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文檔簡介
1、青島農(nóng)業(yè)大學(xué)本科生課程論文題 目: 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) 姓 名: 楊寶赟 學(xué) 院: 理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè): 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 班 級: 2008級2班 學(xué) 號: 20084051 指導(dǎo)教師: 常桂娟 完成時(shí)間: 2011年12月23日 二一一年十二月二十三日課 程 論 文 任 務(wù) 書學(xué)生姓名 楊寶赟 指導(dǎo)教師 常桂娟 論文題目 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) 論文內(nèi)容(需明確列出研究的問題): 運(yùn)用matlab數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)出數(shù)值分析的求拉格朗日插值多項(xiàng)式和牛頓插值多項(xiàng)式以及polyfit多項(xiàng)函數(shù)擬合來求的擬合曲線和列主元guass消去法解方程組。 資料、數(shù)據(jù)、技術(shù)水平等方面的要求:論文要符合一般學(xué)術(shù)論
2、文的寫作規(guī)范,具備學(xué)術(shù)性、科學(xué)性和一定的創(chuàng)造性。文字要流暢、語言要準(zhǔn)確、論點(diǎn)要清楚、論據(jù)要準(zhǔn)確、論證要完整、嚴(yán)密,有獨(dú)立的觀點(diǎn)和見解。內(nèi)容要理論聯(lián)系實(shí)際,計(jì)算數(shù)據(jù)要求準(zhǔn)確,涉及到他人的觀點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或計(jì)算公式等要標(biāo)明出處,結(jié)論要寫的概括簡短。參考文獻(xiàn)的書寫按論文中引用的先后順序連續(xù)編碼。(根據(jù)情況修改) 發(fā)出任務(wù)書日期2011.12.18 完成論文(設(shè)計(jì))日期 2011.12.23 學(xué)科組或教研室意見(簽字) 院、系(系)主任意見(簽字) 目錄前言3一、設(shè)計(jì)題1:4(一)、求拉格朗日插值多項(xiàng)式41.1理論知識(shí)41.2拉格朗日插值的設(shè)計(jì)思路與算法如下:52.求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序如下:(即l
3、anguage.m文件)53.程序運(yùn)行操作過程與輸出結(jié)果64.對計(jì)算過程與結(jié)果分析7(二)、 求牛頓插值多項(xiàng)式71.1理論知識(shí)71.2設(shè)計(jì)思路與算法步驟82.求牛頓插值多項(xiàng)式的程序如下:(即newton.m文件)83.程序運(yùn)行操作過程與輸出結(jié)果94對計(jì)算過程與結(jié)果的分析105.在課程設(shè)計(jì)中的心得體會(huì)10二、設(shè)計(jì)題2:101.1理論知識(shí)111.2算法步驟112程序運(yùn)行操作過程與輸出結(jié)果113.對計(jì)算過程與結(jié)果的分析124.在課程設(shè)計(jì)中的心得體會(huì)12三、設(shè)計(jì)題3:121.1理論知識(shí)131.2設(shè)計(jì)思路131.3算法步驟132程序清單143程序運(yùn)行操作過程與輸出結(jié)果174.對計(jì)算過程與結(jié)果的分析185
4、.在課程設(shè)計(jì)中的心得體會(huì)19參考文獻(xiàn)19【abstract】20數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 楊寶赟指導(dǎo)教師 常桂娟【摘要】本文對運(yùn)用matlab軟件分別對求拉格朗日插值多項(xiàng)式、牛頓插值多項(xiàng)式、曲線擬合、高斯列主元消去法進(jìn)行設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)從理論知識(shí)、設(shè)計(jì)思路、算法步驟、程序清單等方面進(jìn)行了系統(tǒng)的表達(dá)。理論知識(shí)方面分別給出了以上各個(gè)方法的來由、定義等,設(shè)計(jì)思路構(gòu)成了程序清單的靈魂,簡要表達(dá)了實(shí)現(xiàn)程序的各個(gè)步驟。最后,通過以上環(huán)節(jié)總結(jié)出自己對各個(gè)程序設(shè)計(jì)的心得體會(huì)?!娟P(guān)鍵詞】matlab 拉格朗日插值 牛頓插值 曲線擬合 高斯消去 前言計(jì)算機(jī)與計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展以及它們在工程及科學(xué)技術(shù)問題中的廣泛應(yīng)
5、用,使得數(shù)值分析(計(jì)算方法)課程對高等院校理工科學(xué)生來說越來越重要。 數(shù)值分析是一門基礎(chǔ)課,它象通常的數(shù)學(xué)課程一樣有自身嚴(yán)密的科學(xué)體系,但它又是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的課程,目的是使學(xué)生能夠用本課程的理論在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)有關(guān)的科學(xué)與工程計(jì)算,計(jì)算能力的培養(yǎng)對工科各專業(yè)的學(xué)生都是十分重要的,數(shù)值分析課程的課程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)正是為了適應(yīng)這種需要而設(shè)置的,使得學(xué)生在學(xué)習(xí)各種算法時(shí),能在課程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中深刻體會(huì)算法的內(nèi)涵、物理背景和實(shí)際意義,同時(shí)也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣, 而更重要的是能提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。一、設(shè)計(jì)題1:根據(jù)下表所列的數(shù)據(jù)點(diǎn)求出其拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓
6、插值多項(xiàng)式,并計(jì)算當(dāng)x=2.0時(shí)的值。11.21.82.5411.443.246.2516(一)、求拉格朗日插值多項(xiàng)式1.1理論知識(shí)拉格朗日插值法是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫路易斯拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。許多實(shí)際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律,而不少函數(shù)都只能通過實(shí)驗(yàn)和觀測來了解。如對實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測,在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測值,拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式,其恰好在各個(gè)觀測的點(diǎn)取到觀測到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日(插值)多項(xiàng)式。數(shù)學(xué)上來說,拉格朗日插值法可以給出一個(gè)恰好穿過二維平面上若干個(gè)已知點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù)。拉格朗日插值法最早被英國數(shù)學(xué)家愛德華華林
