4.數(shù)列求和的性質(zhì)與求和技巧

1、453中國高考數(shù)學(xué)母題(第141號(hào))數(shù)列求和的性質(zhì)與求和技巧求數(shù)列an的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn,是研究數(shù)列的兩大主題，課標(biāo)全國卷數(shù)列試題具有濃郁的數(shù)列求和“情結(jié)”；其中,數(shù)列求和的性質(zhì)與兩個(gè)求和技巧，值得關(guān)注.母題結(jié)構(gòu)：(I )(求和性質(zhì))若數(shù)列g(shù)n,b n的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則數(shù)列g(shù) n+tb n的前n項(xiàng)和=kSn+tTn；(II )(并項(xiàng)求和)若數(shù)列a n的an中含(-1)n,令bn=a2n-l+a2n,并求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn,然后由Sn=Tn,S 2n-1=Tn 2n求Sg；(山)(分段求和)若數(shù)列an:a n=f(n)(n m),則：當(dāng) nw m時(shí),Sn 由 a“=f(n)

2、求出；當(dāng) nm時(shí)，先由 a“=f(n) 求 Sm 再由 an=g(n)求 S-Sm 然后由 S=S+(Sn-Sj,求 Sn.母題解析:略.1. 求和性質(zhì)子題類型I :(2016年北京高考試題)已知an是等差數(shù)列,b n是等比數(shù)列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(I )求a n的通項(xiàng)公式；(I )設(shè)Cn=an+bn,求數(shù)列C n的前項(xiàng)和.解析:(I )由等比數(shù)列bn的公比 q=3bn=b2qn-2=3n-1(n=1,2,3,)a1=b=1,a ”=b4=27等差數(shù)列a n的公差 d=b2豈 蟲=2 Q=2n-1(n=1,2,3,);14 1(I)由Cn=an+bn數(shù)列cn的前n

3、項(xiàng)和=數(shù)列a.的前n項(xiàng)和+數(shù)列bn的前n項(xiàng)和=n2+l (3 n-1).2點(diǎn)評(píng):利用求和性質(zhì)，可由基本數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和份別為Sn與Tn),求合成數(shù)列ka n+tb n的前n項(xiàng)和(=kS n+tT n).同類試題:1. (2015年福建高考試題)等差數(shù)列an中,a2=4,a4+a7=15.(I)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；(I)設(shè)bn=2an 2 +n,求B+b2+b3+5。的值.2. (2005年全國I高考試題)設(shè)等比數(shù)列a n的公比為q,前n項(xiàng)和Sn0(n=1,2,).3(I )求q的取值范圍；(I)設(shè)bn=an+2- 3 an+1,記bn的前n項(xiàng)和為Tn,試比較S與Tn的大小.22.

4、并項(xiàng)求和子題類型I :(2014年山東高考理科試題)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為S,且S,S2,S4成等比數(shù)列.(I )求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；(I )令bn=(-1) n-1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.anan 1解析:(I )由 SS=S22ai(4ai+12)=(2a 1+2)2a=1an=2n-1;(“)由 bn=(-1)n-l(V(-l)n-1(躺 +2Cn=b2n-1 +b2n=(1+1)-(1+1)=1-14n 3 4n 1 4n 1 4n 1 4n 3 4n 1T2n = (b 1 + b2)+ (b 3+b4)+ +(b 2n-1 +b2n) = C 1+C2 +C

5、n=1-1= 4n4n 1 4n 1=T2n-b 2n =4n4n 1+(+)=上4n 1 4n 1 4n 1點(diǎn)評(píng):并項(xiàng)求和法不僅適用于通項(xiàng)an中含(-1) n的數(shù)列an求和，而且還適用于通項(xiàng) an中含三角函數(shù)的數(shù)列an求和.同類試題:3. (2014年山東高考文科試題)在等差數(shù)列aj中，已知公差d=2,a2是Q與a4的等比中項(xiàng).(I )求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；(II )設(shè) bn=a n(n 1,記 Tn=-b1 + b2-b 3+b4-+(-1) bn,求 Tn.2中國咼琴數(shù)學(xué)母邂原創(chuàng)音:拗覿手機(jī)號(hào)碼;139651699十454備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑預(yù)測(cè)高考試題的有效手段2017年課標(biāo)高考母

6、題* 1124. (2016年天津高考試題)已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S(n N),且_- 一 = 一 3=63.a1a2 a3(I)求an的通項(xiàng)公式；(I)若對(duì)任意的n N,b n是log 2弐和log 2乳的等差中項(xiàng)，求數(shù)列(-1) nbn2的前2n項(xiàng)和.3. 分段求和子題類型川:(2007年上海高考試題)如果有窮數(shù)列 a1,a 2,a n(n為正整數(shù))滿足條件：a1=a“,a 2=an，,an=a1,即ai=an-i+1 (i=1,2,n),我們稱其為對(duì)稱數(shù)列”.如由組合數(shù)組成的數(shù)列CCm1,Cmm.就是對(duì)稱數(shù)列”.(I)設(shè)bn是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”,其中b1,b 2,b 3,b

