知識講解 橢圓的簡單性質(zhì) 基礎

1、橢圓的簡單性質(zhì)編稿：張林娟審稿：孫永釗【學習目標】1知識與技能目標：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸、對稱中心、頂點、離心率的概念；進一步掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題2過程與方法目標：引導學生通過觀察、類比、討論等方法，讓學生迅速獲得橢圓的性質(zhì)3情感態(tài)度、價值觀目標：在橢圓的簡單性質(zhì)的學習過程中，培養(yǎng)學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度【要點梳理】要點一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)和它的圖象（如圖）來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)1對稱性對于橢圓標準方程x2y2+2ab2=1，把x換成x，或把y換成y，或

2、把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以橢圓x2y2+a2b2=1是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心2范圍橢圓上所有的點都位于直線x=a和y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|a，|y|b3頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點橢圓x2y2+2ab2=1（ab0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為a1（a，0），橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e=2c=a2（a，0），b1（0，b），b2（0，b）線段a1a2，b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|a1a2|=2a，|b1b2|

3、=2ba和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長4離心率c2aa因為ac0，所以e的取值范圍是0e1e越接近1，則c就越接近a，從而b=a2-c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2要點詮釋：橢圓x2y2+a2b2=1的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）pf+pf=2a，；=e，|pm|+|pm|=|pm|pm|c|pf|pf|2a212121212（2）bf=bf=a，of=of=c，ab=ab=a2+b2；121221（3）af=af=a-c，af=af=a

4、+c，a-cpfa+c；112212211要點二：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義aa橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：b0，c0，且a2=b2+c2可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形dpff有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定12理（或勾股定理）、三角形面積公式sdpf1f2=12pfpfsinfpf相結合的方法進行計算與解題，將有關線121段pf、pf

5、、ff，有關角fpf(fpffbf)結合起來，建立pf+pf、pfpf之間的12121212121212關系要點三：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程x2a2y2+=1(ab0)b2x2y2+=1(ab0)b2a2圖形焦點f(-c,0)，f(c,0)f(0,-c)，f(0,c)1212焦距范圍|ff|=2c(c=a2-b2)12|x|a，|y|b|ff|=2c(c=a2-b2)12|x|b，|y|a性對稱性關于x軸、y軸和原點對稱質(zhì)頂點軸(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)長軸長=2a，短軸長=2b離心率e=ca(0e1)=1，要點詮釋：橢圓x2y2y2x2+222abab2=1（

6、ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有ab0和e=(0eb0)；b0)；1(ab0)將直線的方程y=kx+b與橢圓的方程x2y2+a2b2=1(ab0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點直線與橢圓的相交弦設直線y=kx+b交橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)于點p(x,y),p(x,y),兩點，則111222x-xk2例1求橢圓+=1的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標，并用描點法畫出這個橢圓【解析】根據(jù)橢圓

7、的標準方程+=1，得a=5,b=3,c=25-9=4，離心率e=c=0.8，|pp|=(x-x)2+(y-y)2=(x-x)21+(y1-y2)2=1+k2|x-x|121212121212同理可得|pp|=1+1|y-y|(k0)1212這里|x-x|,|y-y|,的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：1212|x-x|=(x-x)2-4xx，121212|y-y|=(y-y)2-4yy121212【典型例題】類型一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)x2y2259x2y2259因此，長軸長2a=10，短軸長2b=64a5焦點為f1（4，0）和f2（4，0），頂點為a1（5，0），a2（5，0），b1（0，

8、3），b2（0，3）將方程變形為y=325-x2（5x5），根據(jù)y=355，25-x2（5x5）可求出橢圓的兩個頂點及其在第一象限內(nèi)一些點的坐標（x，y），列表如下：xy031294227532441850先描點畫出第一象限的圖形，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓（如圖2-2-9）【變式1】橢圓+=1上一點p到橢圓一個焦點的距離為3，則p到另一個焦點的距離=_【答案】長軸長2a=10，短軸長2b=8，離心率e=，焦點f(-3,0)f(3,0)，頂點是a(-5,0)，a(5,0)，5【思路點撥】由已知方程可確定橢圓在四條直線x=5，y=3所圍成的矩形框內(nèi)，以兩坐標軸為對稱軸，原點為對稱中心，所以只

