初一數(shù)學(xué)寒假專題——分情況討論

1、初一數(shù)學(xué)初一數(shù)學(xué)寒假專題寒假專題分情況討論分情況討論 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 寒假專題分情況討論 二、教學(xué)要求 1、鞏固有理數(shù)的幾種分類方法，加法及乘法法則，深入理解相反數(shù)、乘方、 絕對值的概念，知道幾何圖形的分類及角的分類方法； 2、樹立分類意識，能夠從問題環(huán)境中抓住分類的對象，并能根據(jù)對象的特點(diǎn) 找出科學(xué)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)； 3、能夠在實(shí)際背景中理解各數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，合理分情況討論；發(fā)展應(yīng) 用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力，進(jìn)一步加深對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解；認(rèn)識 數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。 三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)： 1、鞏固基本概念與法則； 2、從問題情景中抓住分類的對象并找出

2、正確的分類標(biāo)準(zhǔn)； 3、能夠逐類討論并概括歸納。 難點(diǎn)： 1、確定分類對象及標(biāo)準(zhǔn) 2、正確、全面地討論、歸納 四、課堂教學(xué) （一）知識要點(diǎn) 1、基本概念的討論 在本學(xué)期的學(xué)習(xí)中，我們接觸了許多的新概念及概念之間的關(guān)系，如整式 分為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、等式分為方程、恒等式與矛盾式，幾何圖形分為平面圖 形與立體圖形，角按角度分為零角、銳角、直角、鈍角、平角、優(yōu)角、周角。 以上這些都是對一個較大的概念按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，而我們往往通過對其 中每一小類的討論，掌握其性質(zhì)，從而對大概念這一整體進(jìn)行把握。我們所接 觸的事物往往不是單一的，一成不變的，因此需要我們能夠分清它的不同情況， 逐一討論，通過概括總結(jié)解

3、決問題。 （1）有理數(shù)的分類 有理數(shù)按不同的目的標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類方法，我們常見的兩種是： 注意：確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，按照標(biāo)準(zhǔn)分類要做到既不重復(fù)又不遺漏。我 們對有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值及倒數(shù)的討論往往建立在有理數(shù)分類的基礎(chǔ)上。 （2）相反數(shù)、絕對值、倒數(shù) （a）相反數(shù) 數(shù)的相反數(shù)表示為，不一定是負(fù)數(shù)。對于的符號的確定需要分 類討論。 （b）絕對值 數(shù)的絕對值表示為，對于的化簡要有具體分類討論的思想，把可能 出現(xiàn)的情況都想到，做到解題準(zhǔn)確。一般是對絕對值里面的式子按正數(shù)、負(fù)數(shù)、 0 進(jìn)行分類，確定為哪一類，再根據(jù)其性質(zhì)討論。 如： （c）倒數(shù) 數(shù)的倒數(shù)表示為，與的符號相同，即 對于一個數(shù)的倒數(shù)大小

4、的討論有四種情況： 時， 時， 時， 時， 2、加法與乘法的法則 加法法則：（1）同號的兩個數(shù)相加，符號不變，并把兩個加數(shù)的絕對值相 加。（2）異號的兩個數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值 減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為 0。（3）0 和任何一個有理數(shù)相 加，仍得這個有理數(shù)。 乘法法則：同號兩個數(shù)相乘得正，異號兩個數(shù)相乘得負(fù)，并把絕對值相乘， 任何有理數(shù)和 0 相乘都得 0。 加法與乘法法則都要對進(jìn)行運(yùn)算的兩個數(shù)分類討論，對每類的運(yùn)算結(jié)果進(jìn) 行規(guī)定，進(jìn)行計(jì)算時首先要確定進(jìn)行運(yùn)算的兩個數(shù)屬于哪一類，特別地，除法 與減法可以轉(zhuǎn)化為乘法和加法進(jìn)行。 在2、3、4、5 這四個

5、數(shù)中求任何兩個數(shù)相乘，所得的積中最大的。 共有23、24、2（5）、34、3（5）、4（5）六 種情況，積最大的值為正數(shù)，因此必為同號相乘，只有2（5）、34 兩 種情況，可知最大的積是 3412。 通過分析幾種情況利用法則可準(zhǔn)確判斷結(jié)果，而不出現(xiàn)漏掉最大值的現(xiàn)象。 3、比較大小 對于一些沒有具體數(shù)值而比較大小的問題，需要分情況討論其結(jié)果。如 與比較， 時， 時， 時， ，則與比較。、都有三種情況：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，分別討論。 時有三種可能，此時 時有三種可能，此時 時不可能，因?yàn)樽钚〉慕^對值為 0。 綜合 ，當(dāng)時，；當(dāng)時。 4、 有兩種情況， 如化簡 。 為偶數(shù)，為奇數(shù)，如 另外，由于為正偶數(shù)

