高考數(shù)學(xué)知識(shí)考點(diǎn)試題精析　全套

1、高考數(shù)學(xué)知識(shí)考點(diǎn)精析(27講77頁)第一講集合的性質(zhì)及其運(yùn)算1、研究集合問題，一定要抓住集合的代表元素，如：=,=,各不相同。元素與集合的關(guān)系用“或”，集合與集合的關(guān)系用“，”2、任何一個(gè)集合是它本身的一個(gè)子集，即aa。規(guī)定空集是任何集合的子集，即a，。如果ab，且ba，則ab。如果ab且b中至少有一個(gè)元素不在a中，則a叫b的真子集，記作ab?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?。3、含n個(gè)元素的集合a的子集有2個(gè)，非空子集有21個(gè)，非空真子集有22個(gè)。集合a有m個(gè)元素，集合b有n個(gè)元素，則從a到b的映射有個(gè)。4、重要性質(zhì)：（1）aaa，aaa，a，aa， a，au（2）aba，abb，aab，bab，

2、（3）（ab）（a）（b），（ab）（a）（b）（4）abaab，aba ba第二講映射與函數(shù)概念、函數(shù)的定義域和圖象一、映射、函數(shù)的有關(guān)概念：1、映射的定義：設(shè)a，b是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對集合a中的任何一個(gè)元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)叫做集合a到集合b的映射，記作：f：ab，2、像與原像：如果給定一個(gè)集合a到集合b的映射，那么，和集合a中的a對應(yīng)的集合b中的b叫做a的像，a叫做b的原像。3、映射f：ab的特征：（1）存在性：集合a中任一元素在集合b中都有像，（2）惟一性：集合a中的任一元素在集合b中的像只有一個(gè)，（3）方向性：從a到b的映射與從b到

3、a的映射一般是不一樣的（4）集合b中的元素在集合a中不一定有原象，若集合b中元素在集合a中有原像，原像不一定惟一。4、函數(shù)：（1）定義（傳統(tǒng)）：如果在某變化過程中有兩個(gè)變量x,y并且對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。（2）函數(shù)的集合定義：設(shè)a，b都是非空的數(shù)的集合，f：xy是從a到b的映射，那么，從a到b的f：ab，叫做a到b的函數(shù)，y=f(x),其中xa,yb,原像集合a叫做函數(shù)f(x)的定義域，像集合c叫做函數(shù)f(x)的

4、值域。像集合cb5、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則。值域可由定義域唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時(shí)，值域一定相同，它們可以視為同一函數(shù)。二、求函數(shù)定義域的方法1、求函數(shù)定義域的常用方法有：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零等。（2）根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。（3）根據(jù)相關(guān)解析式的定義域來確定所求函數(shù)自變量的范圍。（4）復(fù)合函數(shù)的定義域：如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y=f(u),u=g(x)，那么y=fg(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，設(shè)f(x)的定義域是xm,g(x) 的定義域是xn，求y=fg(x)的定義域時(shí)

5、，則只需求滿足的x的集合。設(shè)y=fg(x)的定義域?yàn)閜，則pn。第三講函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、反函數(shù)一、函數(shù)的單調(diào)性：1、定義：對于給定區(qū)間d上的函數(shù)f(x)，若對于任意x,xd,當(dāng)xx時(shí)，都有f(x) f(x)，則稱f(x)是區(qū)間上的增函數(shù)，當(dāng)x f(x)，則稱f(x)是區(qū)間上的減函數(shù)。如果函數(shù)y= f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說函數(shù)y= f(x)在區(qū)間d上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間d稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。任意x,xd2、函數(shù)單調(diào)性的證明方法：通常根據(jù)定義，其步驟是：1）任取x，xd，且x0時(shí)，f(x)在r上是增函數(shù)。2）當(dāng)ko時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象開口向上，在（，）上是

6、減函數(shù)，在，）上是增函數(shù)，2) 當(dāng)a0時(shí)，f(x)在（，0）與（0，）上都是減函數(shù)，2) 當(dāng)k0時(shí),向右平移，m0時(shí),向上平移，n1,nn)那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根，即x=a,則x叫做a的n次方根(n1,nn)。2、n次方根的性質(zhì)：（1）0的n次方根是0。即0(n1,nn)，（2）a(nn)(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a, 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), |a|3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義：（1）（2），（3）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。二、指數(shù)函數(shù)：1、定義：形如y=a（a0,且a1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。2、指數(shù)函數(shù)y=a（a0,且a1）的圖象和性質(zhì)：a1 0a0,a1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。2、對數(shù)

