用F展開(kāi)法求解廣義KdVmKdV方程畢業(yè)論文1

1、2013年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 用f-展開(kāi)法求解廣義kdv-mkdv方程院 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2009級(jí) 學(xué)生姓名： 胡 安 平 學(xué) 號(hào)： 200905050225 導(dǎo)師及職稱(chēng)： 芮老師 (教 授) 2013年5月2013annual graduation thesis (project) of the college undergraduatethe f-expansion method for solving the generalized kdv-mkdv equationsdepartment: college of mathematicsmajo

2、r: mathematics and applied mathematicsgrade: 2009students name: hu anpingstudent no.: 200905050225tutor: rui (professor)may, 2013畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說(shuō)明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說(shuō)明本論文（設(shè)計(jì)

3、）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門(mén)送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書(shū)館被查閱。學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：日期： 日期： 胡安富畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)(答辯小組)成員名單姓名職稱(chēng)單位備注教授數(shù)學(xué)學(xué)院組長(zhǎng)教授數(shù)學(xué)學(xué)院組員教授數(shù)學(xué)學(xué)院組員摘要 本文針對(duì)廣義kdv-mkdv方程的特點(diǎn),引入了一個(gè)輔助方程。在這個(gè)輔助方程的基礎(chǔ)上,利用f-展開(kāi)法獲得這個(gè)輔助方程的一些函數(shù)型的精確解。進(jìn)一步

4、地,利用這些輔助方程的解獲得了廣義kdv-mkdv方程的各種精確行波解。并借助maple軟件畫(huà)出了在不同參數(shù)條件下的三維圖像和二維圖像。關(guān)鍵詞: 廣義kdv-mkdv方程;f-展開(kāi)法;孤立波解;周期波解；行波解abstractin this paper, according to the characteristics of generalized kdv-mkdv equations, an auxiliary equation is introduced. basied on the auxiliary equation, using the f-expansion method, som

5、e exact solutions of auxiliary equatioan are given. further, using the auxiliary equations solution, different kinds of exact travelling wave solutions of generalized kdv-mkdv equation are obtained. by using maple software, we draw three-dimensional graphics and two-dimensional images under the cond

6、ition of different parameters.keywords: generalized kdv-mkdv equation; f-expansion method; solitary wave solution; periodic wave solutions; travelling wave solutions目 錄 第一章 引言11.1 研究背景和現(xiàn)狀11.2廣義kdv-mkdv方程簡(jiǎn)介11.3研究?jī)?nèi)容3第二章 研究方法42.1 f-展開(kāi)法4第三章 用f-展開(kāi)法求解廣義kdv-mkdv方程6第四章 小結(jié)17參考文獻(xiàn)18致謝19第一章 引言 1.1 研究背景和現(xiàn)狀最近30多年

7、來(lái)，非線(xiàn)性數(shù)學(xué)在物理研究領(lǐng)域頗具特色的成就之一就是創(chuàng)造了求非線(xiàn)性偏微分方程的解，特別是求行波解的各種方法。如: f-展開(kāi)法，jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)，雙曲正切函數(shù)展開(kāi),齊次平衡等。這些方法對(duì)于某一類(lèi)方程來(lái)說(shuō)，它們求某一種形式的行波精確解是十分有效的, 其中“f-展開(kāi)法”，“齊次平衡”對(duì)于求非線(xiàn)性發(fā)展方程的jacobi橢圓函數(shù)解較為常用。一般情況下, 求解非線(xiàn)性方程(尤其是非線(xiàn)性偏微分方程（pde）)非常困難,而且也沒(méi)有統(tǒng)一而普遍的方法，以上所述的一些方法也只能具體應(yīng)用于求解某個(gè)或某些非線(xiàn)性方程較為有效,因此,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域 ,求解非線(xiàn)性方程任重而道遠(yuǎn)，繼續(xù)尋找一些有效可行的求解方法仍是擺在數(shù)學(xué)愛(ài)好

