（推薦）數(shù)學(xué)物理方程ppt

1、 出出 版：電子科技大學(xué)出版社版：電子科技大學(xué)出版社( (成都市建設(shè)北路二段四號，郵編：成都市建設(shè)北路二段四號，郵編：610054)610054) 責任編輯：徐守銘責任編輯：徐守銘 發(fā)發(fā) 行：電子科技大學(xué)出版社行：電子科技大學(xué)出版社 印印 刷：成都蜀通印務(wù)有限責任公司刷：成都蜀通印務(wù)有限責任公司 開開 本：本：787mm787mm1092mm 1/16 1092mm 1/16 印張印張 16.625 16.625 字數(shù)字數(shù) 425425千字千字 版版 次：次：20062006年年4 4月第一版月第一版 印印 次：次：20072007年年8 8月第二次印刷月第二次印刷 書書 號：號：ISBN 9

2、78ISBN 978 7 7 8111481114 098098 9 9 印印 數(shù)：數(shù)：2001500020015000冊冊 定定 價：價：28.0028.00元元 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 李明奇李明奇 田太心田太心 主編主編 版權(quán)所有版權(quán)所有 侵權(quán)必究侵權(quán)必究 郵購本書請與本社發(fā)行科聯(lián)系。電話：郵購本書請與本社發(fā)行科聯(lián)系。電話：(028)83201495 (028)83201495 郵編：郵編：610054610054。 本書如有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回印刷廠調(diào)換。本書如有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回印刷廠調(diào)換。 目 錄 第一章 緒論 笫二章 定解問題與偏微分方程理論 第三章 分離變量

3、法 第四章 行波法 第五章 積分變換 第六章 Green函數(shù)法 第七章 Bessel函數(shù) 第八章 Legendre多項式 第九章 保角變換法 第十章 非線性數(shù)學(xué)物理方程簡介 第一章第一章 緒論緒論 1.1 常微分方程基礎(chǔ)常微分方程基礎(chǔ) 1.2 積分方程基礎(chǔ)積分方程基礎(chǔ) 1.3 場論基本概念場論基本概念 1.4 常用算符與函數(shù)常用算符與函數(shù) 1.5 常用物理規(guī)律常用物理規(guī)律 1.1 1.1 常微分方程基礎(chǔ)常微分方程基礎(chǔ) 一、一階微分方程 一階常微分方程典則形式與對稱形式分別為: ( , ),yf x y ( , )d( , )d0p x yxq x yy 1可分離變量的一階微分方程 ( )d(

4、)df xxg yy 2齊次方程 d ( ) d yy f xx ( )uxuf u 3一階線性微分方程 ( )( )yp x yq x ( )d( )d e( )ed p xxp xx yq xxc 4Bernoulli方程 ( )( ) n yp x yq x y (1) ( )(1) ( )un p x un q x (0, 1)n 二、高階微分方程 1可降階的二階微分方程 ( , )yf x y( , )yf y y ( , )ppf y p 2n階常系數(shù)齊次線性微分方程 ( )(1)(2) 121 ( )( )( )( )0 nnn nn ya x yax yax yax y 定理定

5、理1 的特解可以通過方程 的特解之和求得。 1 L( ) n i i yf x L( ), 1, , i yf xin （1）特征方程有n個不同的實根 ， 則 ， 為任意常數(shù)； （2）特征方程有r個不同的實根 ，其 重數(shù)分別為 ， ，則 其中， 為任意常數(shù)。 （3）若 ，特征方程有r個不同的復(fù)根 （ ），其重數(shù)分別為 ，所有復(fù) 根重數(shù)之和為，則 12 , , , n 1 e i n x i i yc i c 定理定理2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為： 12 , , , n 12 , , , r nnn 1 = r k k nn 1 , 0, 1, (1) 1 ()e ii r nx ii

6、ii i yccxcx , i j c ( ) i a xR 12 , , , r kkki 12 , , , r nnn 1 , 0, 1, (1) 1 1 , 0, 1, (1) 1 ()esin ()ecos ii ii r nx iiiii i r nx iiiii i yccxcxx ddxdxx 3二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解 設(shè)設(shè) 為為 對應(yīng)的齊對應(yīng)的齊 次方程的次方程的i ( )重根，其中，重根，其中， 與與 分別是次多項式，分別是次多項式， 為常數(shù)。為常數(shù)。 則存在次多項式則存在次多項式 使非齊次方程使非齊次方程 有如下形式的特解：有如下形式的特解： 0 0 ( )e

7、x m ypyqypx 定理定理3: ( ) m px ( ) n px 0 0, 1, 2i ( ) m qx 0 ( )e xi m yx qx 與 分別是 次多項式， 與 為常數(shù)， 則 的特解為： 定理定理4: ( ) m px( ) n px, m n 0 00 (0) 0 00 e( )cos( )sin x mn ypyqypxxp xx 0 00 e( )cos( )sin xk ll yxp xxq xx 二階非齊次線性微分方程 定理定理5: )(xfqyypy 的特解為 21 12 00 1212 ( )( ) dd (, )(, ) xx y fy f yyy yyyy 通

8、解為 21 121122 00 1212 ( )( ) dd( )( ) (, )(, ) xx y fy f yyyC y xC yx yyyy 三、Euler方程 在微分方程中，我們還經(jīng)常遇到一類 特殊的非常系數(shù)非齊次線性微分方 程Euler方程的求解： ( )1(1) 011 ( ) nnnn nn p x yp xypxyp yf x 0 D(D1)(D1)(e ) n t n k k pkyf 四、Bessel方程 定義定義2 二階線性微分方程 222 ()0 x yxyxy 稱為Bessel方程， 為非負常數(shù)。 定義定義4 二階線性微分方程 2 22 1 0 2 x yxyxmy

