：x(n) y(n)

5、x(n) 2 y(n) 1/4 1/4 0.5 1.5 -0.2 -3/8 2 0.5 4 0.2 -0.8 2 (a) (b)解：(a)(b)y(n)=6x(n)+4.4x(n-1)+16.5x(n-2)+5.1x(n-3)+7.8x(n-4)+0.8x(n-5)+1.5y(n-1) -0.26y(n-2)+0.98y(n-3)+0.62y(n-4)+0.08y(n-5)6求以下結(jié)構(gòu)的差分方程及傳遞函數(shù)：解：設(shè)變量有：(b)設(shè)變量：有：用矩陣表示：其中：7已知濾波器單位脈沖響應(yīng)為，橫截型結(jié)構(gòu)。解：x(n) 0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 y(n)或： y(n)x(

6、n) 0.00032 0.0016 0.008 0.04 0.28用橫截型和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)。 解：x(n) x(n) y(n) -0.4142 0.4142 y(n) -1.4142 橫截型之一 級(jí)聯(lián)型之一9試問(wèn)：用什麼結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)以下單位脈沖響應(yīng) 解：用橫截型：x(n) -3 5 y(n)等效為：x(n) -3 5 y(n)10fir濾波器的h(n)是圓周偶對(duì)稱的，n=6，h(0)=h(5)=1.5,h(1)=h(4)=2,h(2)=h(3)=3,求濾波器的卷積結(jié)構(gòu)。解：x(n) 1.5 2 3 3 2 1.5 y(n)或： x(n) 1.5 2 3 y(n) 可少用三個(gè)乘法器11f

7、ir濾波器的h(n)是圓周奇對(duì)稱的，n=7，h(0)=-h(6)=3,h(1)=-h(5)=-2,h(2)=-h(4)=3,h(3)=0,求濾波器的卷積結(jié)構(gòu)。解：x(n) 3 -2 3 -3 2 -3 y(n) x(n) -1 3 -2 3 y(n) 可少用兩個(gè)乘法器 x(n) -1 3 -2 y(n) 可少用三個(gè)乘法器12已知：fir濾波器的十六個(gè)頻率采樣值為：h(0)=12,h(1)=-3-j,h(2)=1+j,h(3)到h(13)都為零，h(14)=1-j,h(15)=-3+j求濾波器的采樣結(jié)構(gòu)。(設(shè)選則修正半徑r=1,即不修正極點(diǎn)位置)解：n=16,r=1 12 x(n) -6 0.0

8、625 y(n) 1.8487 -1 2 -1 13.用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù),n=6,修正半徑r=0.9.解： 0.9 x(n) 4 0.1667 y(n) 0.9 3.6 -0.81 2 -0.9 14fir濾波器n=5,計(jì)算一個(gè)n=5的采樣結(jié)構(gòu)，修正半徑r=0.9。解： 0.9 x(n) 2 0.2 y(n) 0.5562 -3.8124 -0.81 2 -1.4562 0.2125 -0.81 第四章 第四章：無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(iir)濾波器的設(shè)計(jì)方法1，試用脈沖響應(yīng)不變法及雙線性變換將以上模擬傳遞函數(shù)h(z)，采樣周期t=0.5。解：(1) 用脈沖響應(yīng)不變法：(2) 用雙線性變換

9、2，采樣周期t=2,重復(fù)第1題。解：(1) 用脈沖響應(yīng)不變法：方法：(2) 雙線性變換3，采樣周期為t=0.1，重復(fù)第一題。解：(1)脈沖響應(yīng)不變法(2)雙線性變換4用脈沖不變法將以下轉(zhuǎn)換為h(z)，采樣周期t。解：(1)方法一：方法二：(2)(3),m為任意整數(shù)5是理想積分器，其輸出信號(hào)是輸入信號(hào)的積分就是曲線下的面積，現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換為一數(shù)字積分器，寫(xiě)出數(shù)字積分器的傳遞函數(shù)，差分方程，畫(huà)出其結(jié)構(gòu)圖，并證明所得數(shù)字系統(tǒng)的功能與原模擬系統(tǒng)的差別就在于以采樣值向后所做的矩形面積來(lái)代替的連續(xù)面積。解：x(n) t y(n) x(n)是采樣值。tx(n)就是以采樣值向后所做的矩形面積，由差分

10、方程y(n)=tx(n)+y(n-1)，可見(jiàn)系統(tǒng)是遞歸型的，當(dāng)前的y(n)等于當(dāng)前采樣值向后所做的矩形面積之和，即，這正是：y(n)=x(n)*h(n)=tx(n)*u(n)由此證明所得數(shù)字系統(tǒng)的功能與原模擬數(shù)字系統(tǒng)的差別就在于以采樣值后所做的矩形面積來(lái)代替的連續(xù)面積。6以雙線性變換代替脈沖響應(yīng)不變法，重復(fù)第五題。并證明這時(shí)數(shù)字系統(tǒng)的功能就是將前后兩采樣點(diǎn)之間連線所圍成的梯形面積來(lái)代替的連續(xù)面積。解：x(n) y(n) t/2同第五題。(t/2)x(n)+x(n-1)是兩采樣點(diǎn)之間連線所圍成的梯形面積。y(n)等于這塊梯形面積加以往各梯形面積之和，以代替的連續(xù)面積。用數(shù)學(xué)式子加以表示：7一個(gè)采

