第74課-數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項

1、第 74 課數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項基本方法：1. 累加法：類似于 “an +1 - an = f (n) ”的條件時，使用累加法求解；2. 累乘法：類似于 “an+1 = f (n) ”的條件時，使用累乘法求解；an3.構(gòu)造法：形如 an = kan - 1+ d (k,d 為常數(shù) ,k0,k 1,d 0) 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an + c = k (an - 1 + c) ，則n =n+(k-1)c；aka - 14.倒數(shù)法：類似于 “an + =kan ”的條件時，使用倒數(shù)法求解 .1an + k一、典型例題1. 已知數(shù)列 an 滿足 a1 = 2 ， an +1 = 2an - 1 ，求

2、數(shù)列 an 的通項公式 .答案： an = 2n - 1 +1解析：由 an +1 = 2an - 1 ，得 an +1 - 1 = 2( an - 1) ，且 a1 - 1 = 1 ，數(shù)列 an - 1 是首項為 1，公比為2 的等比數(shù)列， an - 1 = 12n- 1 ，即 an = 2n - 1 +1 .2. 已知數(shù)列 an 中， a1 = 2 ， an - an- 1 - 2n = 0 (n2,nN* ) ，求數(shù)列 an 的通項公式 .答案： an = n(n +1)解析：當(dāng) n 3 2 時， an = a1 + (a2 - a1 ) + (a3 - a2 ) + + (an - a

3、n - 1 ) = 2(1+ 2 + 3 + n) = n(n + 1) ，當(dāng) n = 1 時， a1 = 2也滿足上式， an = n(n +1) .二、課堂練習(xí)1. 已知數(shù)列 an 滿足 a1 = 1 ， nan = nan+1 - an (n ? N* ). 求數(shù)列 an 的通項公式 .答案： an = n解析： nan = nan +1 - an ，an+1n +1.anan - 1a2n n - 12= n ，當(dāng)an=當(dāng) n 2 時， an =an - 2a1a1 =1nan- 1n - 1 n - 21n 1 時， a11 也滿足上式，數(shù)列an 的通項公式為 an = n .2.

4、已知數(shù)列 an 中， a1 = 1 ， an +1 = 2(n +a 的通項公式 .n1) n + n +1，求數(shù)列 an答案： an = n2n - n解析：a + =2(n+ 1)an+ n +，an+1=an+，an +1+=an+，且a1+=，數(shù)列? an?是212112+1n 11+1+ynn1nn1n1? n?t首項為 2，公比為2 的等比數(shù)列，an1=2n，即2n.+- nan = nn三、課后作業(yè)1. 在數(shù)列 an 中， a1 = 6 ， an +1 = n +3 ，求 an 的通項公式 .ann答案： an = n(n +1)(n + 2)解析：因為在數(shù)列an 中， a1=

5、6, an+1= n + 3 ，所以當(dāng) n 3 4 時，annanan - 1an- 2a4a3a2a1=n +2n +1n n -1. 3+32+31+36 = nn +1n + 2 ，經(jīng)驗證an =a -a .a an -n -n -n -a -12-3a1234321()()nnn321當(dāng) n = 1,2,3時也成立，因此an= n(n +1)(n + 2) .2. 已知正項數(shù)列 an 滿足a+a-=a2- 2 ( n 3 2) ，且 a6= 11，前 9 項和為81，求數(shù)列 an 的通項公式 .n 1+ n14nan- 1an +1an +1an - 1答案： an = 2n - 1解

6、析：由an +1+an - 1=4an 2-2，可得2+2=n2-2an+1n- 1， n 為正項數(shù)列，n +1+an- 1 =n ，n+1n - 1an - 1an +1an +1an - 1aa4aaaa2a?a1 + 5d = 11=1數(shù)列 an 為等差數(shù)列；由，前 9 項和為?a1， an = 1 + 2(n - 1) = 2 n - 1 .a6=1181，得 ，解得 ?d = 29a1 + 9 8 d = 81?23. 在數(shù)列 an 中， a1=1 ， an +1=1+1an+(n+n.設(shè)bn=an，求數(shù)列bn 的通項公式 .n1) 2n答案： bn= 2n -1解析：由已知有an+an+n， bn +1= bn+2n， bn -bn - 1 =2n -1(n 3 2) ， bn= (bn - bn- 1) + (bn- 1 - bn - 2 )+ +1=n2n +132211=n -1+n-2+ +22+2+1=