7、函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a1 0a0,a1)與指數(shù)函數(shù)y=a (a0,a1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，它們的對應(yīng)法則是互逆的，其圖象關(guān)于y=x對稱。4、對數(shù)有關(guān)的大小比較：（1）類似指數(shù)函數(shù)分為四類： 1）同底且大于1，真數(shù)大的對數(shù)大。2）同底且小于1，真數(shù)大的對數(shù)小。3）同真數(shù)且大于1，在x軸同側(cè)時(shí)，底大圖低，（這一點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相反）4）同真數(shù)且小于1，在x軸同側(cè)時(shí)，底大圖高。（2）基本思路：1）利用函數(shù)的單調(diào)性，2）作差或作商法，3）利用中間量。4）化同底或化同指數(shù)。5）放縮法。五、冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義2、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)第六講函數(shù)與方程、零點(diǎn)與二分法1、2、3、第七講空間幾何

8、體1、 棱柱、圓柱，棱錐、圓錐，棱臺(tái)、圓臺(tái)，球的概念與分類及性質(zhì)。它們的表面積與體積的計(jì)算。棱柱：(1)棱柱的概念：如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行。這樣的多面體叫做棱柱。(2)、棱柱的分類：1）按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱和直棱柱。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形、分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，、3)底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體，側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。底面為矩形的直平行六面體叫長方體，各棱長相等的長方體叫

9、正方體。注正四棱柱一定是長方體，但長方體不一定是正四棱柱，直平行六面體一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面體。(3)、棱柱的性質(zhì)：1）棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。2）與底面平行的截面是與底面對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3）過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。4)棱柱的側(cè)面積=直截面(垂直于側(cè)棱的截面)的周長側(cè)棱長，棱柱的體積=底面積高。(4)、平行六面體abcd-abcd的性質(zhì)：1)平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分，2）平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和。，3）長方體的一條對

10、角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和。4）若長方體的一條對角線與過這一條對角線的一端的三個(gè)相鄰面所成的角分別為，則sin+sin+sin=1，5）長方體的體對角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則sin+sin+sin=2，6）長方體的對角線等于它的外接球的直徑。7）正方體的內(nèi)切球的直徑等于正方形的邊長。和正方體各棱切的球的直徑等于正方形的面對角線。8）平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體；圓柱：一個(gè)矩形繞著一邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體。棱錐：(1)棱錐的概念：如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各個(gè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的

11、側(cè)面。過棱錐不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫棱錐的對角面。(2)、錐的分類：按照棱錐底面多邊形的邊數(shù)可將棱錐分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐(3)、棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比。經(jīng)過棱錐的高的中點(diǎn)且平行于底面的截面叫中截面，中截面的面積是底面面積的1/4。(4)、正棱錐的概念與性質(zhì)：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。性質(zhì)：1）正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。2）正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影、側(cè)棱、底面

12、的外接圓的半徑r、底面的半邊長可組成四個(gè)直角三角形。(5)、棱錐的體積公式：vsh (s是棱錐的底面積，h是棱錐的高)提醒：全面積（也稱表面積）是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積側(cè)面積2底面積；棱錐的全面積側(cè)面積底面積。圓錐：一個(gè)直角三角形繞著一邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體。它的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。扇形的弧長是底面圓的周長。扇形的半徑等于母線長。棱臺(tái)：一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截，夾在底面與截面間的幾何體叫棱臺(tái)。圓臺(tái)：一個(gè)直角梯形繞著垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體。球：(1)、球的概念：與定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合叫做球體，簡稱球。定點(diǎn)叫做球心。定長叫做球的半徑。球面：與定點(diǎn)的距離等

13、于定長的點(diǎn)的集合叫做球面。(2)、球的截面：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面。球心和截面圓的距離d與球的半徑r及截面的半徑r之間的關(guān)系：r。大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓。小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓。經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓，當(dāng)這兩點(diǎn)與球心不共線時(shí)，有且只有一個(gè)。當(dāng)這兩點(diǎn)與球心共線時(shí)有無數(shù)個(gè)。(3)球面距離：球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，叫做這兩點(diǎn)的球面距離。它等于球心角半徑。(4)球的體積和表面積公式：v(5)正四面體的邊長為a，則它的外接球的半徑、內(nèi)切球的半徑、棱切球的半徑分別為，正方體的邊長為a，則它的外接球的半徑、內(nèi)切球的半徑、棱切球的半徑分別為

