人教版高中數(shù)學(xué)必修一《基本初等函數(shù)》之《冪函數(shù)》教學(xué)案

1、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式.2.結(jié)合冪函數(shù) y x，y x2， y x3，11， y x 2的圖象，掌握它們的性質(zhì) .3.能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小.y x知識點一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y x叫做冪函數(shù)，其中x 是自變量， 是常數(shù).思考(1)任意一次函數(shù)和二次函數(shù)都是冪函數(shù)嗎？若函數(shù)ymx是冪函數(shù)，m 應(yīng)滿足什么條件？(2) 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何區(qū)別？答(1) 并不是所有一次函數(shù)和二次函數(shù)都是冪函數(shù)，只有其中的y x 和 y x2 是冪函數(shù) .若ymx是冪函數(shù)，則必有m 1.(2) 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)不同點在于：冪函數(shù)形式為y x ( R)，其自變量x 處于

2、底數(shù)位置，常數(shù) 處于指數(shù)位置；而指數(shù)函數(shù)形式為 y ax(a0 且 a 1)，其自變量 x 處于指數(shù)位置，常數(shù) a 處于底數(shù)位置，且 a 須滿足大于 0 而且不等于 1.知識點二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)冪函數(shù)y xy x2311y xy x 2y x圖象定義域RRR0， )(， 0)(0， )值域R0， )R0， ) y|y R ，且 y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x 0， )增，增增x (0， )減，x (， 0減x (， 0)減定點(1,1)題型一冪函數(shù)的概念例 1(1) 已知 (2， 2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，求f(2)的值；2(2) 已知函數(shù)f(x) (a2 3a 3) xa -

3、5 a+ 5 ( a 為常數(shù) )為冪函數(shù)， 且在 (0， )上單調(diào)遞減， 求實數(shù) a 的值 .解(1)設(shè) f(x) x ， ( 2， 2)在 f(x)的圖象上，f(2) (2) 2， 2.故 f(x) x2， f(2) 224.(2) f(x)為冪函數(shù)， a2 3a 3 1，得 a 1 或 a 2.當(dāng) a 1時， f(x) x，在 (0， )上單調(diào)遞增，不合題意 .當(dāng) a 2時， f(x) x1，在 (0， )上單調(diào)遞減，符合題意 .綜上，得 a 的值為 2.反思與感悟1.冪函數(shù)的特點：系數(shù)為1，底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù) .2.當(dāng) 0 時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)0 時，冪函數(shù)在第一象限

4、內(nèi)單調(diào)遞減.跟蹤訓(xùn)練 1函數(shù) f(x) (m2 m 1) xm2+ m- 3 是冪函數(shù)，且當(dāng) x(0 ， )時， f( x)是增函數(shù)，求 f(x)的解析式 .解根據(jù)冪函數(shù)定義得，m2 m 1 1，解得 m 2 或 m 1，當(dāng) m 2 時， f(x) x3 在 (0， )上是增函數(shù)，當(dāng) m 1 時， f(x) x 3 在 (0， )上是減函數(shù)，不合題意. f(x)的解析式為 f(x) x3.題型二冪函數(shù)的圖象例 2如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)n在第一象限的圖象，已知1y xn 取 2， 四個值，2則相應(yīng)于 c1， c2， c3， c4 的 n 依次為 ()1， 1，2B.2 ，1，1， 2A.

5、2， 2 222C.1， 2， 2，1D.2 ，1， 2， 12222答案B解析考慮冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的增減性.注意當(dāng) n 0 時，對于 y xn， n 越大， y xn 遞增速度越快， n 0 時看 |n|的大小 .根據(jù)冪函數(shù)y xn 的性質(zhì)， 在第一象限內(nèi)的圖象當(dāng)n 0 時，n越大， y xn 遞增速度越快，故 c的 n 2， c的 n 1，當(dāng) n 0 時， |n|越大，曲線越陡峭，122所以曲線 c3的 n 1，曲線 c4 的 n 2，故選 B.2反思與感悟冪函數(shù)圖象的特征：(1) 在第一象限內(nèi)， 直線 x 1 的右側(cè)， 各冪函數(shù)圖象對應(yīng)的指數(shù)逆時針增大；在第一象限內(nèi)，直線 x 1 的左

6、側(cè)，指數(shù)也呈逆時針增大 .0，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；若減.(3) 圖象的凹凸性：在第一象限內(nèi)，當(dāng) 01，曲線下凹；當(dāng) 0，n0 ，由 x 1 右側(cè)指數(shù)逆時針增大，知n 1，由圖象上凸知 0 m1 ，故選 B.題型三比較冪的大小例 3比較下列各組數(shù)的大小 .55818(1)32和 3.12； (2)899；和 ( )9(3)( 31)2和 34；(4)(1)3 和 2 5 .43555解(1) 函數(shù) y x2 在 (0， )上為減函數(shù)，又33.12 .8111818818(2) 函數(shù) y x9在 (0， )上為增函數(shù)，又99，即 89)9.8，所以( )( )(9899 42) 22，函數(shù)