8、者面前的一項(xiàng)十分艱巨而又很有意義的工作。1.2廣義kdv-mkdv方程簡(jiǎn)介在現(xiàn)代科學(xué)研究中，非線(xiàn)性波動(dòng)現(xiàn)象，如流體力學(xué)、固體物理、集成電路、光纖、化學(xué)動(dòng)力學(xué)、等離子體物理、地球化學(xué)起重要作用。在非線(xiàn)性波方程中，非常重要的現(xiàn)象是擴(kuò)散、耗散、色散、對(duì)流和反應(yīng)。在許多科學(xué)索引文獻(xiàn)中提到的孤立子問(wèn)題,比如呼吸型孤立子,扭結(jié)型孤立子, 尖峰型孤立子，緊孤立子和尖孤波1是現(xiàn)代非線(xiàn)性數(shù)學(xué)在物理研究領(lǐng)域中的主要研究?jī)?nèi)容。 目前盡管已經(jīng)有了多種方法可以解決非線(xiàn)性波方程, 如雙線(xiàn)性變換法, 貝克隆變換， 逆散射方法的轉(zhuǎn)變, sine-cosine方法，齊次平衡方法和tanh方法。但是，由于非線(xiàn)性波方程本身的復(fù)雜性

9、，導(dǎo)致目前沒(méi)有統(tǒng)一的方法去尋找這些方程的所有解。這就是擺在我們面前的新課題，解決這些新課題需要我們不斷的去尋找新的方法和新的技巧。另外，精確解的物理特性非常重要,這一重要性體現(xiàn)在它們能夠?yàn)槲覀冊(cè)诜蔷€(xiàn)性波方程的物理研究領(lǐng)域提供多方面的洞察力和靈感。標(biāo)準(zhǔn)的kdv方程 （1-1）與k(n,n)方程 （1-2）目前已被廣泛而全面得到研究2-3。通過(guò)平衡kdv方程中的高階色散效應(yīng)項(xiàng)與非線(xiàn)性項(xiàng)，研究人員獲得了方程（1-1）的孤立子(soliton)解，簡(jiǎn)稱(chēng)孤子解。然而，在k(n,n)方程（1-2）中, 非線(xiàn)性色散項(xiàng)與非線(xiàn)性項(xiàng)之間的相互作用產(chǎn)生的孤波具有緊致的特性,通常人們把具有這一特性的解叫做緊孤子（co

10、mpactons）解。一般地，非線(xiàn)性波孤立子的特征被定義為4：（1）.局部的波形是穩(wěn)定,它們相互碰撞時(shí)保持他們的特性。反過(guò)來(lái)又意味著孤子是具有這樣的性質(zhì)（彈性碰撞）的粒子。（2）.局部的波形,傳播時(shí)不改變其性質(zhì)(如形狀、速度等)。因?yàn)榫o孤子被證明彈性碰撞消失在一個(gè)有限的核心區(qū)域。所以人們觀察到緊孤子結(jié)構(gòu)有兩個(gè)重要的特點(diǎn)5：（1）.緊孤子的寬度是獨(dú)立的振幅。（2）.緊孤子的特點(diǎn)是不像孤立波那樣有長(zhǎng)長(zhǎng)的尾巴（即長(zhǎng)長(zhǎng)的漸進(jìn)于某條直線(xiàn)曲線(xiàn)）。國(guó)內(nèi)外大量的研究工作已表明緊孤子（compactons）有實(shí)際的科學(xué)應(yīng)用,如慣性聚變，裂變的液體滴(核子物理學(xué)),預(yù)先形成的水動(dòng)力模型6-7等等?，F(xiàn)代許多數(shù)學(xué)和物

11、理學(xué)研究領(lǐng)域,名詞后面帶后綴-on，一般被用來(lái)表示粒子性質(zhì)8，例如孤子（soliton）有粒子、光子（photon）、聲子（phonon）和尖孤子（peakon）的性質(zhì)。也因?yàn)檫@個(gè)原因,緊致的孤立波,簡(jiǎn)稱(chēng)緊孤子（compacton）。需更加深入透徹地了解緊孤子（compacton）性能和物理結(jié)構(gòu)9。正如廣義kdv-mkdv方程： （1-3）（其中，,、都是常數(shù)。）出現(xiàn)在大量的物理應(yīng)用領(lǐng)域,曾經(jīng)被許多人員研究過(guò)10-11,(以及這些文獻(xiàn)中所引用的文獻(xiàn))?，F(xiàn)在考慮一種較為特殊的情形，即在方程（1-3）中，讓?zhuān)渲袨榉橇阕匀粩?shù)。便可以得到方程（1-3）的一種新形式，如下： （1-4）本文的主要工作就

