微點深化解析幾何中的

1、微點深化解析幾何中的“隱形圓”問題高考中圓的方程是C 級知識點，其重要性不言而喻.但在一些題目中，條件沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程 )，從而最終可以利用圓的知識求解，我們稱此類問題為“隱形圓”問題.【例 1】 (1)(2018 南通、泰州調(diào)研 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點 A( 4，0)， B(0，4)，從直線 AB 上一點 P 向圓 x2y2 4 引兩條切線 PC， PD，切點分別為 C，D.設(shè)線段 CD 的中點為 M，則線段 AM 長的最大值為 _.(2)已知實數(shù)a， ，c滿足2 b2c2，c0，那么b 的取值范圍為 _.baa

2、 2c解析(1)法一 (幾何法 )因為直線 AB 的方程為 yx4，所以可設(shè) P(a，a4), 設(shè)C(x1 ，y1 )， D(x2，y2)，所以 PC 方程為 x1xy1y4，PD：x2xy2y4，將 P(a，ax1（ a4）y14，a4)分別代入PC，PD方程，則直線CD的方程為axax2（ a4）y24，(a 4)y 4，即 a(x y)44y，所以直線 CD 過定點 N(1，1)，又因為 OMCD，所以點 M 在以 ON 為直徑的圓上 (除去原點 )，又因為以 ON 為直徑的圓的方程為x121 2141 21 22 32.2 y2 ，所以 AM 的最大值為2222法二 (參數(shù)法 )因為直

3、線 AB 的方程為 yx4，所以可設(shè) P(a，a4)，同法一可44y知直線 CD 的方程為 ax(a4)y4，即 a(xy) 4 4y，得 a.又因為 O，xyP，M 三點共線，所以 ay(a4)x0，得 a 4x4 4y 4x.因為 axy，所以yxyx1 21 21點 M的軌跡方程為x2 y22(除去原點 )，所以 AM的最大值為1 21 2242 223 2.22bb1，設(shè) a x，by，則 x2y2 1，bc y(2)由已知得 a ，cccca 2cax2c2問題就轉(zhuǎn)化為求單位圓上的點與點(2，0)連線斜率的取值范圍 .設(shè)直線的方程為 y|2k|3 k(x2)，即 kxy2k0，由 d

4、r，得221，解得 k 3 ，所k （ 1）以所求斜率的取值范圍為 3，3 ，即b的取值范圍為 3，3 .33a2c33答案 (1)3 2 (2)333 ， 3【例 2】 (1)(2018 南京、鹽城一模 )在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，若直線 y k(x上存在一點，圓223 3)(y1)1 上存在一點 Q，滿足 OP3OQ，則實數(shù) kPx的最小值為 _.(2)(2018 南通一調(diào) )在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點 A(1，0)，B(4，0).若直線 xy m0 上存在點 P 使得 PA1，則實數(shù)的取值范圍是2PBm_.xy22解析 (1)設(shè)點 P(x，y)，由 OP可得，又點Q在圓x(y1)1

5、上，33OQQ3 .x 2 y2可得 3 311，即 x2(y3)29，所以點 P 既在圓 x2(y3)29 上，又在直線y k(x 3 3) 上，即直線與圓有交點，所以圓心到直線距離d|33 3k|3，解得 3k0.1 k21221222(2)設(shè) P(x， y)，由 PA 2PB，得（x1） y2（x4）y，化簡得 x2 |m|2，解得 m 22，22. y 4，問題等價于直線與圓有交點，即d2答案 (1) 3(2)2 2，22【例 3】 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知圓 C：(xa)2(y a 2)21，點A(0，2)，若圓 C 上存在點 M，滿足 MA2 MO210，則實數(shù) a

6、的取值范圍是_.(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知圓 M：(xa)2(y a 3)21(a 0)，點 N 為圓 M 上任意一點 .若以 N 為圓心， ON 為半徑的圓與圓 M 至多有一個公共點，則 a 的最小值為 _.解析 (1)設(shè)點 M(x，y)，由 A(0，2)， O(0，0)及 MA2MO210，得 x2(y2)2 x2 y2 10，整理得 x2(y 1)2 4，即點 M 在圓 E：x2(y1)24 上 .若圓 C 上存在點 M 滿足 MA2MO210 也就等價于圓 E 與圓 C 有公共點，所以 |21| CE21，即 |21|a2（ a3）221，整理得 12a26a9 9，解得

7、 0a3，即實數(shù) a 的取值范圍是 0， 3.(2)圓 M 的圓心 M(a， 3 a)在直線 xy3 上，點 O 到直線 x y 3 0 的距離3 2為 2 2，所以 ON211.圓 M 與圓 N 至多有一個公共點，則兩圓內(nèi)含或內(nèi)切 (圓 M 在圓 N 內(nèi) )，所以 MN 1 ON 1，所以 ON 2，即(ON)min2，所以O(shè)M 1 2，即 a2 (3a)29(a0)，解得 a3.故 a 的最小值為 3.答案(1)0 ，3(2)3探究提高(1)如何發(fā)現(xiàn)隱形圓 (或圓的方程 )是關(guān)鍵，常見的有以下五個策略：策略一：利用圓的定義 (到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱形圓； 策略二：動點 P

8、對兩定點 A，B 的張角是 90(kPAkPB 1 或 PAPB 0)確定隱形圓； 策略三：兩定點A，B，動點 P 滿足 PAPB 確定隱形圓；策略四：兩定點A，B，動點 P 滿足 PA2PB2 是定值確定隱形圓；策略五：兩定點A，B，動點 P 滿足 AP BP( 0，1)確定隱形圓 (阿波羅尼斯圓 ).(2)“ 隱形圓 ” 發(fā)掘出來以后?？疾辄c和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系等相關(guān)知識點，例 1、例 2 和例 3 分別從三個方面作了考查，一般解決思路可從“代數(shù)角度 ”或“幾何角度 ”入手.【訓(xùn)練】 (1)若實數(shù) a，b，c 成等差數(shù)列，點 P(1，0)在動直線 ax byc0上的射影為點 M

9、 ，點 N(3，3)，則線段 MN 長度的最大值為 _.(2)(2016 鎮(zhèn)江模擬 )已知集合 M( x，y)|x3yx1 ，N P|PA 2PB，A( 1， 0)，B(1，0) ，則表示 MN 的圖形面積等于 _.解析(1)由題意，2bac，所以動直線的方程為2ax(a c)y2c0，即 a(2x y)c(y 2)0，所以動直線 axbyc0 過定點 A(1，2).設(shè)點 M(x，y)，由MPMA 可求得點 M 的軌跡方程為圓Q：x2 (y1)22，故線段 MN 長度的最大值為 QN r 52.(2)令 P(x， y)，所以 (x1)2 y22(x1)2y2. 所以 x26xy210，所以 (x3)2y28，所以點 P 的軌跡為以 (3， 0)為圓心的圓及圓的內(nèi)部 .表示 M N