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1、導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問題有答案導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問題有答案 編輯整理:尊敬的讀者朋友們:這里是精品文檔編輯中心,本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的,發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì),但是難免會(huì)有疏漏的地方,但是任然希望(導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問題有答案)的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋,這將是我們進(jìn)步的源泉,前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改,如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱,最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步,以下為導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問題有答案的全部?jī)?nèi)容。導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問題 知識(shí)梳理一、定義:、形如的函數(shù),稱為“三次函數(shù)三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。二、三

2、次函數(shù)圖象與性質(zhì)1。三次函數(shù)圖象a0a0000單調(diào)性在上,是增函數(shù);在上,是減函數(shù);在r上是增函數(shù)在上,是增函數(shù);在上,是減函數(shù);在r上是減函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20203、三次函數(shù)最值問題。 函數(shù)若,且,則:; 。4、三次方程根的問題。(三次函數(shù)的零點(diǎn)問題)三次函數(shù)(1) 若,則恰有一個(gè)實(shí)根;(2) 若,且,則恰有一個(gè)實(shí)根;(3) 若,且,則有兩個(gè)不相等的實(shí)根;(4) 若,且,則有三個(gè)不相等的實(shí)根。5、對(duì)稱中心。三次函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且對(duì)稱中心為點(diǎn),此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)。.c典型考題1。已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則( a )a 。b(-,0) b。b(

3、0,1)c .b(1,2) d。 b(2,+)2。如圖,函數(shù)yf(x)的圖象如下,則函數(shù)f(x)的解析式可以為(a)f(x)(xa)2(bx)f(x)(xa)2(xb)f(x)(xa)2(xb)f(x)(xb)2(xa)3。設(shè)b,函數(shù)的圖像可能是( c )4已知函數(shù),當(dāng)時(shí),只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)有3個(gè)相異實(shí)根,現(xiàn)給出下列4個(gè)命題: 函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn); 函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn);方程的根小于的任意實(shí)根; 和有一個(gè)相同的實(shí)根其中正確命題的個(gè)數(shù)是( c )。a1b2c3d45、函數(shù)在閉區(qū)間3,0上的最大值、最小值分別是( c )a。 1,1 b. 1,17c. 3,17 d。 9,196。函數(shù)f(x)=x3/3

4、+ax2/2+ax-2 (a)在(-,+)上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-.a0,47.已知函數(shù)f(x)x/3(m)x(mm)x在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解:yf(x)在上是單調(diào)增函數(shù)f(x)x(m)xmm在上恒成立,= =mm得m8.已知曲線yx3/34/3,求曲線在點(diǎn)(,)處的切線方程解:f(x)x2,f(),曲線在點(diǎn)(,)處的切線斜率為kf()代入直線方程的斜截式,得切線方程為:y(x),即yx變式:已知曲線yx3/34/3,則曲線過點(diǎn)(,)的切線方程-.錯(cuò)解:依上題,直接填上答案xy錯(cuò)因剖析:如下圖所示,在曲線上的點(diǎn)a處的切線與該曲線還有一個(gè)交點(diǎn)。這與圓的切線是有不

5、同的。 點(diǎn)(,)在曲線yx3/34/3上,它可以是切點(diǎn)也可以不是.正確解法:設(shè)過點(diǎn)(,)的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為(x0,x03/34/3),斜率為k=x02,切線方程為y -(x03/34/3 )=x02(x-x0)即y=x02x- 2x03/3+4/3 點(diǎn)(2,4)的坐標(biāo)代入,得4=2x02- 2x03/3+ 4/3, 2 x036 x02+8=0 , x03-3x02+4=0, 又x03+1(3x023)=0(x0+1)(x02-x0+1)-3(x01)(x0+1)=0(x0+1)(x02-4x0+4)=0 x0=-1或x0=2切線的方程為4x4y=0或xy+2=0點(diǎn)評(píng):一個(gè)是“在點(diǎn)(2,4)”