9、稱為半奇數(shù)階Bessel方程。 (m為整數(shù)) 定義定義5 二階線性微分方程 222 ()0 x yxyxy 稱為虛宗量Bessel方程。 五、Legendre方程與SturmLiouville方程 定義定義6 二階線性微分方程 2 (1)2(1)0, 1, 1xyxyn nyx 稱為n階Legendre方程。 定義定義7 二階線性微分方程 dd ( ) ( )( )( )( )0 dd y x k xxq xy x xx axb 稱為SturmLiouville方程。 六、微分方程解的理論基礎(chǔ) 定義定義8 對于一階微分方程，稱以下問題為Cauchy問題： 00 ( , ) () yf x y

10、y xy 定義定義9 對于二階微分方程，稱以下問題為邊值問題： 12345 ( , , , )0, ( , ) ( )( )( )( ) f x y yyt a ya ya ya ya 設(shè)為 方程 的平凡解， 若 ，當 時，對 ， 有 ，則稱 解穩(wěn)定。 定義定義10: 0y ( , )yg x y 000 0, , ( , )0, xIxy 00 ( , )yx 0 xx 00 ( , , )y x xy0y 定義定義11: 設(shè) 為方程 的平凡解， 若 ，當 時， ， 有 ，則 稱解不穩(wěn)定。 0y ( , )yg x y 000 0, , 0, xy 0 y 10 xx 100 ( , , )

11、y xxy0y 1.2 1.2 積分方程基礎(chǔ)積分方程基礎(chǔ) 定義定義1 積分號下含有未知函數(shù)的方程稱為積分方程。若 方程關(guān)于未知函數(shù)是線性的，則稱之為線性積分 方程；否則該積分方程稱為非線性積分方程。 定義定義2 若未知函數(shù)只出現(xiàn)在積分號下，稱為第一類線性 積分方程；若未知函數(shù)不僅出現(xiàn)在積分號下，還 出現(xiàn)在其他部分，則稱為第二類線性積分方程。 定義定義3 若含參數(shù)齊次方程 ， 在 有非零解，則 稱為特征 值，相應(yīng)的解為特征函數(shù)。特征函 數(shù)構(gòu)成的空間稱為線性空間，其維 數(shù)稱為 的重數(shù)。 ( )( , ) ( )d b a y xk x t y tt 0 0 0 定理定理1 若 在 ， 在 內(nèi) 都連

12、續(xù)，且 ， ， 。級數(shù) 在 一致絕 對收斂，并且為方程 的唯一解。 ( )f x , xa b( , )k x t , , a ba b ( )f xm ( , )k x tM 1 M ba 0 ( ) i i i x , xa b ( )( )( , ) ( )d b a y xf xk x t y tt 定義定義4 若 ， 與 都線性 無關(guān)，則 稱為退化核。 為退化核，則方程 變?yōu)?代入原方程得 1 ( , )( )( ) n ii i k x txt ( ) i x( ) i t ( , )k x t ( , )k x t ( )( )( , ) ( )d b a y xf xk x t

13、 y tt 1 ( )( )( ), ( ) ( )d a nb iii i y xf xx yyt y tt i 1 , n iiikk k yfy ( )( )d , ( ) ( )d , 1, , bb ikikii aa tttft f tt in 1.3 1.3 場論基本概念場論基本概念 一、散度與通量 設(shè)S是一分片光滑的有向曲面，其單位側(cè)向量 為 ，則向量場 沿曲面S的第二類曲 面積分 0 n( , , )x y zA 0 dd SS S ASA n 稱為向量場通過曲面S向著指定側(cè)的通量。 如果S是一分片光滑的閉曲面，為外法向，V 為S所包圍的空間區(qū)域，由Gauss公式有 0 dd

14、 ( , , )d d( , , )d d( , , )d d ()d d d SS S xyz V S p x y zy zq x y zz xr x y zx y pqrx y z ASA n 其中， 稱為向量場的散度，記 為 ，即 xyz pqr div A div xyz pqrA 二、環(huán)流量與旋度 對于給定向量場 ( , , )( , , )( , , )( , , )x y zp x y zq x y zr x y zAijk 設(shè)L為場內(nèi)一有向閉曲線，L上與指定方向一致的 單位切向量為 ，則稱積分 0 0 dd LL s ArA 為向量場沿有向閉曲線L的環(huán)流量。 設(shè)S是以L為邊界的

15、有向曲面，曲線L的方向與曲 面S的側(cè)符合右手規(guī)則，由Strokes公式，有 d( , , )d( , , )d( , , )d ()cos()cos()cos d LL yzzxxy S p x y zxq x y zyr x y zz rqprqpS Ar 其中，向量 為有向曲面S的單位法 向量 的方向余弦，向量場的旋度記為 ， 且 cos , cos, cos 0 n rot A rot ()()() yzzxxy rq iprjqp kA 旋度是一個向量，它是由向量場產(chǎn)生的向量 場，稱為旋度場。 1.4 1.4 常用算符與函數(shù)常用算符與函數(shù) 一、常用算符 求導(dǎo)算子D： D ( )( )f