11、樣數(shù)字處理低通濾波器如圖，h(z)的截止頻率為，整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)模擬低通濾波器，今采樣頻率，問(wèn)等效于模擬低通的截止頻率=？若采樣頻率分別為，而h(z)不變，問(wèn)這時(shí)等效于模擬低通的截止頻率又為多少？ d/a h(z) a/d x(n) y(n) 解：8設(shè)采樣頻率為=6.28318khz，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特瓦茲數(shù)字低通，截止頻率為=1khz,并畫(huà)出該低通的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖。解：設(shè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖： 03679 x(n) y(n) -1 -1 9用雙線性變換設(shè)計(jì)一個(gè)巴特瓦茲數(shù)字低通，采樣頻率為=1.2khz，截止頻率為=400hz。解：數(shù)字域臨界頻率為，預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率將代入式(4-1

12、9)10用雙線性變換設(shè)計(jì)一個(gè)巴特瓦茲數(shù)字低通，采樣頻率為=6khz，截止頻率為=1.5khz。解：數(shù)字域臨界頻率為,預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率,將代入式(4-19)由雙線性變換得：11用雙線性變換設(shè)計(jì)一個(gè)巴特瓦茲數(shù)字高通，采樣頻率為=720hz，上下邊帶截止頻率為。解：數(shù)字域的上下邊帶截止頻率代入式(4-28),求中心頻率：代入式(4-30)，求模擬低通的截止頻率：模擬低通為12若是模擬網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)，也就是網(wǎng)絡(luò)在單位階躍輸入的情況下的輸出，即=u(t)則為數(shù)字網(wǎng)絡(luò)h(z)的階躍響應(yīng)，即網(wǎng)絡(luò)在單位階躍序列輸入下的輸出序列，x(n)=u(n)則。如果已知及，令這樣來(lái)設(shè)計(jì)h(z)就稱為階躍不變法，試

13、用階躍不變法確定h(z)與的關(guān)系。解：兩邊取z變換得：其中表示反拉氏變換。13證明式(4-37)滿足全通特性，即。證明：14證明式(4-37)滿足穩(wěn)定性要求，即z平面的單位圓以內(nèi)映射到u的單位圓以內(nèi)，z平面的單位圓以外映射到u的單位圓以外。解： |r|1時(shí)，即z平面單位圓以外映射到u單位圓以外同理，當(dāng)當(dāng)|r|1時(shí)，|u|1即z平面單位圓以內(nèi)映射到u單位圓以內(nèi)。15證明式(4-37)當(dāng)n=1時(shí)，即一個(gè)實(shí)根單節(jié)全通函數(shù)時(shí)，其相位函數(shù)滿足j(0)-j(p)=p。解：j(0)-j(p)=p16證明式(4-37)當(dāng)n=2,并且為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，j(0)-j(p)=2p。證明：17證明式(4-37)的相差

14、一般特性，j(0)-j(p)=np。證明：當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，n為偶數(shù)1，n為奇數(shù)-1所以當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，則兩兩共軛，n=2r時(shí)相當(dāng)于16題情況1n=2r+1時(shí)則有r對(duì)共軛復(fù)根和一個(gè)實(shí)根，-1所以18證明u=-z是一個(gè)低通到高通，帶通到帶阻的穩(wěn)定轉(zhuǎn)換。證明：h(u)=h(-z)=變化的是相位而幅度無(wú)變化。19若及分別為兩個(gè)穩(wěn)定的全通變換函數(shù)，證明仍然是穩(wěn)定全通變換函數(shù)。證明：|=|=1|=1第五章 第五章有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)方法1 解：(a) (b) 為了保證線性相位h(n)的類型取決于，n為奇數(shù)h(n)為偶對(duì)稱第一類，h(n)必須偶對(duì)稱于n=a處，否則不滿足n為奇數(shù)的已知條件若n為偶數(shù)。即n=

15、2k,則h(n)必須奇對(duì)稱于n=a處，否則不滿足n為偶數(shù)的已知條件(c) 2 解：(a) (b)為了保證線性相位若n為奇數(shù)，設(shè)n=2k+1則a=kh(n)滿足奇對(duì)稱，即h(n)=-h(n-1-n)屬于第iii類fir濾波器若n為偶數(shù)，設(shè)n=2k則a=k-1/2h(n)滿足偶對(duì)稱，即h(n)=h(n-1-n)屬于第ii類fir濾波器(c)3 解： (a) n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1，h(n)滿足于偶對(duì)稱，屬于第i類fir濾波器(b) n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k,a=k-1/2h(n)滿足偶對(duì)稱，屬于第ii類fir濾波器(c) n為奇數(shù)時(shí)，用升余弦窗設(shè)計(jì)n為偶數(shù)，用升余弦窗設(shè)計(jì)4 解：與第三題相比知由