7、于1779年發(fā)現(xiàn),不久后(1783年)由萊昂哈德歐拉再次發(fā)現(xiàn)。1795年,拉格朗日在其著作師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中發(fā)表了這個(gè)插值方法,從此他的名字就和這個(gè)方法聯(lián)系在一起。對某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù),已知有給定的k + 1個(gè)取值點(diǎn): 其中對應(yīng)著自變量的位置,而對應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值。假設(shè)任意兩個(gè)不同的都互不相同,那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為: 其中每個(gè) 為拉格朗日基本多項(xiàng)式(或稱插值基函數(shù)),其表達(dá)式為:。 拉格朗日基本多項(xiàng)式 的特點(diǎn)是在 上取值為1,在其它的點(diǎn)上取值為0。1.2拉格朗日插值的設(shè)計(jì)思路與算法如下:(1)輸入,,。(2)對置。(3)置。(4)輸出。2.求拉格朗日插值
8、多項(xiàng)式的程序如下:(即language.m文件)function f=language(x,y,x0)%求已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式%已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的x坐標(biāo)向量:x%已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的y坐標(biāo)向量:y%插值的x坐標(biāo):x0%求得的拉格朗日插值多項(xiàng)式在x0處的插值:fsyms t;if(length(x)=length(y) n=length(x);else disp(x和y的維數(shù)不相等!); return;end %檢錯(cuò)f=0.0;for(i=1:n) l=y(i); for(j=1:i-1) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(j=i+1:n) l=l*(t-x(j)/(
9、x(i)-x(j);%計(jì)算拉格朗日基函數(shù) end; f=f+l; %計(jì)算拉格朗日插值函數(shù) simplify(f); %化簡 if(i=n) if(nargin=3) f=subs(f,t,x0); %計(jì)算插值點(diǎn)的函數(shù)值 else f=collect(f); %將插值多項(xiàng)式展開 f=vpa(f,6); %將插值多項(xiàng)式的系數(shù)化成6位精度的小數(shù) end endend3.程序運(yùn)行操作過程與輸出結(jié)果在文件中新建一個(gè)m文件language.m,編寫出求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序,然后在命令區(qū)調(diào)用language.m文件,即在命令區(qū)打入f=language(x,y)即可得到,再次調(diào)用language.m文件,
10、利用f=language(x,y,2)語句得出x=2.0時(shí)的值。matlab中的命令如下: x=1 1.2 1.8 2.5 4; y=1 1.44 3.24 6.25 16; f=language(x,y) f = t2 f=language(x,y,2)f = 44.對計(jì)算過程與結(jié)果分析由于本題的例題給出的數(shù)據(jù)很簡單,所以僅憑觀察法就可以得出結(jié)果,而且計(jì)算量很小,不太符合程序設(shè)計(jì)的理念。所以對簡單的數(shù)據(jù)處理可以直接用計(jì)算方法手動(dòng)算出,本程序僅對復(fù)雜數(shù)據(jù)處理方面有很大用處。(二)、 求牛頓插值多項(xiàng)式1.1理論知識(shí) 牛頓插值法利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值,作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù),在這些
11、點(diǎn)上取已知值,在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式,就稱它為插值多項(xiàng)式。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式,公式結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中甚為方便,但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化,整個(gè)公式也將發(fā)生變化, 這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的,為了克服這一缺點(diǎn),提出了牛頓插值。 牛頓插值通過求各階差商,遞推得到的一個(gè)公式: 1.2設(shè)計(jì)思路與算法步驟(1)輸入插值節(jié)點(diǎn)數(shù)n,插值點(diǎn)序列,要計(jì)算的插值點(diǎn)u。(2)形成差商表 !gk表示(3)置初始值t=1;newton=f(0)(4)for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) =
12、 (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l;(5)輸出f(x)2.求牛頓插值多項(xiàng)式的程序如下:(即newton.m文件)function f = newton(x,y,x0)%本程序?yàn)閚ewton插值,%其中x,y為插值節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值,輸出為插值點(diǎn)x0的函數(shù)值,%x0可以是向量。syms t;if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0;else disp(x和y的維數(shù)不相等!); return;endf = y(1);y1
13、= 0;l = 1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f) y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,x0); else f = collect(f); %將插值多項(xiàng)式展開 f = vpa(f, 6); end endend3.程序運(yùn)行操作過程與輸出結(jié)果在文件中新建一個(gè)m文件newton.m,編寫出求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序,然后在命令區(qū)調(diào)用newton.m文件,即在命令區(qū)打入f=newton(1 1.2 1.8 2.5 4,1 1.44 3.24 6.25 16,2)即可得到,以及x=2.0時(shí)的值為4。matlab中的命令如下: f=newton(1 1.2 1.8 2.5 4,1 1.44 3.24 6.25 16,2) ans =t2 f = 44對計(jì)算過程與結(jié)果的分析由于本題的例題給出的數(shù)據(jù)很簡單,所以僅憑觀察法就可以得出結(jié)果,而且計(jì)算量很小,不太符合程序設(shè)計(jì)的理念。所以對簡單的數(shù)據(jù)處理可以直接用計(jì)算方法手動(dòng)算出,本程序僅對復(fù)雜數(shù)據(jù)處理方面有很大用處。5.在課程設(shè)計(jì)中的心得體會(huì)在對拉格朗
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