16、 xfx 梯度算子 與Laplace算子 是兩個最基本的算符： , , xyz 222 222 xyz 設(shè)為向量場， 為數(shù)值函數(shù)，則有 以下公式： ( , , )uu x y z grad uu div AA rot AA 2 grad uuuu () uvu vu v 定理定理1 設(shè)平面區(qū)域D由分段光滑的閉曲線L圍成，函 數(shù) 、 在L上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則有Green公式： ( , )p x y( , )q x y ( , )d( , )d( , )( , )d d xy L D p x y xq x yyqx ypx yx y 式中，L的方向為區(qū)域D邊界曲線的正向。 定理定理2 設(shè)曲線

17、L為分段光滑的空間有向閉曲線，S為 以L為邊界的任意分片光滑的有向曲面。函 數(shù) 、 、 在包含S的 某一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 Strokes公式 ( , , )p x y z( , , )q x y z( , , )r x y z d dd dd d ( , , )d( , , )d( , , )d L S y zz xx y p x y zxq x y zyr x y zz xyz pqr 定理定理3 設(shè)分片光滑的有向閉曲面圍成空間區(qū)域V。函 數(shù) 、 、 在V上具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，則有Gauss公式： ( , , )p x y z ( , , )q x y z( , , )

18、r x y z ( , , )( , , )d d( , , )d d()d d d xyz SV p x y z dydzq x y zz xr x y zx ypqrx y z 式中，S為空間區(qū)域V的外側(cè)。 二、 函數(shù)、函數(shù)與誤差函數(shù) 1 函數(shù)是指 1 0 ( )e d , 0 xt xtt x 2函數(shù)是指 1 11 0 ( , )(1)d , 0, 0 pq p qttt pq 函數(shù)的主要性質(zhì)有： ( , )( , )p qq p ( ) ( ) ( , ) () pq p q pq 3誤差函數(shù)是指 2 0 2 erf( )ed x t xt 余誤差函數(shù)是指 ercf( )1erf( )

19、xx 主要性質(zhì)有： 2 246 1 e13 44 5 6 ercf( )(1) 2(2 )(2 ) x x xxxx 三、常用結(jié)論 命題命題1 ，其球坐標表示為 。 n為以原點為球心，半徑為r的球面的外側(cè)，則 ( , , )uu x y z ( , , )uu r r u u n 命題命題2 2 2 1 111 cos 2212 cos() n n k knt ktk | 1k 1.5 1.5 常用物理規(guī)律常用物理規(guī)律 1Newton第二定律。平動規(guī)律： ；轉(zhuǎn)動規(guī) 律： 。 2Hooke定律。 （1）在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力和彈簧的伸長成正 比： 。其中，k為彈簧的彈性系數(shù)。負號表示 彈力的方

20、向和形變量的方向相反。 （2）彈性體的應(yīng)力p與彈性體的相對伸長成正 比： 。其中，Y為楊氏模量，表示相對伸長。 Fma MI fkx x pYu 3Fourier實驗定律（即熱傳導(dǎo)定律）。當物體內(nèi) 存在溫差時，會產(chǎn)生熱量的流動。在dt時間內(nèi)，沿 熱流方向流過面積微元dS的熱量為，其中k稱熱傳 導(dǎo)系數(shù)，它與物體的材料有關(guān)；式中的負號表示熱 量由高處流向低處；為溫度沿熱流方向的方向?qū)?shù)。 熱流密度q為 d ( , ) d d n Q qkux t S t 4Newton冷卻定律。設(shè) 為周圍介質(zhì)的溫度， 為物體的溫度。物體冷卻時單位時間內(nèi)流過單 位面積放出的熱量與物體和外界的溫度差 （ ）成正比，即

21、熱流密度q為 。 5熱量守恒定律。物體內(nèi)部溫度升高所吸收 的熱量，等于流入物體內(nèi)部的凈熱量與物體內(nèi) 部的源所產(chǎn)生的熱量之和。 0 u s u 0 s u u 0 s qk u u 6擴散實驗定律。當物體內(nèi)濃度分布不均勻時會引 起物質(zhì)的擴散運動。沿粒子流方向流過面積微元dS 的粒子質(zhì)量為 ，其中k稱為擴散系數(shù)， 它與材料有關(guān)；負號表示粒子流由濃度高處流向低處， 為溫度沿熱流方向的方向?qū)?shù)。粒子流密度q 為 。 7電荷守恒定律。電荷既不能創(chuàng)造，也不能消滅， 它們只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體 的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。 d( , )d d n Mkux tS t n u ( , ) n

22、qkux t 8Coulomb定律。放置于坐標原點的電量為e的 點電荷所產(chǎn)生電場（介電常數(shù)為）的電位勢 為 。 9Gauss定律。通過一個任意閉合曲面的電通量， 等于這個閉曲面所包圍的自由電荷的電量的倍。 即 。其中， 為介電常數(shù)， 為體電荷 密度。 4 e u r 1 1 dd SV v ES 10JouleLenz定律。電流通過純電阻的一導(dǎo)體 時所放出的熱量跟電流強度的平方、導(dǎo)線的電阻 和通電的時間成正比。即 。 11Kirchhoff定律。 （1）第一定律。會合在節(jié)點的電流代數(shù)和為零， 即 。 （2）第二定律。沿任一閉合回路的電勢增量的代 數(shù)和為零，即 。 2 QRt I 1 0 n k

23、 k I 11 nn kk k kk I R 12Faraday電磁感應(yīng)定律。不論任何原因使 通過回路面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中產(chǎn) 生的感應(yīng)電動勢與磁通量對時間的變化率的負 值成正比，即 式中，N為感應(yīng)回路串聯(lián)線圈的匝數(shù)。此即 Faraday電磁感應(yīng)定律。由該定律知，當閉合回 路（或線圈）中的電流發(fā)生變化而引起自身回 路的磁通量改變而產(chǎn)生的自感電動勢為 式中，L為自感系數(shù)。 d d N t d d L t 2.1 波動方程及定解條件波動方程及定解條件 2.2 熱傳導(dǎo)方程及定解條件熱傳導(dǎo)方程及定解條件 2.3 穩(wěn)態(tài)方程的定解問題穩(wěn)態(tài)方程的定解問題 2.4 方程的化簡與分類方程的化簡與分類 2

