高中數(shù)學(xué)完整講義——二項(xiàng)式定理3.二項(xiàng)展開式3賦值求某些項(xiàng)系數(shù)的和與差

1、高中數(shù)學(xué)講義賦值求某些項(xiàng)系數(shù)的和與差知識(shí)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理an0 n1 n 12 n 2 2n nNbCn aCn a b Cn ab. Cn b n這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)0 n1n 12 n 2 2nnrnCn r 0, 1, 2, ., n叫做二Cn aCn ab Cn ab .Cn b 叫做 a b的二項(xiàng)展開式， 其中的系數(shù)項(xiàng)式系數(shù)，式中的Cnr an r br 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr 1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r1 項(xiàng)：Tr 1Cnr a n r br 二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)冪指數(shù)二項(xiàng)式 abnn1 項(xiàng)，各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是的展開式項(xiàng)數(shù)為各項(xiàng)的

2、次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n 字母 a 的按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n 逐項(xiàng)減1 直到零，字母 b 按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1 直到 n 幾點(diǎn)注意通項(xiàng) Trrn r r是 abn1 項(xiàng)，這里 r0, 1, 2,., n 1Cn ab的展開式的第 ran1項(xiàng)和nr a r 是有區(qū)別的， 應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)， 其二項(xiàng)式b的 rb a 的展開式的第 r 1項(xiàng) Cnr bn中的 a 和 b 是不能隨便交換的注意二項(xiàng)式系數(shù)（Cnr ）與展開式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù)通項(xiàng)公式是n這 個(gè) 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 下 而 言 的 ， 如 a bna b的二項(xiàng)展

3、開式的通項(xiàng)公式是rr n rrb 看成 b 代入二項(xiàng)式定理） 這與 Tr 1rn r rTr 11Cn ab （只須把Cn a b 是不同的， 在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的Cnrr二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是1 Cnr ，一個(gè)是 Cnr，可看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系思維的發(fā)掘能力的飛躍1高中數(shù)學(xué)講義數(shù)是不同的概念設(shè) a 1, bx ，則得公式：n.Cnr xr. xn 1 x1 Cn1 x Cn2 x2通項(xiàng)是 Tr 1Cnr an r b r r0, 1, 2, ., n 中含有 Tr 1, a , b , n , r 五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素當(dāng) n 不是很大， x 比較小時(shí)可以

4、用展開式的前幾項(xiàng)求(1x)n 的近似值2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角形：對(duì)于 n 是較小的正整數(shù)時(shí)， 可以直接寫出各項(xiàng)系數(shù)而不去套用二項(xiàng)式定理， 二項(xiàng)式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計(jì)算楊輝三角有如下規(guī)律： “左、右兩邊斜行各數(shù)都是 1其余各數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字的和 ” 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：an展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是：012n，從函數(shù)的角度看r可以看成是r 為自變量的函數(shù)bCn, Cn , Cn , ., CnCnfr，其定義域是： 0, 1, 2,3, .,n 當(dāng)n6時(shí)， f r 的圖象為下圖：這樣我們利用“楊輝三角”和n6 時(shí) fr的圖象的直觀來(lái)幫助我們研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”

5、的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式CnmCnn m 得到增減性與最大值如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大由于展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)順次是Cn01, Cn1 n , Cn2n n 1，11 22思維的發(fā)掘能力的飛躍高中數(shù)學(xué)講義Cn3n n1n2，1 23Cnk 1nn 12n2. nk2 ， Cnk n n1 n2 . nk2n k 1，13 .k112 3.k1 kCnn1 其中，后一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子是前一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子乘以逐次減小1 的數(shù)（如 n, n1, n 2,. ），分母是乘以逐次增大的數(shù)（

6、如1， 2， 3， ）因?yàn)?，一個(gè)自然數(shù)乘以一個(gè)大于1 的數(shù)則變大，而乘以一個(gè)小于1 的數(shù)則變小，從而當(dāng)k 依次取 1， 2，3， 等值時(shí)，r的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了又因?yàn)镃n與首末兩端 “等距離”的兩項(xiàng)的式系數(shù)相等，所以二項(xiàng)式系數(shù)增大到某一項(xiàng)時(shí)就逐漸減小，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， n1是奇數(shù)，展開式共有 n1 項(xiàng)，所以展開式有中間一項(xiàng)，并且這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)n最大，最大為Cn2 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，n1 是偶數(shù)，展開式共有n1項(xiàng)，所以有中間兩項(xiàng)n 1n1這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，最大為Cn2Cn2二項(xiàng)式系數(shù)的和為012r.nn2n ，即 CnCn Cn .CnCn2奇

7、數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即024135n1CnCnCn .CnCnCn. 2常見(jiàn)題型有：求展開式的某些特定項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，二項(xiàng)式定理的逆用，賦值用，簡(jiǎn)單的組合數(shù)式問(wèn)題典例分析二項(xiàng)展開式3 賦值求某些項(xiàng)系數(shù)的和與差x215【例 1】的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_；各項(xiàng)系數(shù)之和為 _（用數(shù)字作答）x3【例 2】若 ( x1 )n 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答） x思維的發(fā)掘能力的飛躍3高中數(shù)學(xué)講義【例3】 284 的項(xiàng)的系數(shù)和為x 展開式中不含 xA 1B 29C 210D 215【例 4】 若 x2 1n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32 ，則 n_，其展

