選修4-5《不等式選講》知識(shí)點(diǎn)

1、高中數(shù)學(xué)選修 4-5 知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱性）abba（傳遞性） ab, bcac（可加性） abacbc（同向可加 性）ab, cdacbd（異向可減 性）ab, cdacbd（可積性） ab, c0acbcab, c0acbc（ 同向正數(shù) 可乘性） ab0,cd0 acbd（異向正數(shù) 可除性） a b0,0c dabcd（平方法則）ab0a nb n (nN ,且n1)（開方法則）ab 0n an b( nN ,且 n1)（倒數(shù)法則）ab011 ; a b011abab2、幾個(gè)重要不等式 a2b22aba，bR , （當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取 號(hào)） .變形公式： aba2b2.2

2、（基本不等式）ababa， bR,（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取到等號(hào)） .2ab2變形公式：a b2ab.ab2用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件 “一正、二定、三相等” . （三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）abc3 abc (a、 b、 c R ) （當(dāng)且僅當(dāng) ab c時(shí)取到等號(hào)） .3 a2b2c2ab bc ca a， b R（當(dāng)且僅當(dāng)abc 時(shí)取到等號(hào)） . a3b3c33abc( a0, b0, c0)（當(dāng)且僅當(dāng)abc 時(shí)取到等號(hào)） . 若ab0,則 ba2 （當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）ab若ab0,則 ba2 （當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）ab bbm1an

3、a ，（其中 a b0， m0， n0)aambnb規(guī)律：小于1 同加則變大，大于1 同加則變小 . 當(dāng)a0時(shí)，x ax2a2xa或x a;1xax2a2axa.絕對(duì)值三角不等式ababab .3、幾個(gè)著名不等式平均不等式：2aba2b2， a,bR，當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)取 號(hào)） .a 1b 1ab22（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均） .變形公式：a b2a2b2(a b)2aba2b222;2.冪平均不等式：a12a22.an21 (a1a2.an ) 2.n二維形式的三角不等式：x12y12x2 2y2 2(x1x2 )2( y1y2 )2 ( x1 , y1, x2 , y2 R).

4、二維形式的柯西不等式：( a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2 (a, b, c, dR). 當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時(shí)，等號(hào)成立 .三維形式的柯西不等式：(a12a2 2a3 2 )(b12b22b32 ) ( a1b1a2b2a3b3 ) 2 .一般形式的柯西不等式：(a12a22 .an2 )(b12b22. bn2 )(a1b1a2b2. anbn ) 2 .向量形式的柯西不等式：ururururururururur設(shè),是兩個(gè)向量，則, 當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k ，使k 時(shí)，等號(hào)成立 .排序不等式（排序原理）：設(shè) a1 a2. an , b1b2.bn 為兩組實(shí)數(shù) .c1,c

5、2 ,., cn 是 b1 , b2 ,., bn 的任一排列，則a1bna2bn 1. anb1a1c1a2c2.an cn a1b1a2b2. an bn . （反序和亂序和順序和 ），當(dāng)且僅當(dāng)a1a2 .an 或 b1b2.bn 時(shí)，反序和等于順序和 .琴生不等式 : （特例 : 凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f( x) ,對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn) x1, x2 ( x1 x2 ), 有f ( x1x2 )f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 ) .則稱 f(x)為凸（或凹）函數(shù) .22224、不等式證明的幾種常用方法常用方法有： 比

6、較法（作差，作商法） 、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法 等 .常見不等式的放縮方法：2舍去或加上一些項(xiàng)，如(a1)23(a1)2 ;242將分子或分母放大（縮?。?，如 11,11,22k12,k 2k( k 1)k 2k(k 1)2 kkkkk 112(k N * , k 1) 等.kkk15、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc 0(或0)(a 0,b24ac0) 解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根 .三求：求對(duì)應(yīng)方程的根 .四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象 .五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二

7、次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 .分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切 ），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f (x)f ( x)g ( x) 00g( x)“ 或 ”f (x)（時(shí)同理）f (x) g (x) 00g (x)0g( x)規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解f ( x)0 f ( x) a( a 0)a2f ( x)f ( x)a(af ( x)00)a2f ( x)f ( x)0f ( x)0f ( x)g( x)g (x

8、)0或0f ( x) g (x) 2g( x)f (x)0f ( x)g( x)g( x)0f (x) g (x)23f (x)0 f (x)g( x)g (x)0f (x)g( x)規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng)當(dāng)a1時(shí) , a f (x )a g( x)f (x) g ( x)0a 1時(shí) ,a f ( x)ag (x )f ( x) g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法f (x)0當(dāng) a1時(shí) ,log a f ( x) log a g( x)g( x)0f (x)g ( x)f ( x)0當(dāng) 0a 1

9、時(shí) , loga f ( x) loga g( x)g( x)0 .f ( x)g ( x)規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法：定義法：平方法：a(a0)aa (a.0)f ( x)g (x)f 2 ( x) g 2 ( x).同解變形法，其同解定理有： x aaxa( a0); x ax a或 xa( a 0); f ( x)g(x)g (x)f (x)g( x) (g (x)0) f ( x )g ( x)f ( x)g (x ) 或f ( x)g( x) ( g ( x )0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零

10、點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如 ax 2bxc0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：4討論a 與 0 的大??；討論與 0 的大??；討論兩根的大小 .14、恒成立問題不等式 ax 2bx c 0 的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng) a0時(shí)b0, c 0;當(dāng) a0 時(shí)a00.不等式 ax 2bx c 0 的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng) a0時(shí)b0, c0;當(dāng) a0時(shí)a00. f ( x)a 恒成立f ( x)maxa;f ( x)a 恒成立f ( x) maxa; f ( x)a 恒成立f (

11、x)mina;f (x)a 恒成立f (x)mina.15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線 AxBy C0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入 Ax ByC 后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以， 在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)( x0 , y0 )（如原點(diǎn)），由 Ax0By0 C 的正負(fù)即可判斷出Ax By C 0 ( 或0) 表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).法二：根據(jù) Ax ByC 0 ( 或0) ，觀察 B 的符號(hào)與不等式開口的符號(hào)，若同號(hào)， Ax By C0 ( 或0) 表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則

12、表示直線上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方 .二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)z AxBy ( A, B 為常數(shù)）的最值：法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù)zAxBy（ x、y 即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)5域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)z 值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z 的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z 的最小值法二：畫移定求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線l0 : AxBy0 ，平移直線 l0 （據(jù)可行域，將直線l 0 平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解( x, y) ；第四步，將最優(yōu)解( x, y) 代入目標(biāo)函數(shù)zAxBy 即可求出最大值或最小值.第二步中 最優(yōu)解的確定方法：利用 z 的幾何意義：yA x z , z 為直線的縱截距 .BBB若 B0, 則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z 取得最大值， 使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處， z 取得最小值；若 B0, 則使目標(biāo)函