24、.5 二階線性偏微分方程理論二階線性偏微分方程理論 2.6 函數(shù)函數(shù) 笫二章笫二章 定解問題與偏微分方程理論定解問題與偏微分方程理論 2.1 2.1 波動方程及定解條件波動方程及定解條件 一、波動方程的建立 細弦線橫振動問題。 設(shè)有一根均勻柔軟的細弦線，一端固定在坐標原點，另一端沿 x軸拉緊固定在x軸上的L處，受到擾動，開始沿x軸（平衡位置） 上下作微小橫振動（細弦線上各點運動方向垂直于x軸）。試 建立細弦線上任意點位移函數(shù)所滿足的規(guī)律。 u T1 0 x x+dx L x T2 gdx 2 1 二、定解條件 1初始條件 波動方程含有對時間的二階偏導(dǎo)數(shù)。因此，一般要 給出兩個初始條件。對于做機

25、械運動的物體，其初 始條件可以從系統(tǒng)各點的初位移和初速度考慮，即 0 0 ( ) ( ) t tt ux ux 2邊界條件 描述物理問題在邊界上受約束的狀態(tài)， 歸結(jié)為三類邊界條件。 （1）第一類邊界條件：給出未知函數(shù)u在邊界上的分 布值。例如，長為L的細弦線橫振動，細弦線的兩端 固定在原點和x軸的L處，其邊界條件為 ，稱固定端。 （2）第二類邊界條件：給出未知函數(shù)u在邊界上的法 向?qū)?shù)值。 （3）第三類邊界條件：第一類和第二類邊界條件的 線性組合。 0 0, 0 xx L uu 2.2 2.2 熱傳導(dǎo)方程及定解條件熱傳導(dǎo)方程及定解條件 一、熱傳導(dǎo)方程 細桿的橫截面積為常數(shù)A，又設(shè)它的側(cè)面絕熱，

26、 即熱量只能沿長度方向傳導(dǎo)，由于細桿很細，以 致在任何時刻都可以把橫截面積上的溫度視為相 同，密度為。試求細桿的溫度分布規(guī)律。 x x x+dx L 0 二、擴散方程的建立* 設(shè)半導(dǎo)體材料每點的橫截面積相等，其值為A；在 這塊材料中，有一種雜質(zhì)正在擴散，我們用u表示雜 質(zhì)濃度，即單位體積內(nèi)所含雜質(zhì)的質(zhì)量；由于各個 橫截面上雜質(zhì)的濃度不一樣，而且它又是隨時間改 變的（設(shè)同一時間同一橫截面上各點處的濃度是相 同的），所以濃度u既是位置x的函數(shù)，又是時間t的 函數(shù)，即 。求 滿足的規(guī)律。 A x x 0 x+dx ( , )u x t( , )u x t 三、定解條件 1初始條件 熱傳導(dǎo)方程含有對時

27、間的一階偏導(dǎo)數(shù)，故只要一個 初始條件初始時刻的溫度分布。 2邊界條件 （1）第一類邊界條件，給定溫度在邊界上的值。若細桿在 x=0端保持為零度， 端保持為 度，則有： ， 。 （2）第二類邊界條件，給定溫度在邊界上的法向?qū)?shù)值。 （3）第三類邊界條件，給定邊界上溫度與溫度的法向?qū)?shù)的 線性關(guān)系。 T x L 0 0 x u x L uT 2.3 2.3 穩(wěn)態(tài)方程的定解問題穩(wěn)態(tài)方程的定解問題 一、靜電場的電位方程 設(shè)空間有一分布電荷，其體密度為 ，E 表示電場強度， 表示電位，在國際單位制 下，靜電場滿足： （1）靜電場的發(fā)散性： ； （2）靜電場的無旋性： ； （3）靜電場存在場勢函數(shù)： (

28、, , )x y z ( , , )u x y z E 0E u E 二、自由電磁波方程 設(shè)空間中沒有電荷，且和分別表示電場強度和磁場強 度。由電磁場理論，描述介質(zhì)中電磁場運動的Maxwell 方程組的微分形式為 0 0 t t H E E HE E H 三、穩(wěn)態(tài)場定解條件的提法 1邊界條件 邊界條件共分三類，第一類、第二類、第三類邊界條 件也是分別給出邊界上未知函數(shù)值、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 值或兩者的線性關(guān)系。穩(wěn)態(tài)場方程加上第一類、第二 類、第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題分別稱為第一類、 第二類、第三類邊值問題，也依次稱為Dirichlet問題、 Neumann問題和Robin問題。 2銜接條件 性

29、質(zhì)性質(zhì)1 在兩種介質(zhì)的分界面上，靜電場電勢的邊值關(guān)系為 式中， 與 分別為界面兩側(cè)介質(zhì)的電勢和 介電常數(shù)；n是界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法向單 位向量； 是界面上的自由電荷面密度。 21 1221 , f uu uu nn 12 , uu 12 , f 性質(zhì)性質(zhì)2 若為 導(dǎo)體的電勢， 為絕緣介質(zhì)的電勢， 為封閉面S所包圍的電量的代數(shù)和，則在 導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上電勢u的邊值關(guān)系為 1 u 2 u f Q 12 uu 2 2f u n 2 2 d f S u SQ n 3有限性條件 例如，在靜電場中常利用在坐標原點電勢有限的條件 （當原點無點電荷時）。 4周期性條件 由于物理量在同一點、在同一時刻

