理科導(dǎo)數(shù)恒成立問題二1

1、理科導(dǎo)數(shù)恒成立問題二11. (本小題滿分14分)1 2已知函數(shù) f(x) ax2 (2a 1)x 2ln x (a R).2(I )若曲線y f (x)在x 1和x 3處的切線互相平行，求 a的值；(n )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(川)設(shè)g(x) x2 2x，若對任意 洛(0,2，均存在X2 (0,2，使得f(xj g(X2)，求a的取值范圍2. (本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x) ax2 2ln (x 1),其中a為實(shí)數(shù).(1) 若f(x)在x 1處有極值，求a的值；(2) 若f(x)在2,3上是增函數(shù)，求a的取值范圍。3. (本小題共13分)已知函數(shù)f (x) xln x .(I)求函數(shù)

2、f (x)在1,3上的最小值；1(n)若存在x -,e ( e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e= 2.71828L )使不等式e2f (x)x2 ax 3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4. (石景山理18)、， 1 2 已知函數(shù) f (x) (a )x In x,( a R).2(I)當(dāng)a 1時,求f (x)在區(qū)間1,e上的最大值和最小值；(n)若在區(qū)間(1,)上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線 y 2ax下方，求a的取值范圍.5. (海淀理18)已知函數(shù) f (x) x alnx , g(x), (a R).x(I)若a 1，求函數(shù)f (x)的極值;(n)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)

3、間;(川)若在1,e ( e 2.718.)上存在一點(diǎn)X。，使得f(x。)g(x。)成立，求a的取值范圍2答案:1.(本小題滿分14分)2分3分5分6分解：f (x) ax (2a 1) (x 0).x2(I) f (1) f (3)，解得 a -.3(ax 1)(x 2)(n) f (x)(x 0).x當(dāng) a 0 時，x 0, ax 10,在區(qū)間(0,2)上，f (x)0 ;在區(qū)間(2,)上f (x)0 ,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2,).當(dāng)01 1a時，一2a2 ,在區(qū)間1（0,2）和（丄，a)上, f (x)0 ;1在區(qū)間(2,)上f (x)0 ,a1故f（x

4、）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,2）和（一，a 1），單調(diào)遞減區(qū)間是（2,）.a當(dāng)a1時，f (x)2(x 2)22x ，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,）當(dāng)a1c1時，02a2 ,在區(qū)間1(0,)和(2,a)上, f (x)0;1在區(qū)間（丄，2）上f （x）0 ,a11故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,）和（2,），單調(diào)遞減區(qū)間是（一，2） 9分aa（川）由已知，在（0,2上有 f（X）max g（x）max. 10 分由已知，g(x)max 0 ,由(n)可知，1當(dāng)a 時，f (x)在(0, 2上單調(diào)遞增，2故 f(x)max f (2) 2a 2(2a 1) 2l n2 2a 2 2l n2 ,1

5、所以， 2a 2 2ln 2 0,解得 a In 2 1,故 In 2 1 a - . 11分21 1當(dāng)a時，f （x）在（0,上單調(diào)遞增，在1_ , 2上單調(diào)遞減，a2a1故 f (x) maxfL)22ln a .a2a1由a可知ln aln1ln11, 2lna2 , 2lna 2,22e13分14分所以，2 2lna 0, f (x) max 0 ,綜上所述，a In 2 1.2.(本小題滿分13分)解：(1)由已知得f(x)的定義域?yàn)?1,12又 f (x)2ax丄x 1由題意得f (1) 2a 101a2(2)解法一：依題意得f(x)0對 x 2,3恒成立,ax2ax 1(xx 2

6、,3,(x丄)21的最小值為24(3142)212(x又因a1-)2241 時符合題意121 為所求121的最大值為11212分14分解法二:依題意得f(x)0對x 2,3恒成立,2 ax令 g(x)c20, axax2 axax 12,3恒成立(2)當(dāng)i a0時，拋物線g(x)開口向下，可得g ( x) ming(3)0即9a3a1 0, 01a11分12(3)當(dāng)i a0時，拋物線g(x)開口向上，可得g(x)ming(2)0即4a2a10,a1即a 013分6又因a1時符合題意0恒成立(1)當(dāng)0時，19分a1綜上可得a為所求14分124.(共13分)解：(I)由 f(x) xlnx，可得

7、f x In x 1,(1)11當(dāng)x (0,)時，f (x)0, f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)x (-ee)時，f (x)0, f (x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)f (x)在1,3上單調(diào)遞增又 f(1) In1 0 ,所以函數(shù)f (x)在1,3上的最小值為0 6分23(n)由題意知， 2xlnx x2 ax 3,則 a 2Inx xx123若存在x ,e使不等式2f (x) x ax 3成立，只需a小于或等于2I nx x的最大值.ex設(shè)h x2In x3x xx 0，則h x2 1x3x 3 x 12 xx(0,)上減，在區(qū)間(，)上增,-1當(dāng) x -,1)時，eh x0,hx單調(diào)遞減；當(dāng)x(1,e時，

8、h x0,h x單調(diào)遞增1 由 h ()2 -3e,h(e)2 e kk,eh( 2k1 2k)h(e) 2e-40 ,eeee1可得h()h(e)所以,當(dāng)x1,e時，h(x)的最大值為1 h()12 -3e eeee13分故a2 1 3ee1 ,f(1)f (x)1 2kk二 f (x)1 In 2 ,2x xIn (x 1) x ln(xx 1切線方程為y (1 In 2)(2kx 1)(x 1) kx2 x(x 1)f (x)0,解得 x122k1評1)，即:(2 k(x 1)21) 1)xf (x) 1In 21k入12k令氣-1，0，或x2k解得k 110分(2)當(dāng) kf(x)在區(qū)間

9、(1,0)上增，在區(qū)間1 時，f (x)0 ,2此時f (x)在區(qū)間(1,)上增,12分1 12k(3)當(dāng)k 1時，10,此時2 k1 2k1 2kf(x)在區(qū)間(1,)上增，在區(qū)間(，0)上減，在區(qū)間(0,)上增，13分kk1 2k(4)當(dāng)k 1時，1，此時f (x)在區(qū)間(1,0)上減，在區(qū)間(0,)上增,k5.解：(I) f(x)的定義域?yàn)?0,) , 1分14分1 x 1 當(dāng) a 1 時，f(x) x ln x， f (x)1 x xx(0,1)1(1,)f (x)一0+f (x)極小所以f(x)在x 1處取得極小值1.(H) h(x) x1 aa ln x , h (x)x2x ax

10、 (1 a) (x 1)x (1a)當(dāng)a 10 時,即a 1時，在(0,1a)上 h (x)0，在 (1a,)上 h(x) 0 ,所以h(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,)上單調(diào)遞增;當(dāng)1 a 0，即a 1時，在(0,)上h(x) 0,所以，函數(shù)h(x)在(0,)上單調(diào)遞增.8分(III)在1,e上存在一點(diǎn)x0，使得f(x) g()成立，即在1,e上存在一點(diǎn)x,使得h(x。)0 ,即e 1上的最小值小于零.函數(shù) h(x) x -_a alnx在 1,ex由(n)可知 即1 a e,e 1時，h(x)在1,e上單調(diào)遞減,所以h(x)的最小值為h(e)，由h(e)a 0可得a ee2 1e 1 10分因?yàn)樨蝒 1，所以ae 1當(dāng)1 a 1,即a 0時,h(x)在1,e上單調(diào)遞增,所以h(x)最小值