14、2、三視圖與直觀圖的畫法。1）、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：已知圖形中平行于橫軸和豎軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于縱軸的線段，在直觀圖中其長度為原來的一半。原來平行的線段仍然平行，原來相交的線段仍然相交，但角度可能發(fā)生變化。把直觀圖還原成原來水平放置的圖形時(shí)，應(yīng)先把與橫軸成45的線段還原成與橫軸成直角的線段。2）、三視圖的畫法：正視圖（從前向后看）、俯視圖（從上往下看）、側(cè)視圖（從左往右看，也叫左視圖）。第八講 點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系。1、確定平面的4個(gè)公理或定理，(1)不共線的3點(diǎn)確定一個(gè)平面，(2)兩條相交直線確定一個(gè)平面，(3)兩條平行直線確定一個(gè)平面，(4)一條直線和直

15、線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。確定直線在平面內(nèi)的定理：如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)。兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)定理：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)在同一條直線上。此定理常用來判斷空間三線共點(diǎn)。2、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的表示方法。3、平行公理：平行于同一直線的兩直線互相平行，它反應(yīng)了平行線的傳遞性。注意：相交線和異面直線沒有傳遞性。4、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。當(dāng)一邊平行且方向相同而另一邊的方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)?？赏茝V到空間：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行并且方向相同，那

16、么這兩個(gè)二面角相等。當(dāng)一個(gè)半平面平行且方向相同而另一個(gè)半平面的方向相反時(shí)，這兩個(gè)二面角互補(bǔ)。但注意：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。不可推廣到空間：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)。5、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（2）平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（3）異面直線：不在任何一個(gè)平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。兩條異面直線的作圖，常借助于輔助平面。異面直線的判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。異面直線所成的角（或夾角）的定義與求法：直線a,b是異

17、面直線，經(jīng)過空間一點(diǎn)o，分別引直線aa , bb,相交直線a，b所成的銳角（直角）叫異面直線a,b所成的角，求異面直線的夾角常用平移法和向量法。6、異面直線的距離：（1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條。（2）求異面直線的距離的常用方法有：1）直接找公垂線段而求之。2）轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和平行另一條直線。3）利用向量法：常利用端點(diǎn)在兩條異面直線上的有向線段在公垂線的方向向量上的投影。如圖：ab為公垂線段，異面直線上兩點(diǎn)的距離公式：已知兩條異面直線a,b所成的角為，在a,b上分別

18、取點(diǎn)e，f，已知ab為公垂線段，長度為d,bem,af=n,ef=l則l（同側(cè)為減，異側(cè)為加）7、(1)直線與平面的位置關(guān)系：1）直線在平面內(nèi),2）直線與平面相交，3）直線與平面平行,其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。(2)直線與平面平行的判定：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。簡稱為“線線平行，則線面平行。”判定直線與平面平行的方法還有：1）2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，交線和這條直線平行，簡稱為“線面平行，則線線平行”。(3) 直線與平面垂直的概念：如果一條直線和平平面內(nèi)任

19、何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直。直線和平面垂直的判定：1）一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。2）兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：（1）如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。（2）如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。8、(1)平面與平面的位置關(guān)系：1）平行沒有公共點(diǎn)，2）相交有且只有一條公共直線。兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在同一條直線上。(2)兩個(gè)平面平行的判定：1)一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則

20、這兩個(gè)平面平行。簡稱為“線面平行，則面面平行”，2)推論：如果平面內(nèi)一個(gè)有兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，那么這兩個(gè)平面平行。3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：1)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。2)兩個(gè)平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段也相等。3)如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面。(3) 兩個(gè)平面垂直的判定：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：1)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。2)如果兩

21、個(gè)平面垂直，那么從一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線必在第一個(gè)平面內(nèi)。9、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。10、直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。特別當(dāng)一條直線和平面垂直時(shí)，就說直線與平面所成的角是直角，當(dāng)一條直線在平面內(nèi)或和這個(gè)平面平行時(shí)，我們規(guī)定直線和平面所成的角為0，所以直線和平面所成的角的范圍是利用法向量可處理線面角問題設(shè) 為直線與平面所成的角，為直線的方向向

