最新平面向量復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)

1、24已知ad,be分別是dabc的邊bc,ac上的中線,且ad=a,be=b,則bc可用向量a,b表示為_（答：a+b）；（4）已知dabc中，點(diǎn)d在bc邊上，且cd=2db，cd=rab+sac，則r+s的值是_（答：0）精品文檔平面向量復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量。就是有向線段，為什么？（向量可以平移）如已知a（1,2），b（4,2），則把向量ab按向量a（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；

2、（3）單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與ab共線的單位向量是ab)；|ab|（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：ab，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?)；三點(diǎn)a、b、c共線ab、ac共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。（=（,（如下列命題：

3、1）若a=b，則a=b。2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。3）若abdc，則abcd是平行四邊形。4）若abcd是平行四邊形，則ab=dc。5）若a=bb=c，則a=c。6）若a/b,b/c，則a/c。其中正確的是_（答：（4）（5）（2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如ab，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=(x,y)，稱(x,y)為向量a的坐標(biāo)，a(x,y)叫

4、做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)l1、l2，使a=l1e1l2e2。如（1）若a=(1,1),b=13(1,-1),c=(-1,2)，則c=_（答：a-b）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是a.2213e=(0,0),e=(1,-2)b.e=(-1,2),e=(5,7)c.e=(3,5),e=(6,10)d.e=(2,-3),e=(,-)（答：b）；（3）1212121224334、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)l與向量a的積是一個(gè)

5、向量，記作la，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)la=la,(2)當(dāng)l0時(shí)，la的方向與a的方向相同，當(dāng)l0是q為銳角的必要非充分條件；當(dāng)q為鈍角時(shí)，ab0，且a、不反向，ab0是q為鈍角的必要非充分條件；非零向量a，b夾角q的計(jì)算公式：cosq=abab；|ab|a|b|。如（1）已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，41（如果a與b的夾角為銳角，則l的取值范圍是_（答：l0且l）；2）已知dofq的面積為s，3313pp且offq=1，若s0，用k表示ab；求ab的最k2+11小值，并求此時(shí)a與b的夾角q的大?。ù穑篴b=(k0)；最小值為，q=60）4k26、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：

6、向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)ab=a,bc=b，那么向量ac叫做a與b的和，即a+b=ab+bc=ac；向量的減法：用“三角形法則”設(shè)ab=a,ac=b,那么a-b=ab-ac=ca，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡：ab+bc+cd=_；ab-ad-dc=_；(ab-cd)-(ac-bd)=_（答：ad；cb；0）；（2）若正方形abcd的邊長為1，ab=a,bc=b,ac=c，則|a+b+c|_（答：22）；（3）若o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

7、滿足ob-oc=ob+oc-2oa，則abc的形狀為_（答：直角三角形）；4）若d為dabc的邊bc的中點(diǎn)，dabc所在平面內(nèi)有一點(diǎn)p，滿足pa+bp+cp=0，設(shè)|ap|pd|；=l，則l的值為_（答：2）（5）若點(diǎn)o是abc的外a(2,3),b(1,4),且ab=(sinx,cosy)，x,y(-,)，則x+y=（答：或-）；3）已知作用在點(diǎn)a(1,1)實(shí)數(shù)與向量的積：la=l(x,y)=(lx,ly)。心，且oa+ob+co=0，則abc的內(nèi)角c為_（答：120）；（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則：1122向量的加減法運(yùn)算：ab=(xx，yy)。如（1）已知點(diǎn)a(2,

8、3),b(5,4)，c(7,10)，若12121（ap=ab+lac(lr)，則當(dāng)l_時(shí)，點(diǎn)p在第一、三象限的角平分線上（答：）；2）已知21pppp（22262的三個(gè)力f=(3,4),f=(2,-5),f=(3,1)，則合力f=f+f+f的終點(diǎn)坐標(biāo)是（答：（9,1）1231231111精品文檔精品文檔若a(x,y),b(x,y)，則ab=(x-x,y-y)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐11222121標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)a(2,3),b(-1,5)，且ac=1ab，ad=3ab，則c、d的坐標(biāo)分別是_（答：311(1,),(-7,9)）；3平面向量數(shù)量積：ab=xx+y

9、y。如已知向量a（sinx，cosx）,b（sinx，sinx）,c（1，0）。（1）1212（p3pp11若x，求向量a、c的夾角；2）若x-,，函數(shù)f(x)=lab的最大值為，求l的值（答：(1)150;(2)38422或-2-1）；向量的模：|a|=_（答：13）；x2+y2,a2=|a|2=x2+y2。如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a+3b|,兩點(diǎn)間的距離：若a(xy11,)bx(y22)，則|ab|=(x2-x1)2+(y2-y1)2。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系xoy中，()xoy=60，平面上任一點(diǎn)p關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義中e,e分別為與x軸、y軸同方向的單