12、是在這種較為特殊情形下，用f-展開(kāi)法尋求方程（1-4）的精確行波解。1.3研究?jī)?nèi)容本論文主要分為四個(gè)章節(jié)來(lái)撰寫(xiě)第一章 主要寫(xiě)研究此問(wèn)題的背景和現(xiàn)狀，研究方程的由來(lái)及撰寫(xiě)本論文的大概情況； 第二章 主要介紹論文用到研究方法；第三章 論文研究的全過(guò)程；第四章 小結(jié)。第二章 研究方法 2.1 f-展開(kāi)法 目前f-展開(kāi)法的應(yīng)用,可視為雙曲正切函數(shù)，jacobi橢圓函數(shù)以及三角函數(shù)展開(kāi)法的概括。其研究的方法步驟如下：一般考慮非線(xiàn)性偏微分方程(pde) （2-1）為其變?cè)亩囗?xiàng)式,其中包含有非線(xiàn)性項(xiàng)和高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。第一步.設(shè)(2-1)的行波解為: （2-2）其中表示波速,將(2-2)代入(2-1)則將(2

13、-1)化為的常微分方程（ode） （2-3）第二步.設(shè)可表示為的有限冪級(jí)數(shù): （2-4）這里為待定常數(shù),一般滿(mǎn)足一階常微分方程（ode）: （2-5）對(duì)(2-5)式求導(dǎo)得: （2-6）其中是待定常數(shù),正整數(shù)由齊次平衡具體支配地位的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與非線(xiàn)性最高次方項(xiàng)來(lái)確定。第三步.將(2-4)代入(2-5),利用(2-5),(2-6)可將(2-3)式變成的多項(xiàng)式。令的各次項(xiàng)冪的系數(shù)為零,從而可以得和c的代數(shù)方程組。第四步.求上述代數(shù)方程組，可借助maple軟件求解,和可由來(lái)表示。將這些結(jié)果代入(2-5)式得pde(2-1)的一個(gè)行波解的一般形式。本論文是建立在一個(gè)變形的輔助方程： （2-7）之上,通

14、過(guò)對(duì)（2-7）式湊微分并令（2-8）可得如下方程： . (2-9)在（2-9）式中記: （2-10）， （2-11） 則方程（2-9）的積分情況如下表表一(積分表)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)或者當(dāng)時(shí)第三章 用f-展開(kāi)法求解廣義kdv-mkdv方程 在本章中，我們考慮下列廣義kdv-mkdv方程 (3-1)其中，,、都是常數(shù)?，F(xiàn)在考慮時(shí)的情形：（其中為自然數(shù)） (3-2)作一個(gè)行波變換，, ， (3-3)其中表示波速。 將（3-3）求導(dǎo)代入（3-2）得： (3-4)對(duì)（3-4）積分一次得：（取積分常數(shù)為零） (3-5)設(shè) （其中是常參數(shù) ） (3-6)將（3-6）代入（3-5）得： (3-7)令 (3-8)由（3

15、-8）求導(dǎo)得： (3-9)將（3-9）代入（3-7）得：(3-10)在（3-10）中令各階各次系數(shù)為零得以下方程組： （3-11）整理以上方程組得： （3-12）由（3-8）式得： (3-13)對(duì)（3-13）式湊微分得：. (3-14)令 (3-15)則（3-14）變?yōu)槿缦滦问?. （3-16）在（3-16）式中、都是常數(shù)。情形一：當(dāng)時(shí)，對(duì)（3-16）是兩邊積分（查積分表）得：, (3-17)為任意積分常。 化簡(jiǎn)（3-17）式得： , (3-18)其中，,（因?yàn)槭侨我獬?shù)，所以也是任意常數(shù)）。借助maple軟件，由（3-18）式求得： (3-19)在（3-19）式中，令則（3-19）式可以化簡(jiǎn)

16、為： . (3-20)記.（） 當(dāng)時(shí)，可以表示為： . (3-21) 因?yàn)椋?且，所以容易得： (3-22) 即可以表示為如下形式： (3-23)其中、的表達(dá)式如下所示： (3-24) （） 當(dāng)時(shí)，解的形式不存在。 （） 當(dāng)時(shí)，可以表示為： (3-25) 對(duì)應(yīng)的可以表示為： (3-26)其中、的表達(dá)式如下所示： (3-27)情形二：當(dāng)時(shí)，對(duì)（3-16）是兩邊積分（查積分表）得： （是任意的積分常數(shù)） (3-28)借助maple軟件，由（3-28）式求得： (3-29)或者 (3-30)所以 (3-31)或者 （3-32）其中、的表達(dá)式如下所示： （3-33）情形三：當(dāng)時(shí)，對(duì)（3-16）是兩邊積