22、量與平面的法向量之間的夾角，則有（圖1）或（圖2）圖1 圖211、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角。設(shè)ab是平面的一條斜線，a為斜足，直線m是平面內(nèi)任一直線，ab是ab在平面內(nèi)的射影。為ab和m所成的角，為ab和射影所成的角，射影ab和m所成的角，則cos=coscos重要應(yīng)用：空間兩條異面直線l1與l2所成的角為，過空間一定點(diǎn)p作直線l與l1，l2所成的角都是，這樣的直線l可作多少條？分析：（1）若（0，/2），則這樣的直線l有0條（2）若/2，則這樣的直線有1條（3）若（/2，），則這樣的直線l有2條（4）若，則這樣的直線l

23、有3條（5）若（，），則這樣的直線l有4條（6）若，則這樣的直線l有1條12、二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面，棱為l，兩個(gè)面分別為，的二面角記為-l-,一個(gè)平面垂直于二面角-l-的棱，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線oa，ob，o為垂足，則aob叫做二面角-l-,的平面角。一個(gè)二面角的大小可用它的平面角的大小來衡量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是0，180計(jì)算二面角的方法：（1）定義法(常根據(jù)三垂線定理先作平面角即自二面角

24、的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂足向棱作垂線，再解直角三角形)。（2）射影面積法，（3）有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐標(biāo)法)：利用法向量可處理二面角問題設(shè) 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角為，則有（圖3）或 （圖4）圖3 圖4第九講 直線與方程1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0。（2）直線的傾斜角的范圍。（3）在直線的傾斜角的定義中抓住三個(gè)重要條件：“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、與直線l重

25、合、最小正角”。2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示，即ktan(90).（2）傾斜角為90的直線沒有斜率。（3）經(jīng)過兩點(diǎn)p（x, x）,p (y,y)的直線的斜率公式為3、直線方程的五種形式：（1）點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)（x,y）斜率為k，則直線方程為：y-y=k（x-x）,它不包括垂直于x軸的直線。（2）斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k，則直線方程為：y=kx+b,它不包括垂直于x軸的直線。（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過（x,y）,(x,y)兩點(diǎn)，則直線方程為：，它不包括垂直于坐標(biāo)軸（包括x,y軸）的直線。（4）截距

26、式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為：，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成：ax+by+c=0(a,b不同時(shí)為0)的形式。在求直線方程時(shí)，要注意斜率是否存在，利用截距式時(shí)，不能忽視截距為0的情形，同時(shí)要區(qū)分“截距”和“距離”。“截距”不是距離，可正可負(fù)可為0。4、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）若點(diǎn)p（x,y）在直線上，則ax+by+c=0.(2) 若點(diǎn)p（x,y）不在直線上，則ax+by+c0，此時(shí)點(diǎn)p（x,y）直線的距離d=，(3)由此可得，兩平行線l:ax+by+c=0,l:ax+by+c=0，間的距離為d=5、直線與直線的位置關(guān)系：（1

27、）斜率存在的兩直線：l: y=kx+b, l：y=kx+b，有若ll kk，且bb，若ll， k k1，若l與l相交 kk，若l與l重合 kk，bb。（2）一般的兩直線：l:ax+by+c=0,l:ax+by+c=0，有若ll a b- a b0，bc-bc0, (或acac0)，若ll，aa+bb=0，若l與l相交 a b- a b0，若l與l重合 a b- a b0，且bc-bc0,且acac06、到角和夾角公式：（1）l到l：指直線l繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合所轉(zhuǎn)的角，且tan=( k k-1).（2）l與l的夾角且tan=( k k-1)。7、直線方程的參數(shù)形式：直線的參數(shù)方

28、程常用來解決過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的問題。8、直線的極坐標(biāo)方程。第十講 圓與方程1、圓的方程的四種形式：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，特別當(dāng)圓心是（0,0），半徑為r時(shí)，（2）圓的一般方程：（3）圓的參數(shù)方程：圓心在（a,b），半徑為r的圓的參數(shù)方程是特別當(dāng)圓心是原點(diǎn)時(shí)，（4）2、從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件來求。過兩切點(diǎn)的直線方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程。3、4、5、第十一講算法初步1、 算法的概念：在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決“某一類”問題的“明確”和“有限”的步驟。它有下面的特點(diǎn)