7、4是等差數(shù)列,且b1=2,b4=11,依次寫出bn的每一項(xiàng)；(I)設(shè)cn是項(xiàng)數(shù)為2k-1(正整數(shù)k1)的對(duì)稱數(shù)列”，其中Ck,Ck+1,c 2k-1是首項(xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列.記cn的 各項(xiàng)和為S2k-1 ,當(dāng)為何值時(shí),S2k-1取得最大值？并求出Sk-1的最大值.(山)對(duì)于確定的正整數(shù)m1,寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的“對(duì)稱數(shù)列”，使得1,2,2 2,2 m-1依次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)；當(dāng)m1500時(shí)，求其中一個(gè)“對(duì)稱數(shù)列”前 2008項(xiàng)的和S2008.解析:(I )設(shè)bn的公差為 d,由 b1=2,b4=11d=3b n:2,5,8,11,8,5,2;(I)由 Sk“=2(C1+C2+C

8、k)-c k=-4(k-13) 2+4X 132-50k=13 時(shí) j 取得最大值=626;(山)所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是： 1,2,2 2,2m-2,2m-1,2m-2,2 2,2,1; 1,2,2 2,2m-2,2 m-1,2 m-1,2 m-2,22,2,1; 2m-1,2m-2, 22,2,1,2,2 2,2m-2,2m-1; 2m-1,2m-2,2 2,2,1,1,2,22,2m-2,2 m-1;對(duì)于,當(dāng) m 2008 時(shí),S 2。8 =2 2008-1;當(dāng) 1500 2008 時(shí),S 2008 =22008-1;當(dāng) 15002008 時(shí) =2m-2 m-2008;當(dāng) 1500m 2

9、008 時(shí),S2008=2m-2 m-2008;當(dāng) 1500mc 2007 時(shí),S 2008=2m+22008-m-2.點(diǎn)評(píng):類似于分段函數(shù)問題分類求解；對(duì)于分段數(shù)列，也要分段求和；分段數(shù)列的一個(gè)典型是等差數(shù)列的絕對(duì)值.同類試題:5. (2013年浙江高考試題)在公差為d的等差數(shù)列an 中,已知a=10,且ai,2a 2+2,5a 3成等比數(shù)列.(I)求 d,a n； ( I)若 dS.(n )設(shè)Cn=丄-丄(n N*),記數(shù)列c n的前n項(xiàng)和為S.(i)求S;(ii) an bnf-第一Al#黃2” 1弄-行匸第二桿匸W1嗣其前n項(xiàng)和為S.10. (2011年山東高考試題)等比數(shù)列an中,a

10、1,a2,a3分別是下表第一、 行中的某一個(gè)數(shù)，且a“a 2,a 3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.(I)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；(n )若數(shù)列bn滿足:b n=an+(-1) “Ina n,求數(shù)列b n的前n項(xiàng)和S.11. (2009年江西高考試題)數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=n 3(cos Tn-Sn=(q2- 3 q- 1)S n=(q-2)(q+ 2 -sin 22 ),33(I)求S; ( n )令bn=_S3,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. n 4n12. (2007年浙江高考試題)己知數(shù)列an中的相鄰兩項(xiàng) a2k-1,a2k是關(guān)于x的方程x2-(3k+2 k)x+3k.2 k=0的兩根，

11、且日2耐a2k(k=1,2,3, ).( I )求 a1,a3,a5,a7； ( n )求數(shù)列an的前 2n 項(xiàng)的和 S”；申國鬲若數(shù)學(xué)母邂黒創(chuàng)者：隸覿仟機(jī)號(hào)碣:1 3961699)屮2017年課標(biāo)高考母題備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑.預(yù)測(cè)高考試題的有效手段455(出)記 f(n)= 1(也+3),T -( 1)f(2)( 1)f(3)(1)f(4)2 sinna1a2a3a4a5a6(1)f(n 1)a2n 1a2n15.求證:- Tn 一 .62413. (2012年湖北高考試題)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(I )求等差數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；(n )若a2,a 3,a 1