17、分（查積分表）得： (3-34)(其中是任意的積分常數(shù)) 借助maple軟件，由（3-34）式求得： (3-35) 記 則：（）當(dāng)時(shí)，可以表示為: (3-36) 此時(shí)可以表示為： (3-37)其中、的表達(dá)式如下所示： (3-38)（） 當(dāng)時(shí)，可以表示為: (3-39)此時(shí)可以表示為： (3-40)其中、的表達(dá)式如下所示： (3-41)（）當(dāng)時(shí)，可以表示為: (3-42)此時(shí)可以表示為： (3-43)其中、的表達(dá)式如下所示： (3-44) 借助maple軟件，取適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以畫(huà)出原方程在不同解形式下的圖形，為了更形象和對(duì)比，分別畫(huà)出了三維圖和對(duì)應(yīng)的二維圖如下：3-1-1三維圖 3-1-2二維圖

18、 圖3-1是孤立行波解（3-23）的三維圖和二維圖其中，3-1-1是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的三維圖，3-1-2是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的二維圖。 3-2-1三維圖 3-2-2二維圖圖3-2是孤立行波解（3-23）的三維圖和二維圖其中，3-2-1是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的三維圖，3-2-2是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的二維圖。 3-3-1三維圖 3-3-2二維圖 圖3-3是無(wú)界行波解（3-26）的三維圖和二維圖其中，3-3-1是無(wú)界行波解（3-26）在參數(shù)條件的三維圖，3-3-2是無(wú)界行波解（3-26）在參數(shù)條件的二維圖。 3-4-1三維圖 3-4-2二維圖

19、圖3-4是無(wú)界行波解（3-26）的三維圖和二維圖其中，3-4-1是無(wú)界行波解（3-26）在參數(shù)條件的三維圖，3-4-2是無(wú)界行波解（3-26）在參數(shù)條件的二維圖。 3-5-1三維圖 3-5-2二維圖圖3-5是孤立行波解（3-32）的三維圖和二維圖其中，3-5-1是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的三維圖，3-5-2是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的二維圖。 3-6-1三維圖 3-6-2二維圖 圖3-6是孤立行波解（3-32）的三維圖和二維圖其中，3-6-1是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的三維圖，3-6-2是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的二維圖。 3-7-1三維圖 3-7-2二維圖 圖

20、3-7是周期行波解（3-37）的三維圖和二維圖其中，3-7-1是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的三維圖，3-7-2是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的二維圖。 3-8-1三維圖 3-8-2二維圖 圖3-8是周期行波解（3-37）的三維圖和二維圖其中，3-8-1是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的三維圖，3-8-2是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的二維圖。 3-9-1三維圖 3-9-2二維圖 圖3-9是周期行波解（3-43）的三維圖和二維圖其中，3-9-1是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的三維圖，3-9-2是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的二維圖。 3-10-1三維圖 3-10-2二維圖

21、 圖3-10是周期行波解（3-43）的三維圖和二維圖其中，3-10-1是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的三維圖，3-10-2是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的二維圖。第四章 小結(jié) 本文通過(guò)構(gòu)造輔助方程將求解非線(xiàn)性偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的問(wèn)題,借助-展開(kāi)法從而求出大量的廣義kdv-mkdv方程的精確行波解。在本文中對(duì)輔助方程積分時(shí)，由于涉及到討論,由此從大于零、等于零、小于零三種情況出發(fā)進(jìn)行討論得出對(duì)應(yīng)解的形式，本文共求出7個(gè)精確的行波解，其中有兩個(gè)解（3-31）和（3-40）相對(duì)簡(jiǎn)單為常數(shù)，所以沒(méi)有畫(huà)出相應(yīng)的圖像，其它的5個(gè)解（3-23）、（3-26）、（3-32）、（3-3

22、7）、(3-43)都畫(huà)出了對(duì)應(yīng)的三維圖和二維圖，并且每一個(gè)解都對(duì)應(yīng)取不同的參數(shù)畫(huà)出了一組圖像，從讓每個(gè)解的意義變得更形象。文章中獲得的結(jié)果,與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果相比,在解的形式上是不相同的。筆者認(rèn)為，本文的結(jié)果在廣義kdv-mkdv方程精確求解方面,起到了一定彌補(bǔ)性的作用,并具有一定的應(yīng)用前景,豐富了已有文獻(xiàn)的內(nèi)容。參考文獻(xiàn) 1 wadati m. introduction to solitons j. pramana: j.phys. 2001,57(56):841847. 2 wazwaz am.new solitary-wave special solutions with compact

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