29、：通用性(適用于某一類問題的所有個(gè)體，而不是只用來解決一個(gè)具體問題)，可行性(算法應(yīng)有明確的步驟一步一步地引導(dǎo)計(jì)算機(jī)進(jìn)行并且能夠得到最終結(jié)果)，明確性(算法的每一個(gè)步驟必須明確_或者由規(guī)則直接確定，或者由上一步的結(jié)果確定)，有限性(算法應(yīng)由有限步組成)。2、 程序框圖又稱“流程圖”，是一種用程序框、流程線、及文字說明來表示算法的圖形。基本的程序框有：終端框(起止框)，輸入、輸出框，處理框(執(zhí)行框)，判斷框，其中起止框是任何程序框圖中不可缺少的。3、 算法的三種基本的邏輯結(jié)構(gòu)。任何算法都是由順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)三種基本的邏輯結(jié)構(gòu)組成。順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟所組成，是任何一個(gè)算法

30、都離不開的基本結(jié)構(gòu)。一個(gè)算法中，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處理這各過程的結(jié)構(gòu)。一些算法中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情形，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)結(jié)構(gòu)分為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)(滿足條件循環(huán))和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)(不滿足條件循環(huán))。循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。if 條件 then 語句體1else 語句體2end if4、 任何一種程序都包含五種基本的算法語句，它們是輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句。輸入語句的一般格式是input“提示內(nèi)容”，變量。其作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能，輸出語句的一般格式是：print“提示

31、內(nèi)容”，表達(dá)式。其作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能。賦值語句的一般格式是：變量=表達(dá)式，其作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量。if 條件 then 語句體end if5、條件語句的一般格式有兩種：一種是:if-then-else格式，其形式為 ：， ，另一種是：:if-then格式，其形式為 ：， ，6、循環(huán)語句主要有兩種類型：(1)當(dāng)型(while)，(2)直到型(until)。while語句的基本格式是：while 條件 循環(huán)體wend當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到while語句，先判斷條件的真假，如果條件符合時(shí)，就執(zhí)行while與wend之間的循環(huán)體，若條件不符合，計(jì)算機(jī)不再執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到wend 語句后

32、執(zhí)行其他語句，因此while語句也稱為前測試型循環(huán)語句。until語句的基本格式是：do循環(huán)體loop until 條件當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到until語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后對條件的真假進(jìn)行判斷當(dāng)條件不符合時(shí)，就執(zhí)行循環(huán)體，直到條件符合，計(jì)算機(jī)不再執(zhí)行循環(huán)體，跳出循環(huán)，執(zhí)行l(wèi)oop until語句后的其他語句，因此until 語句又稱為后測試型循環(huán)語句。7、輾轉(zhuǎn)相除法是用于求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的一種方法，這種算法是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出，因而又叫歐幾里德算法。就是對于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到余數(shù)為零

33、，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。更相減損術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)專著九章算法中介紹的一種求兩數(shù)最大公約數(shù)的方法，其基本過程是：對于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減去較小的數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作直到差為零止，則這個(gè)數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。8、秦九韶算法是我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在他的代表作數(shù)學(xué)九章中提出的一種用于計(jì)算一元n次多項(xiàng)式的值的方法。此算法中乘法和加法的次數(shù)都是n次。9、“滿k進(jìn)一”就是k進(jìn)制，k進(jìn)制的基數(shù)是k。將k進(jìn)制化為十進(jìn)制的方法是：先把k進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積的形式，再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果。將十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的

34、方法是：除k取余法。即用k連續(xù)去十進(jìn)制所得的商，直到商為零止，然后把所得的余數(shù)倒著寫出就是所得的k進(jìn)制。第十二講統(tǒng)計(jì)1、 簡單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體含有n個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（nn），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，這種抽樣的方法就叫簡單隨機(jī)抽樣。最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法有：抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法。抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行。但是當(dāng)容量非常大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力不方便，可能導(dǎo)致抽樣的不公平。隨機(jī)數(shù)表法是由0,1，2,3，4，,5，6,7，8,9這10個(gè)數(shù)字組成的數(shù)表，并且表中的每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相等。用隨機(jī)數(shù)表法時(shí)先對總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體編號，再從數(shù)表中的某個(gè)數(shù)

