矩陣行列式復(fù)習(xí)總結(jié)

1、矩陣,1. 矩陣的定義,一些特殊的矩陣：,零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、 對角陣、數(shù)量陣、單位陣,2. 矩陣的基本運(yùn)算,矩陣相等:,同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等,兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等,矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘,矩陣與矩陣相乘：,乘法滿足,矩陣乘法不滿足： 交換律、消去律,A是n 階方陣，,方陣的冪：,方陣的多項(xiàng)式：,方陣的行列式：基本計(jì)算方法,滿足:,轉(zhuǎn)置矩陣:,把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .,滿足：,對稱矩陣和反對稱矩陣：,3. 逆矩陣,定義：,唯一性： 若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.,判定定理:,n階方陣A可逆,且,推論

2、：,設(shè)A、B為同階方陣，若,則A、B都可逆，且,可逆矩陣的性質(zhì),同階可逆,證明：,逆矩陣求法：,（1）伴隨矩陣法 （2）推論法 （3）初等變換法,分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似,4. 分塊矩陣,5. 初等變換,對換變換、倍乘變換、倍加變換,三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的 初等變換,矩陣的等價(jià)：,如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B, 就稱矩陣A與矩陣B等價(jià)。,初等矩陣： 由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣 稱為初等矩陣.,定理：,左乘變行，右乘變列,解矩陣方程的初等變換法(A、B可逆),矩陣方程,解,伴隨矩陣：,1、定義（項(xiàng)數(shù)、乘積項(xiàng)、符號）,2、結(jié)論：上（

3、下）三角行列式的值=對角線上元素之積,3、性質(zhì),4、特殊關(guān)系式,n階方陣的行列式,5、展開定理,解：,2 設(shè)A、B都是n階方陣，并且AB=0，則,3 設(shè) A、B 都是 n 階方陣，則,e,解,4,解,5,注 當(dāng)A與B可交換時，有下面二項(xiàng)展開式,稱為純量矩陣，它與任何方陣可交換。,設(shè)分塊矩陣 ，其中A是m階方陣，B是,n階方陣，證明 。,設(shè),備用題,證明,對 作ri+krj 類型的變換將其化為下三角行列式，設(shè)為,對 作ci+kcj 類型的變換將其化為下三角行列式，設(shè)為,于是，對 的前m行作與 相同類型的變換ri+krj ，再對后n列 作與 相同類型的變換ci+kcj ，化為下三角行列式,所以,類似地，若,其中A是m階方陣，B是n階方陣，,則,分別計(jì)算下面兩個行列式,解,6,設(shè) A為n方陣, 證明,證明：,(1)如果A=O, 則結(jié)論顯然成立.,得A=O ,矛盾。,(2) 如果 , 由(1)結(jié)論成立。如果 ,如果AO,反證法,7,8,-29-,證明AB=0的充分必要條件,是B的每一列都是齊次線性方程組AX=0的解.,證,9,10,證明：,思考: AAT = O 如何?,-31-,設(shè)方陣B為冪等矩陣，,（即 ，從而對正整數(shù)k， ）,證