6、、一個(gè)是“過點(diǎn)(2,4)”,一字之差所得結(jié)果截然不同。9、已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;求在上的最值.解:令 、的變化情況如下表1(1,1)100極大值極小值的單調(diào)遞增區(qū)間是和 的單調(diào)遞減區(qū)間是 當(dāng)時(shí),有極大值 當(dāng)時(shí),有極小值, 在上只有一個(gè)極值點(diǎn)在上的最小值為2,最大值為18變式一、已知函數(shù),其他不變解: 在單調(diào)遞增,沒有極值 在上的最小值為,最大值為變式二、已知函數(shù);其他不變 解: 沒有實(shí)數(shù)根 在上恒成立在上單調(diào)遞增,沒有極值 在上的最小值為,最大值為變式三、已知函數(shù),,實(shí)數(shù)為何值時(shí),函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)?1oyx221 解:由例1畫出函數(shù)的大致圖象如圖,觀察圖象,可得

7、當(dāng)或時(shí),函數(shù)與 只有一個(gè)交點(diǎn)。 當(dāng)或時(shí),函數(shù)與 有二個(gè)交點(diǎn)。 當(dāng)時(shí),函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)。變式四、為何值時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)?兩個(gè)零點(diǎn)?三個(gè)零點(diǎn)?解:令 、的變化情況如下表1(1,1)100極大值極小值的單調(diào)遞增區(qū)間是和 的單調(diào)遞減區(qū)間是 當(dāng)時(shí),有極大值 當(dāng)時(shí),有極小值要使有一個(gè)零點(diǎn),需且只需,解得要使有二個(gè)零點(diǎn),需且只需,解得要使有三個(gè)零點(diǎn),需且只需,解得變式五、已知函數(shù),如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線,求的取值范圍解:設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程 即 切線過點(diǎn)a 即 過點(diǎn)可作的三條切線 方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根設(shè),則當(dāng)變化時(shí),、的變化情況如下表000極大值極小值由單調(diào)性知:若極大值或極小值,方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

8、;若或,方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,綜上,要使方程有三個(gè)相異的實(shí)根,須且只須,所以,所求的的取值范圍是。變式六、已知函數(shù) ,若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍。解: 若,則 在上恒成立 在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)。若,則 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,不妨設(shè)為、且, 則 當(dāng)變化時(shí),、的取值變化情況如下表00極大值極小值 同理 令,解得ayx3x2x1y=f(x) 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)的大致圖象如圖所示:綜上所述,的取值范圍是綜 合 練 習(xí) 題oyx121、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),;如圖所示, 求:的值;、的值.(2006北京

9、)解:由數(shù)形結(jié)合可知 當(dāng)時(shí),; 在上遞減 當(dāng)或,, 在和上遞增 當(dāng)時(shí),有極大值解法一、 由已知,得 解得解法二、由數(shù)形結(jié)合可設(shè) 又 由 ,2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍。(2004全國(guó)卷)解: 令解得,當(dāng)即時(shí),在上為增函數(shù),不合題意當(dāng)即時(shí),函數(shù)在上為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù),在上為增函數(shù),依題意應(yīng)有: 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 所以,解得 綜上,的取值范圍是3、已知函數(shù)在處取得極值,討論和是函數(shù)的極大值還是極小值;過點(diǎn)作曲線的切線,求此切線方程。(2004天津)解:,依題意有 即 解得 令 得 , 若,則 的單調(diào)遞增區(qū)間為和 若,則 的單調(diào)遞減區(qū)間為 所以,是極大值,是極小值

10、曲線方程為,點(diǎn)不在曲線上, 設(shè)切點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 因,故切線方程為 點(diǎn)在切線上 解得 切點(diǎn)為,切線方程為變式:若第小題改為,其他不變。提示:仿照上題中的解法,有 或 所求的切線方程為或3、已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值。 求、的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍。(2006江西)解:,依題意,得 ,解得 變化時(shí),、的變化情況如下表100極大值極小值 所以的遞增區(qū)間為與,遞減區(qū)間為, 當(dāng)時(shí),為極大值,而 為最大值 要使恒成立 只須 解得 或思考:若變?yōu)?,的取值范圍怎樣?、已知函數(shù)是上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),取得極值,求的單調(diào)區(qū)間和極大值;證明:對(duì)任意,不等式恒成立。解:由奇函數(shù)的定義,