30、有確定值，在采用球坐標系 （或柱坐標系）時，就必然導(dǎo)致周期性條件，因為 與 均表示空間同一點，由電勢的唯一性可得 , , 2, , u ru r , , 2r ( , , )r 2.4 2.4 方程的化簡與分類方程的化簡與分類 一、方程的化簡、特征方程 二、方程的分類 若在區(qū)域D中某點 ，有 （或 ），我們就稱方程式在點為雙曲 型（或拋物型，或橢圓型）。 若方程在某個區(qū)域中的每一點均為雙曲型（或拋 物型，或橢圓型），我們就稱方程在區(qū)域D上是 雙曲型（或拋物型，或橢圓型）。 00 , xy 0 0, 0 2.5 2.5 二階線性偏微分方程理論二階線性偏微分方程理論 一、疊加原理 定義定義1 泛定

31、方程是線性的，而且定解條件也是線性 的，這種定解問題稱為線性定解問題。 定義定義2 對于一個算子T，若滿足 則稱算子T為線性算子。 1 1221122 TTTcuc ucucu 疊加原理疊加原理1 設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件） （ ） 那么這些解的線性組合必滿足方程 （或定解條件）： 。 疊加原理疊加原理2 設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件） （ ） 且級數(shù)收斂，并滿足算子中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與求和記號 交換次序所需要的條件，那么滿足線性方程（或定解 條件） L ii uf 1, 2, , in 1 L n ii i uc f L ii uf 1, 2, i 1 L ii i uc f 疊加原理疊

32、加原理3 設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件） 其中，M表示自變量組；M0為參數(shù)組。且積分 收斂，并滿足中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與積分運算交換次序 所需要的條件，那么滿足方程（或定解條件） 特別地，當滿足齊次方程（或齊次定解條件）時， 也滿足此齊次方程（或齊次定解條件）。 0 L, uf M M 00 , d v U Mu M MM 00 L(), d v U Mf M MM 二、齊次化原理 齊次化原理齊次化原理1 設(shè) 滿足齊次方程的Cauchy問題（這里， M是自變量組 為參數(shù)） , ; w t M ( , , ), x y z 2 3 2 L , , 0, , tt MRt t fM t 齊次化原理齊次

33、化原理2 設(shè) 滿足Cauchy問題 , ; t M 3 L , , , t MRt t fM 則Cauchy問題 3 0 L( , ), , 0 0 t u uf t MMRt t u 0 , ; d t ut M 三、解的適定性 一個定解問題提得是否符合實際情況，當然必須靠實踐來證實。 然而從數(shù)學(xué)角度來看，可以從三方面加以檢驗： （1）解的存在性：研究所歸結(jié)出來的定解問題是否有解。 （2）解的唯一性：研究定解問題是否只有一個解。 （3）解的穩(wěn)定性：即看當定解條件有微小變動時，解也相應(yīng) 地只有微小的變動，則稱解具有穩(wěn)定性。在具體問題中解的穩(wěn) 定性是必需的，否則所得的解就無實用價值。 2.6 2

34、.6 函函 數(shù)數(shù) （1）對稱性。 ，即 是偶函數(shù)。形式地作變 量代換 ，對于任何連續(xù)函數(shù) ，有 這就說明了等式的合理性。更一般地，有對稱性 ，即對任何連續(xù)函數(shù)，有 把上式中的與變換位置，得 。 （2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè) ，則由 定義 的算符稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這個定義的合理性可由下面形 式的分部積分看出： ( )()xx( )x xt ( )x 0 () ( )d( ) ()d()(0) t xxxtttt 00 ()()xxxx 000 () ( )d() ( )d()xxxxxxxxx 000 () ()d( )xxxxx ( ) ( )d( ) ( )( )( )d(0)x f xxx f xx

35、 fxxf 1 ( )f xC ( ) ( )d(0)x f xxf 3.1 齊次弦振動方程的分離變量法齊次弦振動方程的分離變量法 3.2 熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法 3.3 二維定解問題分離變量法二維定解問題分離變量法 3.4 高維混合問題的分離變量法高維混合問題的分離變量法 3.5 非齊次方程定解問題的解非齊次方程定解問題的解 3.6 非齊次邊界條件定解問題的解非齊次邊界條件定解問題的解 3.7 Sturm Liouville固有值問題固有值問題 第三章第三章 分離變量法分離變量法 3.1 3.1 齊次弦振動方程的分離變量法齊次弦振動方程的分離變量法 一、求解

36、弦振動方程的混合問題 2 0 00 , 0, 0 0, 0 ( ), ( ) ttxx xx L ttt ua uxL t uu uxux 其中為其中為 已知函數(shù)。已知函數(shù)。( ), ( )xx 1當時當時 ，方程，方程 的通解為的通解為 00XX ( )ee xx X xAB 2當時當時 ，方程，方程 的通解為的通解為 。其中。其中A,B為兩個任意常數(shù)。代入邊界條件，得為兩個任意常數(shù)。代入邊界條件，得 0 0XX XAxB (0)00, ( )0XABX LA LB 3當時當時 ，方程，方程 的通解為的通解為 0 0XX ( )cossinX xAxBx 二、級數(shù)解的物理意義 1 ( , )