6、時， 則可知，互為相反數(shù)的偶數(shù)次冪相等，則偶數(shù)次冪為一個正數(shù)的數(shù)有兩個， 如，則。由乘法法則可知，任何數(shù)的偶次冪都為正數(shù)。 5、應(yīng)用題 在現(xiàn)實(shí)生活中存在一些問題需要分不同情況討論，總結(jié)結(jié)論。 如某出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是 4 千米以內(nèi)為 10 元，超過 4 千米不足 20 千米時， 每千米 1.2 元；超過 20 千米后，每千米 1.8 元。甲乘坐出租車走了 千米，則 應(yīng)付多少車費(fèi)？ 其中沒有給出 在哪一范圍內(nèi)。這段路有三種情況。因此，要對 分情況討 論。分、和三種情況討論。 時，收費(fèi) 10 元； 在 420 千米時，收費(fèi)（101.2（ 4） 元；時，收費(fèi)（101.2161.8（ 20）元。 6、幾何

7、方面 在幾何中分情況討論的問題也相當(dāng)普遍，同學(xué)們往往看不到分類的必要性。 如過平面上三點(diǎn)，兩兩畫一條直線，可有幾條直線。 分兩種情況：三點(diǎn)在一條直線上，則可畫一條直線；三點(diǎn)不在一條直線上， 則可以畫三條直線。 一個鈍角減去一個銳角是什么角，有三種情況。 鈍角，如 17020150 直角，1001090 銳角，1206060 【典型例題典型例題】 例 1：在直線 ab 上取點(diǎn) c，已知 ab8，bc2，求 ac。 分析：分析：作圖是其中的關(guān)鍵。c 點(diǎn)在直線 ab 上，但是 c 點(diǎn)是否取在 a、b 之 間沒有確定，要分情況討論。 情況 1：c 點(diǎn)在 ab 之間，可知，acabbc826（）。 情況

8、 2：c 點(diǎn)在 ab 之外，可知 acabbc8210（）。 例 2：已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，求 的值。 分析：分析：，則，分兩種情況： 解：解：（1）當(dāng)時，原式0121 （2）當(dāng)時，原式0123 例 3：表示有理數(shù)，那么一定小于嗎？ 分析：分析：是有理數(shù)，有三種可能：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)。對三種情況分別討論。 解：解：時， 時， 時，。 例 4：比較與的大小。 分析：分析：與都為正數(shù)，由加法法則，可知比和都大?；?，要判斷符號。 由加法法則可知，有 5 種情況：同號；異號且負(fù)數(shù)絕對值較大； 異號且正數(shù)絕對值較大；互為相反數(shù)；中一數(shù)為 0。 分別討論， 情況 情況 情況 情況bc。則以上四個數(shù)據(jù)

9、中任取三個也應(yīng)滿足這 個關(guān)系。 解：解：取長度分別為 5、6、11的線段，5611 不符合規(guī)定； 取長度分別為 5、6、16的線段，561116 1116276 1662211 符合規(guī)定。 則可知能組成一個三角形。 小結(jié)： （一）能夠確定樹立分類的意識，分類時統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)； （二）按分類標(biāo)準(zhǔn)做到既不重復(fù)又不遺漏； （三）逐步討論完全； （四）善于總結(jié)概括結(jié)論。 【模擬試題模擬試題】（答題時間：30 分鐘） 一、填空一、填空 1、將下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號內(nèi)。 正數(shù)集合 負(fù)整數(shù)集合 整數(shù)集合 有理數(shù)集合 2、已知，則的最大值為 。 3、若，則 （填、或） 4、，則 0（填或）。 5、若，且，那么

10、0（填或）。 6、若，則 （填或） 7、化簡 8、，則 0。 9、三條直線兩兩相交有 個交點(diǎn)。 10、的倒數(shù)是 ，相反數(shù)是 絕對值是 。 二、選擇二、選擇 1、兩個數(shù)的積是負(fù)數(shù)，則（ ） a. 兩個數(shù)都是負(fù)數(shù) b. 一個數(shù)是負(fù)數(shù)，一個數(shù)是正數(shù) c. 至少有一個數(shù)是負(fù)數(shù) d. a 或 b 2、如果有理數(shù)的倒數(shù)的絕對值分別是 3 和 2，那么的值是（ ） a. 是 b. c. 是 d. 或 3、兩個數(shù)的積是零，下列判斷中正確的是（ ） a. 兩個數(shù)都是零 b. 其中只有一個數(shù)是零 c. 至少有一個數(shù)是零 d. 一個數(shù)不小于零，另一個數(shù)不大于零 4、若為正整數(shù)，那么的結(jié)果是（ ） a. 0 b. c. d. 或 三、化簡三、化簡 1、 2、 初一數(shù)學(xué)初一數(shù)學(xué)寒假專題寒假專題分情況討論分