35、開始按一定順序（可以向左、右、上、下）讀數(shù)，取出適合的號碼，直到取夠樣本為止。優(yōu)點(diǎn)節(jié)省人力、物力、財(cái)力和時(shí)間，缺點(diǎn)是所產(chǎn)生的樣本不是真正的簡單樣本。2、 按某順序以一定的間隔進(jìn)行抽取得到的樣本叫系統(tǒng)抽樣。將總體分成互不交叉的層，然后按一定比例抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體放在一起作為樣本，這種方法叫分層抽樣。系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)是：總體容量大且個(gè)體之間無差異。分層抽樣的特點(diǎn)是：總體容量大且個(gè)體之間差異大。3、 列頻率分布表、畫頻率分布直方圖的步驟：（1）求極差（最大值與最小值之差），（2）決定組距與組數(shù)，（3）將數(shù)據(jù)分組，（4）列頻率分布表，（5）繪頻率分布直方圖。在頻率分布直方圖中，縱軸表示

36、頻率/組距，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小長方形的面積的總和為1。直率分布直方圖的重心就是樣本平均數(shù)。4、 連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量的增加，分組組距的不斷縮小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線?？傮w密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比?？傮w在某一區(qū)間內(nèi)取值的百分比就是該區(qū)間與該曲線所夾的曲邊梯形的面積?？傮w密度曲線通常是用樣本的頻率分布估計(jì)出來的。這是因?yàn)椋海?）并非所有的總體都存在密度曲線，如一些離散型總體沒有。（2）盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很

37、難像函數(shù)圖象那樣被準(zhǔn)確地畫出來，只能用樣本的頻率分布來對它估計(jì)。樣本容量越大，這種估計(jì)越精確。5、 莖葉圖不僅能保留原始數(shù)據(jù)而且方便對數(shù)據(jù)的記錄和表示。但如果數(shù)據(jù)較多，莖葉圖就顯得不方便。莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)。6、 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。中位數(shù)可能會(huì)不是數(shù)據(jù)中的數(shù)。眾數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，可能不只一個(gè)。在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。7、 標(biāo)準(zhǔn)差、極差、方差都是描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。前兩者與數(shù)據(jù)的單位一致，方差與數(shù)據(jù)的單位不一致。方差的計(jì)算公

38、式是：練習(xí)：8、 相關(guān)關(guān)系：與函數(shù)關(guān)系（確定關(guān)系）不同，相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系。從散點(diǎn)圖上看，如果散點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，這兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，如果散點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，這兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線的附近，則稱這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)，這條直線叫回歸直線?；貧w直線是：線性相關(guān)系數(shù)：第十三講概率1、 事件分為確定事件（包括必然事件與不可能事件）與隨機(jī)事件。隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小用概率來度量。在n次試驗(yàn)中，事件a發(fā)生的次數(shù)稱為事件a發(fā)生的頻數(shù)。稱為事件a發(fā)生的頻率。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，這個(gè)常數(shù)

39、稱為事件a發(fā)生的概率。頻率是變化的與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，概率是不變的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)。頻率是概率的近似值。2、 從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策問題，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則。這方法叫極大自然法。3、“事件a的發(fā)生或事件b發(fā)生”稱為“事件a與b的并事件（或和事件）”，記作：“”，“事件a的發(fā)生且事件b發(fā)生”稱為“事件a與b的交事件（或積事件）”，記作：“”。若即為不可能事件，稱事件a與b互斥，即事件a與b在任何一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生。若為不可能事件且為必然事件，則稱事件a與b互為對立事件。即事件a與b在任何一次試驗(yàn)中有且只有一次發(fā)生。3、 概率的幾個(gè)性質(zhì)：4、 關(guān)于古典

40、概型：基本事件的特點(diǎn)是：任何兩個(gè)基本事件是互斥的，任何事件（不可能事件除外）都可以表示為基本事件的和。若試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的基本事件只有有限種，且每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同，具有這兩個(gè)特征的概率模型稱為古典概型。對于古典概型：5、 幾何概型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，稱這樣的概率模型為幾何概型。計(jì)算公式是：6、用隨機(jī)模擬計(jì)算陰影面積的方法與步驟：第十四講三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與二倍解公式1、象限角與軸線角：角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，稱為軸線角。第一、二、三、四象限角分別可表示為：