8、開式中的常數(shù)項(xiàng)為 _（用x3數(shù)字作答）【例 5】(1x)6a0a1 xa2 x2La6 x6 ，則 a0a1a2La6_1n【例 6】 在二項(xiàng)式x的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng)42x25【例 7】 x的展開式中2的系數(shù)是 _；其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 _（用數(shù)字作2xx答）【例 8】 若 (2 x 3) 4a0 a1 x a2 x2a3 x3a4 x4 ，則 (a0 a2a4 ) 2(a1 a3 ) 2 的值為 _（用數(shù)字作答）4思維的發(fā)掘能力的飛躍高中數(shù)學(xué)講義【例 9】 設(shè) 5xnM ， 二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若 MN 240，則x 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為展開式中

9、x3 的系數(shù)為（）A 150B 150C 500D 500【例 10】若 ( x2) n 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于64 ，則第三項(xiàng)是1n【例 11】若 x展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為x1n【例 12】 在二項(xiàng)式3 x的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列2 3x求展開式的第四項(xiàng)；求展開式的常數(shù)項(xiàng)；求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和思維的發(fā)掘能力的飛躍5高中數(shù)學(xué)講義【例 13】若 2100a2 x2a3 x3a100 x100 ，3xa0a1xL求 a0a2 a4La1002a3a52a1L a99 的值【例 14】若 (1x)2nn，(1 x)L (1 x)a0 a1 (x 1)

10、L an (x 1)則 a0a1L an【例 15】 若 (2 x3) 4a0a1 xa2 x2a3 x3a4 x4 ，則 (a0a2a4 )2(a1a3 ) 2 的值為 _（用數(shù)字作答）【例 16】 若 ( x 2)5a0a1x a2 x2a3 x3a4 x4a5 x5 ，則 a1 a2a3a4 a5 _【例 17】 已知 (12x)7a0a1xa2 x2La7 x7 ，求 | a0 | a1 |L| a7 | 6思維的發(fā)掘能力的飛躍高中數(shù)學(xué)講義【例 18】 若 1 2x7a3 x3a4 x4a5 x5a6 x6a7 x7 ，求 a0a2 a4 a6 的值a0 a1 a2 x2【例 19】

11、若 (2 x3) 4a0 a1 x a2 x2a3 x3a4 x4 ，則 (a0 a2 a 4 )2(a1 a3 ) 2 的值為（）A 1B 1C 0D 2【例 20】 若 (1100a02L a100 (x100，則 a1a3a5 L a99 （）2 x)a1 (x 1) a2 (x 1)1)A 1(31001)B 1(31001)C 1(51001)D 1(51001)2222【例 21】 已知 12x7a0 a1 x a2 x L a7 x7 ，求： a1a2a3L a7 ； a1a3a5a7 ； a0a2a4a6 【例 22】若 2100a2 x2a3 x3a100 x100 ，3xa

12、0a1xL求 a0a2 a4L2a1a3a52a100L a99 的值思維的發(fā)掘能力的飛躍7高中數(shù)學(xué)講義【例 23】 若 ( x 2)5a5 x5a4 x4a3 x3a2 x2a1 x a0 ，則 a1 a2a3 a4a5_（用數(shù)字作答）【例 24】 若 (1x)(1x)2L(1x) na0a1 ( x1)L an ( x1)n ，則 a0a1L an2009a0 a1 x L a2009 x2009，則a1a2La2009的值為（）【例 25】 若 1 2x22200922A 0B 2C 1D 2【例 26】已知 ( x 1)na0 a1 ( x 1) a2 ( x 1)2a3 ( x 1)

13、3Lan ( x 1)n (n 2 , n N * ) 當(dāng) n5 時(shí)，求 a0a1a2a3a4a5 的值；設(shè) bna2, Tnb2b3b4Lbn n 32試用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n 2時(shí)， Tnn( n 1)( n1) 38思維的發(fā)掘能力的飛躍高中數(shù)學(xué)講義【例 27】請(qǐng)先閱讀：在等式 cos2 x2cos21(xR ) 的兩邊求導(dǎo)得(cos2 x)(2cos2，xx 1)由求導(dǎo)法則得 ( sin 2x) 24cos x (sin x) ，化簡(jiǎn)得 sin2 x2sin xcos x n012 2n 1 n 1n nR ，利用上述想法 （或其他方法） ，結(jié)合等式 (1 x)CnCn xCn xCnx

14、Cn x （ xx)n 1nkCnk xk 1整數(shù) n 2 ），證明： n(11k 2；n1)k kCnk對(duì)于整數(shù) n 3 ，求證：(0 k1n1)k k 2Cnkn1Cnk2n 11 對(duì)于整數(shù) n 3 ，求證(0 ；k 0 kk11n 1n2 Ck(1)2 n 2【例 28】證明：knn nk0n1k2n 2n3【例 29】證明：Cn( n1)( nk 0 ( k1)( k 2)2)12Lnn 1【例 30】求證： Cn2CnnCnn 2思維的發(fā)掘能力的飛躍9高中數(shù)學(xué)講義5【例 31】求 x1的二項(xiàng)展開式x54325 x 1 ，則 f1）【例 32】 設(shè) f (x) x5x 10x10x( x) 等于（A 15 xB 15 x 2C 15 x 2D 15 x【例 33】設(shè) a2i ，求 A1C121 aC121 a 2LC1212 a1210思維的發(fā)掘能力的飛躍高中數(shù)學(xué)講義【