函數(shù)的值域與最值1教學(xué)案例

1、饒平二中2007屆高三理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)（集合與函數(shù)之四）(四)函數(shù)的值域與最值（一） 知識歸納1 函數(shù)，其中集合A是函數(shù)的定義域。與的值對應(yīng)的y的值稱函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱函數(shù)的值域.2最大值定義：設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數(shù)的最大值。你能說出最小值定義嗎？3一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。且值域為。4.請你說出常見函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正、余弦函數(shù)、正、余切函數(shù)的值域。（二） 學(xué)習(xí)要點求函數(shù)的值域沒有通性解法，只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的

2、解法，下面給出常見方法。1. 分析觀察法有的函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域。2. 反函數(shù)法、分離常數(shù)法對于形如的值域，用函數(shù)和它的反函數(shù)定義域和值域關(guān)系，通過求反函數(shù)（僅求的表達式）的定義域從而得到原函數(shù)的值域。3. 換元法 （1）代數(shù)換元對形如的函數(shù)常設(shè)來求值域；（2）三角換元法對形如的函數(shù)常用“三角換元”，如令來求值域。注意:(1)新元的取值范圍，(2)三角換元法中，角的取值范圍要盡量小。4. 配方法二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)常用此方法來還求解，但在轉(zhuǎn)化的過程中要注意等價性，特別是不能改變定義域。5.判別式法 對形如的函數(shù)常轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方

3、程，由于方程有實根，即從而求得y的范圍，即值域。注意：定義域為R，要對方程的二次項系數(shù)進行討論。6. 利用函數(shù)的有界性 對形如，由于正余弦函數(shù)都是有界函數(shù)，值域為-1，1，利用這個性質(zhì)可求得其值域。7. 基本不等式法對形如（或可轉(zhuǎn)化為），可利用求得最值。注意“一正、二定、三等” 8利用函數(shù)單調(diào)性求值域 對形如（或可轉(zhuǎn)化為），考慮函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，可求得值域。9數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義比較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)形結(jié)合法。10導(dǎo)數(shù)法（三） 例題講評例1求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4） 例2已知，求的最值。例3求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）例4.

4、如何求函數(shù)的最值？呢？例5求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4） （四）練習(xí)題一、 選擇題題號12345678910111213答案1. 已知函數(shù)=，則（）的值是A.9 B. C. -9 D. -2. 若集合,，則等于A0 B CS DT3. 下列函數(shù)中值域是（0，+）的函數(shù)是A. B. C. D. 4. 定義在R上的函數(shù)的值域為，b,則的值域為A.,b B.+1,b+1 C.1,b1 D.無法確定5. 函數(shù)y =的定義域是(-，1)2,5，則其值域是 A.(-,0),2 B.(-,2) C.(-,)2,+ D.(0,+)6. 函數(shù)的值域為R，則實數(shù)k的取值范圍是AB或 CD或7. 已知函數(shù)

5、的最小值是A2 B CD8. 函數(shù)A.最小值為0，最大值為4 B.最小值為-4，最大值為0C.最小值為-4，最大值為4 D.沒有最大值，也沒有最小值9. 已知的最大值為2，的最大值為，則的取值范圍是A B C D以上三種均有可能10.已知、b的等差中項是的最小值是 A3B4C5D611. 已知,則(=A15 B1 C3 D3012. 設(shè)函數(shù)，則的值為A.B. b C.、b中較小的數(shù) D.、b中較大的數(shù)13函數(shù)的最小值為A190 B171 C90 D45二、填空題：14. 定義在R上的函數(shù)滿足關(guān)系式:,則 的值等于_15. 已知函數(shù)對一切實數(shù),均滿足，且則 16. 設(shè)（0）的值域為-1，4，則,

6、b的值為_17 函數(shù) 的最大值是 18已知a,b為常數(shù)，若則 三、解答題：19. 求下列函數(shù)的值域（1）； （2）； （3）20 已知函數(shù)的值域為1，3，求實數(shù)b、c的值。21設(shè)函數(shù)，（1）若定義域為0，3，求的值域；（2）若定義域為時，的值域為，求的值.22. 已知函數(shù)： （1）證明：對定義域內(nèi)的所有都成立. （2）當(dāng)?shù)亩x域為 時，求證：的值域為； *（3）設(shè)函數(shù), 求的最小值 .（四）函數(shù)的值域與最值參考答案（三）例題講評例1例2，最大值18；最小值例3；例4，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；即時，y的最小值是2。沒有最大值。另外方法同上，即時，y的最大值是。沒有最小值。說明：本題不能用判別式法。因為

7、。若用判別式法得，當(dāng)時，求得，不合。例5；（以上各小題考慮了各種方法的順序，有的方法給出2個小題，有的題目可以多種方法導(dǎo)數(shù)法暫不考慮。）（四）練習(xí)題一、 選擇題題號12345678910111213答案BCBAABDCCCACC9.提示：令，實際是將原函數(shù)圖象的點的橫坐標(biāo)縮短變?yōu)樵瓉淼亩种?，縱坐標(biāo)不變。故最值不變。10. 提示：由，二、填空題14.7； 15.4012； 16. =4, b=3； 17. 4； 18.2。15.提示：用賦值法或令 三、解答題19 解析先確定函數(shù)的定義域，正確選擇方法，并作出相應(yīng)的數(shù)式變換.（1）函數(shù)的定義域為，令，即或，函數(shù)的值域為；（注）這里運用了不等式性

8、質(zhì)：；解法二原函數(shù)等價于，當(dāng)時，得4=0，矛盾，解得函數(shù)的值域為.（2）函數(shù)的定義域為.作換元，令，上為增函數(shù)，函數(shù)的值域為；解法二令，原函數(shù)，在定義域內(nèi)都是減函數(shù)，原函數(shù)在定義域是減函數(shù)，而當(dāng)時，函數(shù)的值域為.（3）函數(shù)的定義域為，由二次函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)的值域為0，1；解法二令， ，即函數(shù)的值域為0，120由y= 得 (2y)x2+bx+cy=0,(*)當(dāng)y20,由xR,有=b24(2y)(cy)0即4y24(2+c)y+8cb20，由已知得2+c=1+3且=13b=2,c=2又b0,b=2,c=2, 而y2=0,b=2,c=2代入（*）式得x=0b=2,c=2為所求21解：，對稱軸為， （1），的值域為，即； （2）對稱軸，區(qū)間的中點為，當(dāng)時，不合）；當(dāng)時，不合）；綜上，.22.（1）證明