41、角終邊在x軸的非負(fù)半軸上時(shí)可表示為：360k,kz, 角終邊在y軸的非負(fù)半軸上時(shí)可表示為：360k+90,kz,在x軸的非正方向上，在y軸的非正方向上可類似表示。2、終邊相同的角的表示： ，即任一與角終邊相同的角，都可以表成角與整數(shù)個(gè)周角的和。任意兩個(gè)終邊相同的角之差必是360的整數(shù)倍。相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等。已知是第幾象限的角，如何確定所在象限的角的常用方法有二：（1）分類討論法，先根據(jù)的范圍用整數(shù)k把的范圍表示出來，再對k分n種情況討論。（2）幾何法：把各象限均先n等分，再從x軸的正方向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上、，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為的終邊所在的區(qū)域。3

42、、角度制與弧度制的換算：弧度制下的弧長與扇形面積計(jì)算公式：注：在同一個(gè)代數(shù)式中弧度制與角度制不能同時(shí)出現(xiàn)。如：是錯(cuò)誤的。4、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，的終邊上任意一點(diǎn)p的坐標(biāo)是（x,y），它與原點(diǎn)的距離是，那么5、象限角的三角函數(shù)符號：一全正，二正弦，三兩切，四余弦。根據(jù)三角函數(shù)線分析各象限的區(qū)間內(nèi)各三角函數(shù)的單調(diào)性：正弦一,四增，二、三減。余弦三、四增，一、二減。正切只有增區(qū)間，余切只有減區(qū)間。強(qiáng)調(diào)象限的區(qū)間內(nèi)。6、誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。如：熟記關(guān)系式：sin(k+)=(-1)ksin；cos(k+)=(-1)kcos(kz)；7、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：平方關(guān)系

43、：倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,商數(shù)關(guān)系：，一般采用“切化弦”，但已知一個(gè)角的正切值，求正弦與余弦有關(guān)的代數(shù)式常采用“弦化切”。8、特殊角的三角函數(shù)值：（見下表）3045600901802701575sin010-1cos10-10tan1002-2+cot1002+2-9、兩角和公式：對第三式的的值使等式兩邊有意義。注意公式的變形應(yīng)用如：10、化一公式：如：（1）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，的值是_(答：)；（2）如果是奇函數(shù)，則=(答：2)；11、三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式如：

44、巧變角：如，等），如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為_（答：，注意：隱含y0.第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇钡谌^察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。12、二倍角的正弦、余弦、正切二倍角公式：降冪公式與升冪公式：半角公式：13、萬能公式：第十五講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)：(1)五點(diǎn)法作圖：先描出正弦曲線和余弦曲線的波峰、波谷和三個(gè)平衡位置這五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。常選取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)。(2)正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線。余弦函數(shù)y=cosx是偶

45、函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線。練習(xí)：已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_（答：5）；（3）函數(shù)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是_、_（答：、）；（4）已知為偶函數(shù)，求的值。（答：）(3)、單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。y=cosx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。如：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_（答：）三角函數(shù)的單調(diào)性：正弦一,四增，二、三減。余弦三、四增，一、二減。正切只有增區(qū)間，余切只有減區(qū)間。強(qiáng)調(diào)象限的區(qū)間內(nèi)。2、的圖象：(1)振幅、周期、頻率、相位、初相：函數(shù)，表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，a表示這個(gè)振動(dòng)的振幅，往返一次所需的時(shí)間t，稱為這個(gè)振動(dòng)的周期，單位時(shí)間內(nèi)往返振動(dòng)的次數(shù)稱為振動(dòng)的頻率，稱為相位，x0時(shí)的相位叫

46、初相。(2)、函數(shù)k的圖象與y=sinx的圖象的關(guān)系：把y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（0）或向右（0）或向下（k0），+k若由y=sin（x）得到y(tǒng)=sin（x+）的圖象，則向左或向右平移個(gè)單位。注意：3、正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì)：（1）定義域：，。（2）值域是r，在上面定義域上無最大值也無最小值。（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線y=a的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。（4）奇偶性：是奇函數(shù)，對稱中心是，無對稱軸。（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。4、反三角函數(shù)的定義：（1）反正弦：在閉區(qū)間上符合條件sinx=a（-1a1）的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反正弦，記作arcsina,即x=arcsina,其中，且a=sinx.注意arcsina表示一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為a,且這個(gè)角在內(nèi)（-1a1）（2）反余弦：在閉區(qū)間上，符合條件的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反余弦，記作arccosa,即x=arccosa,其中x.(3)反正切：在開區(qū)間（，）內(nèi)，符合條件tanx=a（a為實(shí)數(shù)）的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反正切，記做arctana,即x=arctana,其中反