37、(cossin)sin nn n n atn atn x u x tCD LLL , sinsin nnnn n x ux tNt L 221 , tan, n nnnnn n Cn a NCD DL ( , )u x t 是由一系列頻率不同、相位不同、振幅不同的是由一系列頻率不同、相位不同、振幅不同的 駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波 振幅的大小和相位的差異，由初始條件決定，而圓頻率振幅的大小和相位的差異，由初始條件決定，而圓頻率 與初始條件無關(guān)，所以也稱為弦的固有頻率。與初始條件無關(guān)，所以也稱為弦的固有頻率。 n n a

38、L 三、解的適定性 1解的存在性 2 0 00 , 0, 0 0, 0 , ttxx xx L ttt ua uxL t uu uxux 11 ( , )(cossin)sin nnn nn n atn atn x uux tCD LLL 可以驗證上述可以驗證上述Fourier解，既滿足方程，又滿足邊界條件和初始條解，既滿足方程，又滿足邊界條件和初始條 件。為了保證解的存在性，我們需要以下兩個充分條件：件。為了保證解的存在性，我們需要以下兩個充分條件： 43 , xCxC (0)( )(0)( )(0)( )0LLL 2能量積分和解的唯一性 弦振動的動能為 ，而位能 為 ，弦振動的總能量 稱為

39、一維波動方程的能量積分。 在沒有外力作用的情況下，總能量 應(yīng)該是守恒的。 2 0 1 ( )d 2 L t K tux 2 0 1 ( )d 2 L x V tTux ( )( )( )E tK tV t ( )E t 3.2 3.2 熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法 在討論熱傳導(dǎo)方程混合問題的求解時，如果所取的邊界 條件是第一類的，當使用分離變量法時，它與上節(jié)所運 用過的求解方法相類似，這里就不再重復(fù)了。如果所取 的邊界條件其一端點上是第一類的，另一端點上是第二 類的，那么當使用分離變量法時，其基本思路和步驟與 上節(jié)所運用過的求解方法也是一致的，只是特征值問題 有所不

40、同。 定理定理1（極值原理）（極值原理） 區(qū)域R為 ，為區(qū)域R的邊界。假設(shè) 函數(shù) 在閉域 ： 上連續(xù)，在 上滿足熱傳導(dǎo)方程，則該函數(shù)在區(qū)域上的最大值、 最小值必在其邊界曲線上取得，即 0, 0 xLtT ( , )u x t R0, 0 xLtT max, max, , min, min, RR u x tu x tu x tu x t 定理定理2 熱傳導(dǎo)混合問題的解具有唯一性和穩(wěn)定性。 3.3 3.3 二維定解問題分離變量法二維定解問題分離變量法 求解下列定解問題： 其中，A為常數(shù)。 0 22 0 222 11 0, () cos uuu uA 3.4 3.4 高維混合問題的分離變量法高維混

41、合問題的分離變量法 例1 求邊長分別為 的長方體中的溫度分布， 設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為 例2 求解三維靜電場的邊值問題： , , a b c ( , , , 0)( , , )u x y zx y z 0, 0, 0, 0 0, , , , 0 , 0, , , 0 , , 00, , , , xxyyzz uuuxaybzc uy zu a y z u xzu x b z u x yu x y cx y 3.5 3.5 非齊次方程定解問題的解非齊次方程定解問題的解 I： 12 1111 2222 LL( , ), 0, ( , )( , )0 (, )(, )0 ( , 0)

42、( ), ( , 0)( ) tx x x t uuf x ttxxx a uxtu xt a uxtu xt u xxu xx 這里 ， 及分別是關(guān)于及的二階常系數(shù)線性偏微 分算子， 都是非負常數(shù)， 。當 是一階算子時，問題I中的初始條件只 有： 。求解這類定解問題的一般方法有 兩種：固有函數(shù)法和齊次化原理法。 LtLx 1212 , , , 22 0(1, 2) ii i Lt ( , 0)( )u xx 3.6 非齊次邊界條件定解問題的解非齊次邊界條件定解問題的解 現(xiàn)將解定解問題的主要步驟小結(jié)如下： 1根據(jù)邊界的形狀選取適當?shù)淖鴺讼担x取的原則是使在此 坐標系中邊界條件的表達式最為簡單。

43、圓、圓環(huán)、扇形等域 用極坐標系較方便，圓柱形域與球域分別用柱坐標系與球坐 標系較方便。 2若邊界條件是非齊次的，又沒有其他條件可以用來定固有 函數(shù)，則不論方程是否為齊次，必須先作函數(shù)的代換使之化 為具有齊次邊界條件的問題，然后再求解。 3非齊次方程、齊次邊界條件的定解問題（不論初始條件如 何）可以分為兩個定解問題，其一是具有原來初始條件的齊 次方程的定解問題，其二是具有齊次定解條件的非齊次方程 的定解問題。第一個問題用分離變量法求解，第二個問題按 固有函數(shù)法求解或用齊次化原理求解。 3.7 Sturm3.7 Sturm LiouvilleLiouville固有值問題固有值問題 一、SturmL

44、iouville方程 定理定理1 對于第三類邊值問題 ( )( )( )0, ( )( )0 ( )( )0 k x yq x yx yaxb y ahy a y bhy b 在條件k(x)及其一階導(dǎo)數(shù) 和在 上連續(xù)， k(x)， ，在區(qū)間 內(nèi)為正， 在 內(nèi)連 續(xù)，且在端點a和b上至多有一級極點，而k(x)與 至多有一級零點， ( )x , a b ( )x( , )a b ( )x ( , )a b ( )x （1）固有值具有可數(shù)性。存在無窮多個實的固有 值遞增序列 ； 與其對應(yīng)的固有函數(shù) 。 （2）固有值的非負性。 。 （3）固有函數(shù)系的正交性。設(shè) 是任意兩 個不同固有值，則對應(yīng)的固有函數(shù)