16、-wa變?yōu)?aw-p/2，所以只需將上題由偶對(duì)稱變?yōu)槠鎸?duì)稱即可(a) n為奇數(shù)，a=k奇對(duì)稱屬于第iii類濾波器(b) n為偶數(shù)，a=k-1/2奇對(duì)稱屬于第iv類濾波器(c) 用改進(jìn)升余弦窗設(shè)計(jì)n為奇數(shù)n為偶數(shù)5 解：(a) 一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)帶通濾波器全通帶通則帶阻(b) 因是線性相位濾波器，不妨設(shè)j(w)=-aw6 解：(a)(b)n為奇數(shù)時(shí)，a=(n-1)/2=kn為偶數(shù)時(shí)，a=(n-1)/2=k-1/2顯然n為偶數(shù)時(shí)性能好(c)7 解：(a)(b)n為奇數(shù)時(shí)，a=kn為偶數(shù)時(shí)，a=k-1/2n為奇數(shù)時(shí)性能好(c) 9解：(a)(b)橫截型x(n) 頻率采樣型 h

17、(0) x(n) h(1) 1/15 y(n) h(14) (c)橫截型用的乘法器多，頻率采樣型用的加法器多10解：(a)為的圓周移位(b)如圖所示，又知，均關(guān)于n=3.5偶對(duì)稱，所以屬于線性相位濾波器時(shí)延為3.511解：圖略第一類線性相位fir濾波器，設(shè)計(jì)的過(guò)渡帶寬如果邊沿設(shè)定v(k)為一點(diǎn)，即令v(9)= v(24)=0.3912解：(a) n=33(b) n=3213.解：(a) n=33，因?yàn)閚為奇數(shù)，所以可能是第i，iii型濾波器第i型第iii型(b) n=34, 可能是第ii,iv型濾波第ii型第iv型14解：(a) n為偶數(shù)，上面正交網(wǎng)絡(luò)可設(shè)計(jì)成第iv型濾波器(b) n為奇數(shù)，純

18、虛數(shù)幅度響應(yīng)樣本為：由于這是一個(gè)iii型線性相位濾波器，在w=p處振幅響應(yīng)應(yīng)為零，即為了減少波動(dòng)，在靠近w=p處（即中點(diǎn)兩旁）設(shè)過(guò)渡點(diǎn)，不妨選值為0.4j15解：(a)（虛數(shù)）幅度樣本為：n為奇數(shù)時(shí)沒(méi)有突變邊沿n為偶數(shù)時(shí)沒(méi)有突變邊沿(b) n為偶數(shù)時(shí)(8)x(z)=11.解:長(zhǎng)除法:留數(shù)定律:由收斂域可知x(n)是右邊,所以不必考慮n=0有一個(gè)極點(diǎn)為z=0.5,也即部分分式法: (2)長(zhǎng)除法:留數(shù)法:由收斂域可知x(n)為左邊序列,所以不必考慮n=0的情況n=0時(shí),有極點(diǎn)z=0,部分分式法:12.解:零點(diǎn):z=0(二階)極點(diǎn):z=2,z=1/2(1)|z|2為右邊序列,(2)|z|0.5為左邊

19、序列,x(n)=(3)0.5|z|2為雙邊序列,x(n)=13.解:(3)(7)14解： 15解：(1)(2)16證明：17解：18解：x(n)是因果序列，(1)(2)(3)19解：(1)(2)20解：(1)(2)(3)21解：(1) 直接法復(fù)卷積法：22解：23解：直接法(1)， |ab|0零點(diǎn)：極點(diǎn)：其中極點(diǎn)與零點(diǎn)抵消所以共有零點(diǎn)(n-1)個(gè)35解：(1)所以具有零相位(2)所以具有零相移第二章 離散傅里葉變換(dft)1 設(shè)x(n)=r3(n)求，并作圖表示，。解： = -7 1 2 7 8 9 n | k2.設(shè)求：，的周期卷積序列，以及。 解：2 用封閉形式表達(dá)以下有限長(zhǎng)序列的dftx

20、(n)。解：(1)x(k)=dftx(n) (2) (3)有：x(k)=dftx(n) (4)4.已知以下x(k),求idftx(k),其中m為某一正整數(shù),0mn/2.解：(1)(2)x(n)=idftx(k)= 5有限長(zhǎng)為n=100的兩序列作出x(n),y(n)示意圖,并求圓周卷積f(n)=x(n)y(n)并作圖。解： x(n) y(n) 10 99 n 90 99 n y(n) 10 90 99 n6有限長(zhǎng)序列n=10的兩序列用作圖表示x(n),y(n)f(n)=x(n)y(n)。解： x(n) 0 9 ny(n) 9 nf(n) 5 1-1 n-3 -57已知兩有限長(zhǎng)序列用卷積法和dft變換兩種方法分別求解f(n)。解：(1) (2) (3) 8x(n)為長(zhǎng)為n有限長(zhǎng)序列，分別為x(n)的圓周共軛偶部及奇部，也即：證明： 9證明：若x(n)實(shí)偶對(duì)稱，即x(n)=x(n-n),則x(k)也實(shí)偶對(duì)稱； 若x(n)實(shí)奇對(duì)稱，