11、應(yīng)有, 即 注意:可用 因此, 由條件為的極值,得 即 解得, 當(dāng)時(shí),故在單調(diào)區(qū)間上為增函數(shù) 當(dāng)時(shí),故在單調(diào)區(qū)間上為減函數(shù) 當(dāng)時(shí),故在單調(diào)區(qū)間上為增函數(shù) 所以在處取得極大值,極大值為證明:由知,是減函數(shù) 且在上的最大值為 在上的最小值為 所以對(duì)任意恒有5、已知,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切.求與的關(guān)系式(用表示);設(shè)函數(shù)在內(nèi)有極值點(diǎn),求的取值范圍.(2004湖北)解:依題意,令,得 由,得 令 即 則若,則有一實(shí)根上,且變化時(shí),的變化如下0 于是不是函數(shù)的極值點(diǎn)若,則有兩個(gè)不等的實(shí)根, 變化時(shí),的變化如下00 由此,是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn)。 綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有極值點(diǎn) 由

12、,得 或 或 解得 或 故所求的取值范圍是2(2010江西卷)設(shè)函數(shù).(1)若的兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,求實(shí)數(shù)的值;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得是上的單調(diào)函數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解析,由得,當(dāng)時(shí),取極大值0,當(dāng)時(shí)取極小值且極小值為負(fù)。故選c?;虍?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),選c解析(1)由已知有,從而,所以;(2)由,所以不存在實(shí)數(shù),使得是上的單調(diào)函數(shù).(06福建文21)已知是二次函數(shù),不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。(i)求的解析式;(ii)是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.解析本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本知識(shí),考查

13、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力.滿分12分。(i)解:是二次函數(shù),且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知,得 (ii)方程等價(jià)于方程設(shè)則當(dāng)時(shí),是減函數(shù);當(dāng)時(shí),是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根,所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.2(2010北京卷) 設(shè)定函數(shù),且方程的兩個(gè)根分別為1,4。()當(dāng)a=3且曲線過原點(diǎn)時(shí),求的解析式;()若在無極值點(diǎn),求a的取值范圍.3(2009江西卷)設(shè)函數(shù) (1)對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒成立,求的最大值;(2)若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍3解:(1

14、) , 因?yàn)? 即 恒成立, 所以 , 得,即的最大值為 (2) 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ; 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ; w.w.w.k.s.5.u.c.o。m 當(dāng)時(shí),取極小值 ; 故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根。 解得 或。4已知函數(shù),()討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求的取值范圍解:(1)求導(dǎo):當(dāng)時(shí),,在上遞增當(dāng),求得兩根為即在遞增,遞減,遞增(2),且解得:例1、(全國(guó)卷文21)已知函數(shù)f(x)=x-3a+3x+1。()設(shè)a=2,求f(x)的單調(diào)期間;()設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍。例1、解:式無解,式的解為, 因此的取值范圍是

15、.例2、已知函數(shù)滿足(其中為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),為常數(shù))(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若方程有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,求常數(shù);(3)在(2)的條件下,若,求函數(shù)的圖象與軸圍成的封閉圖形的面積例2、解:(1)由,得取,得,解之,得, 從而,列表如下:100有極大值有極小值的單調(diào)遞增區(qū)間是和;的單調(diào)遞減區(qū)間是(2)由(1)知,;方程有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于或 8分常數(shù)或 (3)由(2)知,或而,所以令,得,所求封閉圖形的面積14分例3、(恒成立問題)已知函數(shù)有極值()求的取值范圍;()若在處取得極值,且當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍例3、解:(), 要使有極值,則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解, 從而, ()在處

16、取得極值, , ,,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減時(shí),在處取得最大值, 時(shí),恒成立,,即,或,即的取值范圍是例4、(信息遷移題)對(duì)于三次函數(shù)。定義:(1)的導(dǎo)數(shù)(也叫一階導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”;定義:(2)設(shè)為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù),都有恒成立,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。(1)己知, 求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo);(2)檢驗(yàn)(1)中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對(duì)稱;(3)對(duì)于任意的三次函數(shù)寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)的結(jié)論(不必證明)。例4、解:(1)依題意,得: ,。 由 ,即.,又 , 的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是。 (2)由(1)知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是