45、 與 在區(qū)間 以權(quán)函數(shù) 正交，即有 123n lim n n 123 ( ), ( ), ( ), , ( ), n y xyxy xyx 0 n mn ( ) m yx ( ) n yx , a b ( )x ( )( )( )d0, b nm a x yx yxxmn 4展開定理。定義在區(qū)間 上并滿足 固有值問題的邊界條件的任意個具有一階 連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x)和二階逐段連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)可 按固有函數(shù)系 展成絕對且一致收斂 的級數(shù) , a b ( ) n yx 1 ( )( ) nn n f xf yx 其中 2 ( ) ( )( )d ( )( )d b n a n b n a x f x yx

46、x f x yxx 稱為展開式的系數(shù)或廣義Fourier系數(shù)。 4.1 一維波動方程的一維波動方程的d Alembert公式公式 4.2 半無界弦振動問題半無界弦振動問題 4.3 高維波動方程高維波動方程Cauchy問題問題 4.4 非齊次波動方程解法非齊次波動方程解法 第四章第四章 行波法行波法 4.1 4.1 一維波動方程的一維波動方程的d d AlembertAlembert公式公式 定義定義1 由過點 的兩條斜率分別為 的直線在x 軸所截得的區(qū)間 稱為點的依賴區(qū)間。 定義定義2 區(qū)間 的決定區(qū)域是指過 點作斜率為 的直線 ，過點 作斜率為 的直線 ，它們和區(qū)間 一起構(gòu)成的三角形區(qū)域。

47、( , )x t 1 a , xat xat 12 , xx1 x 1 a 1 xxat 2 x 1 a 2 xxat 12 , xx t (x, t) x 0 xat x+at x=x2at x=x1+at t x=x2at x=x1+at 0 x1 x2 x t x=x1at x=x2+at 0 x1 x2 x (a) (b) (c) 4.2 4.2 半無界弦振動問題半無界弦振動問題 一、端點固定 端點固定的半無界弦振動定解問題是 2 0, 0 ( , 0)( ), ( , 0)( ), 0 (0, )0 ttxx t ua ux u xxu xxx ut 為了把半無界問題作為保持 的無界

48、 問題來處理，必須把 、 和 延拓 到整個無界區(qū)域。 (0, )0ut ( , )u x t ( )x( )x 二、端點自由 定解問題是 2 0, 0 ( , 0)( ), ( , 0)( ), 0 (0, )0 ttxx t x ua ux u xxu xxx ut 同理，將dAlembert解代入，得 11 (0, )0 22 x utatatatat a 又由于初始位移和初始速度獨立，得 , atatatat 可見， 及 均應(yīng)為正?；呐己瘮?shù)。 x x 4.3 4.3 高維波動方程高維波動方程CauchyCauchy問題問題 一、三維波動方程 的球?qū)ΨQ解 2 tt uau 將波函數(shù)u用空

49、間球坐標（ ）表示。 球?qū)ΨQ就是指u與 都無關(guān)。在球坐標 系中，波動方程變?yōu)?, , r , 22 2 2222222 1111 sin sinsin uuuu r rrrrrat 2 2 222 ()1ruru rat 二、三維波動方程Cauchy問題平均值法 平均值法可以將三維無界空間的自由振動轉(zhuǎn)化成球?qū)?稱情形，把一維的dAlembert公式推廣到三維。設(shè) 在以 為中心、r為半徑的球面 上的平均值 為 。則 ( , , , )u x y z t ( , , )M x y z M r S ( , )u r t 2 11 ( , )(, )d(, )d 44 MM rr SS u r tu

50、MtSu Mt r 三、二維波動方程Cauchy問題的降維法 二維波動方程Cauchy問題是 2 , , , 0 , , 0, , , , 0, ttxxyy t uauux yt u x yx yux yx y （） 2 1 (, )dd 4 MM atat SS u M tSS attt dS M at y 0 x z d 四、波動方程Cauchy問題一維、二維、三維的比較 考查二維和三維波動方程Cauchy問題 2 00 , , , 0 ( , ), ( , ) tt ttt uaux yt ux yux y 2 00 , , , , 0 ( , , ), ( , , ) tt ttt

51、uaux y zt ux y zux y z 1 是一個任意函數(shù)。令 則 是函數(shù) 在區(qū)間 上的算術(shù)平均值，積分的 大小依賴于區(qū)間的中點x和區(qū)間的半徑長。 2函數(shù) ，總滿足方程 。 3如果要求 還滿足初始條件 ，則只需將被積函數(shù) 換成 。如果 還要求滿足初始條件 ，只需 將 換成 。兩者都換了以后， 就成為波動方程一 維初值問題的解。 ( ) x1 ( , )( )d 2 x at x at V x t at ( , )V x t( ) , xat xat 12 ( , ) ( , ), tV x t utV x tu t 2 ttxx ua u 1 u 0 ( ) tt ux ( )x( )

52、x 2 u0 ( ) t ux ( )x ( )x 12 uu 五、Poisson公式的物理意義 4.4 4.4 非齊次波動方程解法非齊次波動方程解法 為了求解無界空間中非齊次波動方程定解問題 2 00 ( , , , ) , , ( , , ), ( , , ) tt ttt uauf x y z tx y z ux y zux y z ， 將定解問題化為 2 00 , , ( , , ), ( , , ) tt ttt uaux y z ux y zux y z ， 2 00 ( , , , ) , , 0, 0 tt ttt uauf x y z tx y z uu ， 5.1 Four

