北師大版九年級上冊數(shù)學(xué) 2.5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 教學(xué)課件

1、*2.5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,第二章 一元二次方程,導(dǎo)入新課,講授新課,當(dāng)堂練習(xí),課堂小結(jié),1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點(diǎn)） 2.會利用根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)的問題.（難點(diǎn)）,學(xué)習(xí)目標(biāo),導(dǎo)入新課,復(fù)習(xí)引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,想一想：方程的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c還有其它關(guān)系嗎？,2.如何用判別式 b2 - 4ac 來判斷一元二次方程根的情況？,對一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根. b2 - 4ac = 0 時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根. b2 - 4ac 0 時,方程無實(shí)數(shù)根

2、.,算一算 解下列方程并完成填空：,1,1,2,-1,-1,1,講授新課,猜一猜,（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎？,重要發(fā)現(xiàn) 如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2= -p ,x1 x2=q.,猜一猜,（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)

3、的兩個根分別是x1、 x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,證一證：,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 （韋達(dá)定理）,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個根分別是x1、 x2，那么,滿足上述關(guān)系的前提條件,b2-4ac0.,歸納總結(jié),例1：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積. （1）x2 + 7x + 6 = 0;,解：這里 a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2 - 4ac = 72 4 1 6 = 25 0. 方程有兩個實(shí)數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.,（2）2x2 - 3x -

4、 2 = 0.,解：這里 a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2 - 4ac = （- 3）2 4 2 (-2) = 25 0, 方程有兩個實(shí)數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.,解：設(shè)方程 5x2+kx-6=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7. 答：方程的另一個根是 ，k=-7.,已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.

5、,解：設(shè)方程 3x2-18x+m=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15. 答：方程的另一個根是5，m=15.,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.,解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：,設(shè)x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則: （1）x1+x2= , (2)x1x2= , (3) , (4) .,4,1,14,12,例4：設(shè)x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的兩個實(shí)數(shù)根，且x12 +x22 =4，求k的值.,解：由方程有兩個實(shí)數(shù)根，得 =

6、 4（k - 1）2 - 4k2 0 即 -8k + 4 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 經(jīng)檢驗(yàn)， k2 = 4 不合題意，舍去.,總結(jié)常見的求值:,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.,1.不解方程，求方程兩根的和與兩根的積： （1）x2 +

7、3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.,解：(1) 這里 a = 1 , b = 3 , c = -1. = b2 - 4ac = 32 - 4 1 (-1) = 13 0 有實(shí)數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 . (2) 這里 a = 2 , b = -4 , c = 1. = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 1 2 = 8 0 有實(shí)數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .,當(dāng)堂練習(xí),2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一

8、個根是1，求它的另一個根及m的值.,解：將x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 設(shè)另一個根為x1,則： 1 x1 = x1 =,3.設(shè)x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的兩個根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2),解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2）,4. 當(dāng)k為何值時，方程2x2-kx+1=0的兩根差為1。,解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1x2)，則x1-x2=1, (x1-x2)2=(x1+x2)2-

9、4x1x2=1,拓展提升,由根與系數(shù)的關(guān)系，得,5.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. （2）若方程兩根x1,x2滿足x1-x2= 1 求m的值.,解：(1)方程有實(shí)數(shù)根,m的取值范圍為m0,(2)方程有實(shí)數(shù)根x1,x2, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,解得m=8.,經(jīng)檢驗(yàn)m=8是原方程的解,課堂小結(jié),根與系數(shù)的關(guān)系 （韋達(dá)定理）,內(nèi) 容,如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個根分別是x1、 x2，那么,應(yīng) 用,常見變形,學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是： 按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。 遵守課堂禮儀，與老師問候。 上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。 尊敬老師，服從任課老師管理。 不做與課堂教學(xué)無關(guān)