兩角和差正余弦公式的證明（經(jīng)典實(shí)用）

1、兩角和差正余弦公式的證明 兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。 下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。 由角 , 的三角函數(shù)值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。 換言之 , 要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個(gè)等式或方程 , 將 或 與 , 的三角函數(shù)聯(lián)系起來。 根據(jù)誘導(dǎo)公式 , 由角 的三角函數(shù)可以得到 的三角函數(shù)。 因此 , 由和角公式容易得到對(duì)應(yīng)的差角公式 , 也可以由差角公式得到對(duì)應(yīng)的和角公式。 又因?yàn)?, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據(jù)此 , 可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。 因此 , 只要解決這組公式中的一個(gè) , 其余

2、的公式將很容易得到。 (一) 在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式 注意到單位圓比較容易表示 , 和 , 而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以用三角函數(shù)值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系 與 , 的三角函數(shù)值的等式。 1. 和角余弦公式 (方法 1) 如圖所示, 在直角坐標(biāo)系 中作單位圓 , 并作角 , 和 , 使角 的始邊為 , 交 于點(diǎn) A, 終邊交 于點(diǎn) B；角 始邊為 , 終邊交 于點(diǎn) C；角 始邊為 , 終邊交 于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B, C和 D的坐標(biāo)分別為, ,。由兩點(diǎn)間距離公式得 ；。注意到 , 因此。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內(nèi)兩

3、點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在單位圓的框架下 , 用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是 (方法2) 如圖所示, 在坐標(biāo)系 中作單位圓 , 并作角 和 , 使角 和 的始邊均為 , 交 于點(diǎn) C, 角 終邊交 于點(diǎn) A,角 終邊交 于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B的坐標(biāo)為,。 由兩點(diǎn)間距離公式得 。由余弦定理得 。從而有。 注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 是三角形的內(nèi)角。 因此, 還需要補(bǔ)充討論角 和 的終邊共線, 以及 大于 的情形。容易驗(yàn)證 , 公式在以

4、上情形中依然成立。 在上邊的證明中 , 用余弦定理計(jì)算 的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。 也可以用向量法來證明。 (二) 在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式 除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。 1. 和角正弦公式 (一) (方法3) 如圖所示, 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。設(shè) , , , 則。從而有 , , , 。因此 , 。注意到 , 從而有： , 整理可得 ：。注記：在方法 3 中 , 用 和與底角 , 相關(guān)的三角函數(shù), 從兩個(gè)角度來表示 邊上高 , 從而得到所希望的等式關(guān)系。 這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 ,

5、 對(duì)基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。 利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的 (方法 4) 如圖所示, 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。 設(shè) , , 則。 注意到 , 則有,即。 從而有 。利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個(gè)非常簡潔的證法。 注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。 (方法 5) 如圖所示 , 為 的 邊上的高。 設(shè) , , 則有 ,。 由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。 由 得 , 從而有 。2. 和角正弦公式 ( 二 ) 方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形

6、的兩個(gè)底角上。 如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角 , 將會(huì)有下面的幾種證法 ( 方法 611)。(方法 6) 如圖所示 , 作 于D, 交 外接圓于 E, 連 和。 設(shè), , 則, , 。 設(shè) 的外接圓直徑為 d, 則有, ,。 所以有。注意到 , 從而。(方法 7) 如圖所示 , 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。設(shè) , , 則。 設(shè) , 則 , , , 。又從而。整理可得 。(方法 8) 如圖所示 , 作 于D, 過 D作 于 F, 于G。 設(shè) , 則 ,設(shè) , 從而 ,。所以。 注意到 , 則有 。注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我們用兩種方法來計(jì)

7、算 , 則可以得到和角的余弦公式。 由上圖可得 , , 從而有。注意到 , 從而可得。方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段 , 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。 (方法 9 ) 如圖所示 , 設(shè) 為 的 邊上的高。 設(shè) , , , 從而有 方法 9 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。 (方法 10) 如圖所示 , 設(shè) 為 的外接圓直徑d, 長度為d。 設(shè) , , 則 , 從而 注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和 是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線 , 則有。 (方法 11) 如圖所示 , 為 的 邊上的高。 設(shè) , , 則。 設(shè) , 則

8、 方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 , 相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。 3. 差角正弦公式 仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。 方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。 (方法 12) 如圖所示 ,。 設(shè) , , 記 , 作 于 E, 則 , , 從而有 (方法 13) 如圖所示 , 為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設(shè) , , 則 , 。 從而 方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段 , 借此來構(gòu)造等式關(guān)系。 很顯然 ,

9、 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內(nèi)角 ( 甚至都是銳角 )。因此 , 對(duì)于方法 313, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角 和 是任意角的情形。 具體而言 , 我們要證明：如果公式對(duì)任意 成立 , 則對(duì)任意角也成立。 容易驗(yàn)證 , 角 和 中至少有一個(gè)是軸上角 ( 即終邊在坐標(biāo)軸上的角 ), 我們的公式是成立的。 下面證明 , 角 和 都是象限角 ( 即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角 ) 時(shí) , 我們的公式也成立。 不妨設(shè) 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有 從而 同理可證, 公式對(duì)于象限角 和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 313 推導(dǎo)的公式推廣到角 , 是任意角的情形。 兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。 其推導(dǎo)證明對(duì)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。 從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個(gè)步驟：(1) 明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系 和 三角函數(shù)與 或 的等式或方程 ； (2) 簡化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè) , 其余的都可