9、需畫出橢圓在第一象限的圖形，就可畫出橢圓舉一反三：x2y22516【答案】7【高清課堂：橢圓的性質(zhì)356756例1】【變式2】求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標31212b(0,-4)，b(0,4)12例2已知橢圓的對稱軸為坐標軸，o為坐標原點，f是一個焦點，a是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且cosofa=2，求橢圓的方程3【解析】橢圓的長軸長為6，cosofa=23，所以點a不是長軸的頂點，是短軸的頂點，所以|of|=c，=，|af|=|oa|2+|of|2=b2+c2=a=3，c233故橢圓的方程為+=1或+=1【變式】長軸長等于20，離心率等于，

10、求橢圓的標準方程【答案】+=1或+=1【解析】（1）由題意得(a+c)(a-c)=32，即1+e=，解得e=5-26（2）由題意得，解得，故離心率e=所以c=2，b2=3222=5，x2y2x2y29559【思路點撥】靈活運用橢圓的幾何性質(zhì)：a2=b2+c2；長軸長2a，短軸長2b，進行求參數(shù)的值或求橢圓的方程舉一反三：35x2y2y2x21006410064類型二：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍例3（1）已知橢圓的一個焦點將長軸分成長為32的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4，求其離心率31-e2a+c=10a=7c3a-c=4c=3a7【思路點撥】

11、橢圓的離心率是橢圓幾何性質(zhì)的一個重要參數(shù)，求橢圓離心率的關鍵是由條件尋求a、c滿足的關系式舉一反三：【變式1】橢圓的一個頂點與兩焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（）5b.a.134c.33d.12【答案】d【變式2】橢圓x2y2+a2b22=1上一點到兩焦點的距離分別為d、d，焦距為2c，若d、c、d成等差數(shù)列，1212則橢圓的離心率為【答案】12例4設m為橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)上一點，f1、f2為橢圓的焦點，若mf1f2=75，mf2f1=15，求橢圓的離心率【解析】在1f2中，由正弦定理得=，2csinfmf12|mf|mf|12sinmffsinmff2112即2c|

12、mf|mf|1=2sin90sin15sin752c|mf1|+|mf2|2a=sin90sin15+sin75sin15+sin75，=e=c16asin15+sin753【思路點撥】本題利用了橢圓的定義、正弦定理、等比定理、三角變換等多種知識，求出離心率e【變式4】以橢圓兩焦點為直徑的圓交橢圓于四個不同點，順次連結這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，則這個橢圓的離心率等于【答案】3-1=1(ab0)，f1，f2是兩個焦點，若橢圓上存在一點p，使fpf=，求ab3例5已知橢圓x2y22p+2212【解析】1pf2中，已知fpf=2p，|f1f2|=2c，|pf1|+|pf2|=2a，3

13、其離心率e的取值范圍12由余弦定理：4c2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos120又|pf1|+|pf2|=2a1聯(lián)立得4c2=4a2-|pf1|pf2|，|pf|pf2|=4a2-4c2，eb0)，以a，b，c為系數(shù)的關于x的方程ax2+bx+c=0無實根，求例6對不同實數(shù)m，討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的公共點的個數(shù)【解析】由題意得x2+y2=1(2)4將(1)代入（2）得+(x+m)2=1,【變式】若直線y=kx+1(kr)與橢圓+=1恒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍其離心率e的取值范圍【答案】由已知，d=b2-4ac0，所以(a2-c2)-4ac0，不等式兩邊同除a2可得e2+4e-10，解不等式得e5-2由橢圓的離心率e(0,1)，所以所求橢圓離心率e(5-2,1)類型三：直線與橢圓的位置關系x24y=x+m,(1)x24整理得5x2+8mx+4m2-4=0，（3）由d=(8m)2-45(4m2-4)