12、成等比數(shù)列，求數(shù)列|a n|的前n項(xiàng)和.14. (2009年重慶高考試題)設(shè)m個(gè)不全相等的正數(shù)a!,a 2,am7)依次圍成一個(gè)圓圈(I)若m=2009，且a1,a 2,a 1005是公差為d的等差數(shù)列，而a1,a 2009,a 2。8，,a 1005是公比為q=d的等比數(shù)列；數(shù)列a1,a 2,a m的前 n 項(xiàng)和 S(n m)滿足:S3=15,S 2009 =S?007+12a1,求通項(xiàng) a”(n m)；(n )若每個(gè)數(shù)an(n maa2am.5. 子題詳解:1. 解:(I )由日2=4,日4+日7=15(aa2)+(a7-a2)=77d=7d=1an=n+2；( n )由bn=2n+nS+

13、b2+b3+4。=2(210-1)+55=2101.2. 解:(I )由 S0 3=S0 當(dāng) q=1 時(shí),Sn=na10；當(dāng) qz 1 時(shí),由 S=a1(1 ) 0(q-1)(q n-1)0q1,或-1q1q 的1 q取值范圍是(-1,0) u (0,+ g)；32 32 32 3(n )由 bn=an+2-an+1=anq -anq=(q - q)a nTn=(q -q)Sn-2 )Sn；當(dāng) q=2,或 q=- _2 時(shí),Sn=Tn；當(dāng)-1qTn；當(dāng)-1q2 時(shí),S nTn.2 23. 解:(I )由 aa1+6)=(a 1+2)2a=2an=2n；(n )由 bn=n(n+1);令 Cn=

14、-b2n-i +b2n=-(2n-1)2n+2n(2n+1)=4nT2n=Ci+C2+Cn=2n(n+1)T2n-i =T2n-b 2n=-2n2.a3 - a3題意；由 q=2,S 6=63a1=1a=2 ;4.解:(I)由丄-丄=?a1a2a3a1=2a2q2-q=2等比數(shù)列bj的公比q=-1,或q=2;但當(dāng)q=-1時(shí),S6=引(1 q )=0,不合1 q11(n)由 bn= _ (log 2a“+log 2a“+1)=n- _ ;令22cn=(-1) 2n-1b2n-12+(-1) 2b2n2=b2n2-b2n-12=(b2n-b2n-1)(b 2n+b2n-1)=4n-2數(shù)列(-1)

15、b)的前2n項(xiàng)和=數(shù)列c n的前n項(xiàng)和=2n2.5.解:(I )由 5a1Sb=(2a2+2)2d2-3d-4=0d=-1 或 d=4an=-n+11 或 a“=4n+6;(n )當(dāng) d11 時(shí),|a f11 |a i|+|a 2+|a 3+ +|a|= 11(21 11) + n( 10 n 11)- 11( 10 11 11) = n(n 21) +1106.解:(I )由 f(x)= x +sinx21 1 f (x)= - +cosx,令 f (x)=0 cosx=-2 22x=2n n 一 ;又因f(x)的極小值點(diǎn)y=3cosx單調(diào)遞增部分與y=- 1的交點(diǎn)22 2x=2n n -x

16、n=2nn - (n NL);332(n )由 xn=2n n - aS=n(n+1),注意到:n(n+1)為偶數(shù) sinS n=sinn(n+1) n - 2 =-sin;當(dāng) n=3333k-2(k N+)時(shí),sinS=_#;當(dāng)：3n=3k-1(k N+)時(shí),sinS 產(chǎn)3 ;當(dāng) n=3k-2(k N+)時(shí),sinS n=0.27.解:(I )設(shè)等比數(shù)列 an的公比為 q,由 a1=2,a3=a2+4 q2-q-2=0q=2(-1 舍去)an=2n;(n)由 S=2(2-1)+n 2.申國芍若數(shù)學(xué)母建原創(chuàng)者;頻數(shù)仔機(jī)號(hào)碣;1 3961699)屮456備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑預(yù)測(cè)高考試題的有效手

17、段2017年課標(biāo)高考母題8.解:(I )a n=3n;由 q=2bn-a n=2n-13bn=2n-1 +3n;( n )數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和=(2 n-1)+n(n+1).1 11 1 1 19. 解:(I )a n=2n,bn=n(n+1);(n )由 g=( 1) n-( 1 -丄);(i)S 尸丄-(丄)n;(ii)由 cn=1 n(n+1)-2 n 當(dāng) n0,當(dāng) n4 時(shí),c n -;同時(shí),T n =.(1)f(2)(1)f(3)(1)f(4)6 22 62n6a1 a2a3a4a5 a6(1)f(n 1) A 1+丄-(6a2n 1a2n(1)f(n 1)a2n 1 a2na3a41+a5a6a2n 1a2n 2-_L+(+24 a5 a6a1 a2a2n 1a2 na5 a6) 二24_13 +1( + 丄) 仝.綜上，1 T； 2 時(shí)a n|=3n-7Sn=5+ n(3n ii) - 2(3 2 )=n(3n ii) +i0.2 2 2 214. 解:(I )由 ai,