17、. 而= =,由定義(2)知:關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。 (3)一般地,三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”是,它就是的對(duì)稱中心。 或者:任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn); 任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心;任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù) .例5、(與線性規(guī)劃的交匯問題)設(shè)函數(shù), 其中,是的導(dǎo)函數(shù)。(1)若,求函數(shù)的解析式;(2)若,函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為滿足. 設(shè), 試求實(shí)數(shù)的取值范圍.例5、解: ()據(jù)題意,由知,是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸又, 故是方程的兩根.設(shè),將代入得比較系數(shù)得:故為所求.另解:,據(jù)題意得 解得故為所求.()據(jù)題意,,則又是方程的兩根,且則則點(diǎn)的可行區(qū)域如圖的幾何意義為點(diǎn)p與點(diǎn)的距離的平方。觀察圖形知點(diǎn),a到直線的

18、距離的平方為的最小值故的取值范圍是例3. (天津)已知函數(shù)在x1處取得極值。(i)討論f(1)和f(1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;(ii)過點(diǎn)a(0,16)作曲線yf(x)的切線,求此切線方程。解:(i)因?yàn)?所以導(dǎo)方程.因?yàn)樵趚1處取得極值,所以,是導(dǎo)方程的兩根,所以解得 a1,b0所以 由推論得是f(x)的極大值;f(1)2是f(x)的極小值。(ii)曲線方程為,點(diǎn)a(0,16)不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為m因?yàn)?,故切線方程為點(diǎn)a(0,16)在切線上,所以解得,切點(diǎn)為m(2,2)故所求切線方程為例4. (湖北)已知,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切。(i)求b與c的關(guān)系式(用c表示b);(ii)

19、設(shè)函數(shù)在()內(nèi)有極值點(diǎn),求c的取值范圍.解:(i)依題意,得,所以因?yàn)樗裕╥i)因?yàn)樗詅(x)的導(dǎo)方程為:依性質(zhì)1的推論得:所以 ,所以 或解之得故所求c的范圍是(0,)()。鞏固練習(xí)1、設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則yf(x)的圖象最有可能是()2、函數(shù)在閉區(qū)間3,0上的最大值、最小值分別是( c )a。 1,1 b. 1,17c. 3,17 d。 9,193、(江西卷文17)設(shè)函數(shù).(1)若的兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,求實(shí)數(shù)的值;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得是上的單調(diào)函數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,說明理由??疾楹瘮?shù)利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)極值單調(diào)性等知識(shí)4、設(shè)定函數(shù),且方程的兩個(gè)根分別為

20、1,4。()當(dāng)a=3且曲線過原點(diǎn)時(shí),求的解析式;()若在無極值點(diǎn),求a的取值范圍。5、(天津卷文20)已知函數(shù)f(x)=,其中a0. ()若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程;()若在區(qū)間上,f(x)0恒成立,求a的取值范圍。6、(重慶卷文19)已知函數(shù) (其中常數(shù)a,br),是奇函數(shù).()求的表達(dá)式;()討論的單調(diào)性,并求在區(qū)間上的最大值與最小值。7、已知在函數(shù)的圖象上以n(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為 (1)求m、n的值; (2)是否存在最小的正整數(shù)k,使不等式對(duì)于恒成立?求出最小的正整數(shù)k,若不存在說明理由;20070329 (3)求證:8、(2010浙江文數(shù))(本題滿分15分)已知函數(shù)(ab)b)。(i)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求曲線在點(diǎn)(2,)處的切線方程。(ii)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn),是的一個(gè)零點(diǎn),且,9、(福建文22)已知函數(shù)f(x)=的圖像在點(diǎn)p(0,f(0))處的切線方程為y=3x-2()求實(shí)數(shù)a,b的值;()設(shè)g(x)=f(x)+是上的增函數(shù).ks5u.c#o (i)求

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