連續(xù)型隨機變量

1、 3連續(xù)型隨機變量除了離散型隨機變量之外， 還有非離散型的隨機變量， 這些隨機變量的取值已不再是有限個或可列個。 在這類非離散型隨機變量中，有一類常見而重要的類型，即所謂連續(xù)型隨機變量。粗略地說，連續(xù)型 隨機變量可以在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點取值。例如某種樹的高度；測量的誤差；計算機的使用壽命等等都是連續(xù)型隨機變量。 對于連續(xù)型隨機變量， 不能一一列出它可能取值，因此不能像對離散型隨機變量那樣用它取各個可能值的概率來描述它的概率分布，而是要考慮該隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率，我們是用概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機變量的。一.概率密度和連續(xù)型隨機變量定義：對于隨機變量，如果存在非負可積函數(shù)， 使得對

2、于任意實數(shù)，都有則稱為連續(xù)型隨機變量；稱為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度. 由定義可知，分布密度具有如下基本性質(zhì)：(1) .；而可知，研究在某區(qū)間上取值的概率時,R軸所圍的圖形面積 密度的條件。(2) .這兩條性質(zhì)的幾何意義是：概率分布密度曲線不在R軸下方，且該曲線為1。性質(zhì)(1)、(2)可以作為判定一個函數(shù)是否可以作為一個連續(xù)型隨對于連續(xù)型隨機變量可以證明，它在某一點處取值的概率為零 對于任意實數(shù)，有.即研究在某一點處取值的概率是沒有什么實際意義的。該區(qū)間含不含端點，不影響概率值。即(3 ).對于任意實數(shù)，都有【例1】設是連續(xù)型隨機變量，已知的概率密度為 其中為正常數(shù)試確定常數(shù). 解：由

3、概率密度函數(shù)性質(zhì)，知二.幾個常用的一維連續(xù)型隨機變量：1.均勻分布：如果連續(xù)型隨機變量的概率密度為記作.因此上述定義中的概率密度可以改為飛一0其中為一常數(shù)，利用概率密度的性質(zhì)，易得2.指數(shù)分布：則稱服從指數(shù)分布(參數(shù)為)，記為若服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則對任意，有如燈泡、電子元件的壽命，電話的通話時間等都被認為是 服從指數(shù)分布的。3.正態(tài)分布：(1) 定義：如果連續(xù)型隨機變量的概率密度為可以證明:(2) 標準正態(tài)分布：當參數(shù)=0 而時，即，稱服從標準正態(tài)分布，記標準正態(tài)分布的概率密度為，則正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是實踐中最常見的一種分布， 例如測量的誤差，人的身高、

4、體重，農(nóng)作物的收獲量，大批學生的考試成績等等，都近似服從 正態(tài)分布。一般說來，若某一數(shù)量指標受到很多相互獨立的隨機因素的影響，而每個因素所起 的作用都很微小，則這個數(shù)量指標近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性 質(zhì)，許多分布在一定條件下可以用正態(tài)分布來近似，因此在概率數(shù)理統(tǒng)計的理論和實際應用中,正態(tài)分布都有著十分重要的地位。(3) 性質(zhì)：(a) 在直角坐標系內(nèi)的圖形呈鐘形 ；(b) 在處得最大值(c) 關于直線對稱；在處有拐點；(d) 如果固定，改變的值，則的圖形沿R軸平行移動，而不改變其形狀，可見形狀完全由決定，而位置完全由來決定當時，曲線以R軸為漸近線;當大時，曲線平緩，當小

5、時，曲線陡峭.(4) 標準正態(tài)分布的隨機變量落在區(qū)間中的概率：標準正態(tài)分布密度，記，當，其函數(shù)值可查本書的附表1,其中(i) ；(ii) :可直接查本書的附表1,得(iii) ：.；.；.【例2】設，則即可利用標準正態(tài)分布求得一般正態(tài)(5) 一般正態(tài)分布的隨機變量落在區(qū)間中的概率： 只要搞清楚一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系, 分布的隨機變量落在區(qū)間中的概率.具體地，設，貝U令 則有轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，查本書的附表1,就可得這概率. 特別地，由上面三式可見，服從正態(tài)分布的隨機變量之值基本上落在 區(qū)間內(nèi)，而幾乎不在區(qū)間外取值.【例3】，求解：二.例題：a.【例4】對以下各題隨機變量所對應的概率分布，試確定常數(shù)