10、位向量，則p點(diǎn)斜坐標(biāo)為12標(biāo)為（2，2），求p到o的距離po；（2）求以o為圓心，1xoy中的方程。（答：（1）2；（2）x2+y2+xy-1=0）；（a7、向量的運(yùn)算律：1）交換律：+b=b+a，lma=(lm)a，的：若op=xe+ye，其12(x,y)。（1）若點(diǎn)p的斜坐為半徑的圓在斜坐標(biāo)系ab=ba；(2)結(jié)合律：(l+m)a=la+ma,l(a+b)=la+lb，(a+b)c=ac+bc。如下列命題中：a(b-c)=ab-ac；a(bc)=(ab)c；(a-b)2=|a|2a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c)，(la)b=l(ab)=a(lb)；（3）分配律：-2|

11、a|b|+|b|2；若ab=0，則a=0或b=0；若ab=cb,則a=c；a2=a2；aba2=ba；(ab)2=a2b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向（量不能相除(相約)；2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(bc)(ab)c，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：a/ba=lb(ab)2=(|a|b|)2xy-yx0。如(1)若向量12122（uv（a=(x,1

12、),b=(4,x)，當(dāng)x_時(shí)a與b共線且方向相同（答：）；2）已知a=(1,1),b=(4,x)，=a+2b，=2a+b，且u/v，則x_（答：4）；3）設(shè)pa=(k,12),pb=(4,5),pc=(10,k)，則k_時(shí)，a,b,c共線（答：2或11）9、向量垂直的充要條件：abab=0|a+b|=|a-b|xx+yy=0.特別地1212ab+(abacac)(abab-（ac3)。如(1)已知oa=(-1,2),ob=(3,m)，若oaob，則m=（答：）；2）ac2以原點(diǎn)o和a(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形oab，b=90，則點(diǎn)b的坐標(biāo)是_（答：(1,3)或（3，1）；（3）已知n

13、=(a,b),向量nm，且n=m，則m的坐標(biāo)是_（答：(b,-a)或(-b,a)）10.線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)p是直線pp上異于p、p的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)l，使pp=lpp，則121212l叫做點(diǎn)p分有向線段pp所成的比，p點(diǎn)叫做有向線段pp的以定比為l的定比分點(diǎn)；1212（2）l的符號(hào)與分點(diǎn)p的位置之間的關(guān)系：當(dāng)p點(diǎn)在線段pp上時(shí)l0；當(dāng)p點(diǎn)在線段pp的延長線上1212精品文檔13743l1+l（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)p(x,y)、p(x,y)，p(x,y)分有向線段pp所成的比為l，則，y+lyy=12y+y。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y)，特別

14、地，當(dāng)l1時(shí)，就得到線段pp的中點(diǎn)公式點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比l。如（1）若m（-3，-2），n（6，-1），且mp=-mn，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為7111.平移公式：如果點(diǎn)p(x,y)按向量a=(h,k)平移至p(x,y)，則x=x+h；曲線f(x,y)=0按向量a=(h,k)）；2）函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y=cos2x+1，則a_（答：(-4,1)）精品文檔時(shí)l1；當(dāng)p點(diǎn)在線段pp的延長線上時(shí)-1l0；若點(diǎn)p分有向線段pp所成的比為l，則點(diǎn)p分有2112向線段pp所成的比為。如若點(diǎn)p分ab所成的比為，則a分bp所成的比為_（答：-）21x+lxx=1

15、21112221221+lx+xx=1212y=122(x,y)、(x,y)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分1122-1-3（_（答：(-6,-)）；2）已知a(a,0),b(3,2+a)，直線y=ax與線段ab交于m，且am=2mb，則a等于32_（答：或）ky=y+（平移得曲線f(x-h,y-k)=0.注意：1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了?。∪纾?）按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，則按向量a把點(diǎn)(-7,2)平移到點(diǎn)_（答：（，p（12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖

16、形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；b（2）|a|-|b|ab|a|+|b|，特別地，當(dāng)a、同向或有0|a+b|=|a|+|b|b|a|-|b|=|a-b|；當(dāng)a、反向或有0|a-b|=|a+|b|a-|b|a|ba+(這些和實(shí)數(shù)比較類似).|bbb|a-|b|=|a+|；當(dāng)a、不共線)，則其重心的坐標(biāo)為gx1+x2+x3,y1+y2+y3。如（3）在dabc中，若a(x,y),b(x,y),c(x,y11223333pg=1(pa+pb+pc)g為dabc的重心，特別地pa+pb+pc=0p為dabc的重心；24（若abc的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、-3，4）、（-1，-1），則abc的重心的坐標(biāo)為_（答：(-,)）；333papb=pbpc=pcpap為dabc的垂心；向量l(ab+ac)(l0)所在直線過dabc的內(nèi)心(是bac的角平分線所在直線)；|a