53、ier變換變換 5.2 Fourier變換的應(yīng)用變換的應(yīng)用 5.3 Laplace變換變換 5.4 Laplace變換的應(yīng)用變換的應(yīng)用 5.5 其他的積分變換其他的積分變換 第五章第五章 積分變換積分變換 5.1 Fourier5.1 Fourier變換變換 一、Fourier變換的定義 定理定理1 若 ,且在一個周期內(nèi)只有有限個第 一類間斷點與極值點，則 其中 ( )(2 )f xf xL 0 1 ( ), cossin (0)(0) 2, 2 nn n f xx an xn x ab f xf x LLx 為連續(xù)點 為不連續(xù)點 1 ( )cosd 1 ( )sind L n L L n L

54、 n x af xx LL n x bf xx LL 0, 1, 2, n 定義定義1 稱為f(x)的Fourier變換，f(x)稱為 的Fourier逆變換。 ( ) f ( ) f Fourier變換有多種形式。這些形式的差異主 要體現(xiàn)在積分號前的系數(shù)以及被積函數(shù)中指 數(shù)函數(shù)的指數(shù)符號。本書采用工程應(yīng)用中典 型的定義形式，這樣的Fourier變換許多性質(zhì) 也可以從物理上得到解釋。 二、正（余）弦變換的定義 定義定義2 Fourier余弦變換是指 定義定義3 Fourier逆余弦變換是指 0 ( )( )cosd c ff xx x 0 2 ( )cosd c f xfx () 定義定義4

55、Fourier正弦變換是指 定義定義5 Fourier逆正弦變換是指 0 ( )( )sind s ff xx x 0 2 ( )( )sind s f xfx 三、Fourier變換的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 Fourier變換是一個線性變換：對于任意常數(shù) 、 與任意函數(shù) 、 有 1( ) f x 2( ) fx 1212 F( )( )F( )F( )f xfxf xfx 定義定義6 設(shè) 都滿足Fourier變換的條件，則稱 為 的卷積。記為 12 ( ), ( )f xfx 12 dfxf 12 ( ), ( )f xfx 1212 ( )( )()( )df xfxf xf 性質(zhì)性質(zhì)2 的

56、卷積的Fourier變換等于 的Fourier變換的乘積： 12 ( ), ( )f xfx 12 ( ), ( )f xfx 1212 F( )( )F( )F( )f xfxf xfx 1 1212 ( )( )F ( )( )f xfxff 性質(zhì)性質(zhì)3 乘積的Fourier變換等于它們各自的 Fourier變換的卷積再乘以系數(shù) ，即 12 ( ), ( )f xfx 1 2 1212 1 F( )( )( )( ) 2 f x fxff 性質(zhì)性質(zhì)4 F( )j( )fxf ( ) F( )(j ) ( ) kk fxF f x 性質(zhì)性質(zhì)5 ( )F j( )fxf x 性質(zhì)性質(zhì)6 設(shè)為任

57、意常數(shù)，則設(shè)為任意常數(shù)，則 0 x 0 j 0 F ()eF ( ) x f xxf x 性質(zhì)性質(zhì)7 設(shè) 為任意常數(shù)，則 0 0 j 0 Fe( )() x f xf 性質(zhì)性質(zhì)8 1 F( )d F ( ) j x f ttf x 性質(zhì)性質(zhì)9 1 F ()()f atf aa 性質(zhì)性質(zhì)10 F ( )( )f xg F ( )2 ()g xf 性質(zhì)性質(zhì)11 +2 2 1 ( )d( ) d 2 xxff 性質(zhì)性質(zhì)12 jj 0 F ( )ede1 xx x xxx （ ） 四、n維Fourier變換 1 12 2 1212 j() 1212 F(, , , )F ( , , , ) ( , ,

58、 , )ed dd n n nn xxx nn f xxx f xxxx xx 12 ( , , , ) n f xxx 1 12 2 j() 1212 1 F(, , , )eddd (2) n n xxx nn n n維Fourier變換具有的性質(zhì) 1212 FFFffff 1212 FFFffff 1212 2 1 FF F (2) f fff FjF , 1, 2, , k k f fkn x F F j, 1, 2, , k k fx fkn 五、Fourier變換在常微分方程中的應(yīng)用 例3 求解 0yxy 111 F()( j)F() jjj xyFxyyi yyy 2 F()(j

59、 ) yy 22 1/2/2 j 1 ( )Feed 2 x R cc y x 5.2 Fourier5.2 Fourier變換的應(yīng)用變換的應(yīng)用 Fourier變換法求解步驟為： （1）對定解問題作Fourier變換； （2）求解像函數(shù)； （3）對像函數(shù)作Fourier逆變換。 j F ( , )( , )ed( , ) x u x tu x tx ut 22 jj 22 22 dd( , ) F( , )( , )ed( , )ed dd F( , )(j )( , )( , ) xx tttt xx ut ux tux txu x tx tt ux tutut 5.3 Laplace5.3

60、 Laplace變換變換 一、Laplace變換的定義 定義定義1 積分變換 稱為 的Laplace 變換，記作 稱為 Laplace逆變換，記 作 0 ( )( )ed sx f sf xx ( )f x L ( )( )f xf s j j 1 ( )( )e d 2j sx f xf ss ( )f s 1 L ( )( )f sf x 二、Laplace變換的存在定理 定理定理1 若f(x)函數(shù)滿足下述條件： （1）當x0上的解為 0 00 222 3/2 000 ( , )1 ()d d(, ) ()d 2()() V zx y u Mx yG M Mf MV xxyyz 推論推論2