7、y x239 23 2(3)3 (3 9在(0 ， )上為減函數(shù)， 又)，即( )3444 4.1 3111 3(4)因為 ( )0，所以 ( ) 0 時， y x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，5 y x 9 在 x 0,1 上是增函數(shù) .5555設(shè) f(x) x 9 ， x 1,1，則 f( x) ( x) 9 x 9 f(x)， f(x) x 9 是奇函數(shù) .奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，5x 1,0 時， y x 9 也是增函數(shù) .5當(dāng) x 0 時， y 0，故yx 9 在 1,1上是增函數(shù)且是奇函數(shù).故選A.忽略冪函數(shù)定義致誤1例 5函數(shù) y (a2 1) x1a2是冪函數(shù)，求a 的取值范圍 .錯

8、解根據(jù)冪函數(shù)的定義y x ， 為常數(shù)，12知指數(shù)2有意義，有1 a 0，即 a 1，所以 a 的取值范圍是 a|a 1.正解根據(jù)冪函數(shù)的定義y x ， 為常數(shù)，知 a2 1 1，即 a 0，1此時指數(shù)2有意義，1 a所以 a 的取值范圍為0.易錯警示錯誤原因糾錯心得若給出的函數(shù)為冪函數(shù)，則此時該函數(shù)是形如y x的函錯解中只注意了指數(shù)要有意義，數(shù)，且具有如下特征：系數(shù)為 1； 底數(shù)為自變量； 指忽略了前面的系數(shù)應(yīng)為1.數(shù)為常數(shù) .這是我們解題的有效切入點，應(yīng)準(zhǔn)確把握.跟蹤訓(xùn)練 5 冪函數(shù) y (m2 m 1) xm2 2m 3 ，當(dāng) x (0， )時為減函數(shù)，求實數(shù)m 的值，并求函數(shù)的定義域 .

9、解 因為 y(m2 m 1) xm2 2m 3 為冪函數(shù)，所以 m2m 1 1，即 (m 2)(m 1) 0，所以 m2 或 m 1.當(dāng) m 2 時， m2 2m 3 3， y x3 是冪函數(shù)，且在 (0， )上是減函數(shù) . 當(dāng) m 1 時， m2 2m 30， y x0 1(x 0)不是減函數(shù)，所以 m2，此時 y x 3.所以函數(shù)的定義域是 x|x R 且 x 0.1.下列給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是()A. y 3xB. y2x33D. yx3 1C.y x答案C22k 的值為 ()2.若函數(shù) y (k k5)x 是冪函數(shù)，則實數(shù)A.3B.2 C.3 或 2D.k 3 且 k 2答案C解析

10、由冪函數(shù)的概念可知 k2 k5 1，即 k2 k 6 0，得 k 2，或 k 3.23.冪函數(shù) f(x) x 3 的大致圖象為 ()答案B22解析由于 f(0) 0，所以排除 C， D 選項，而 f( x) (x) 3 3 x2 3 x2 x 3 f( x)，且 f(x)的定義域為 R，所以 f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對稱 .故選 B.4.設(shè) f(x) (m 1) xm2 2，若 f(x)為正比例函數(shù)， 則 m _；若 f(x)是反比例函數(shù)， 則 m _；若 f(x)是冪函數(shù)，則 m _.答案3122解析f(x)( m 1) xm2 .m 1 0，若 f(x)是正比例函數(shù)，則 m 3.

11、2m 2 1，若 f(x)是反比例函數(shù)，則m 1 0，m1，2即 2 1，m 2 1，mm 1.若 f(x)是冪函數(shù)，則m 11， m 2.13135， b535.若 a ( )( )， c ( 2) ，則 a， b， c 的大小關(guān)系為 _.25答案a b c3解析 y x 5 在 (0， )上為增函數(shù) .3 3 ( 12) 5 (15) 5 ，即 a b 0.而 c ( 2)3 23 0， a b c.1.冪函數(shù)y x 的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量 .2.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律在第一象限內(nèi)直線x1 的右側(cè)， 圖象從上到下， 相應(yīng)的指數(shù)由大變

12、??；在直線 x 1 的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變小.3.簡單冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在 (0， )上都有定義，并且當(dāng)自變量為1 時，函數(shù)值為1，即 f(1) 1.(2)如果 0，冪函數(shù)在 0， )上有意義，且是增函數(shù) .(3) 如果 0，冪函數(shù)在 x 0 處無意義，在 (0， ) 上是減函數(shù) .一、選擇題1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()A. y 5xB. yx5C.y 5xD. y(x1) 3答案B解析函數(shù) y 5x 是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y 5x 是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y(x1)3 的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)y x5 是冪函數(shù) .2.已知冪函數(shù) f(x)的圖

13、象經(jīng)過點2 ，則 f(4) 的值為 ()2， 211A.16 B. 16C.2D.2答案C2，解得 a 1，即 f(x) x11解析設(shè) f(x) xa，則有 2a2 ，所以 f(4) 42 1.2223.設(shè) 1， 1， 1，3，則使函數(shù) yx的定義域為 R 且為奇函數(shù)的所有值為 ()2A.1,3B. 1,1C. 1,3D. 1,1,3答案A解析可知當(dāng) 1,1,3 時， y x為奇函數(shù)，又 y x的定義域為 R，則 1,3.2322325， b5 ， c5 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 ()4.設(shè) a 555A. a bcB. ca bC.a bcD. b c a答案C解析 函數(shù) y2 x

14、325在 R 上是減函數(shù)，又 ，55 23225 5 ，即 a b.55232，又 函數(shù) yx 5在 R 上是增函數(shù)，且55322255，即 c b， a b c.5515.函數(shù) y x 3的圖象是 ()答案B1解析函數(shù)yx 3 是冪函數(shù)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象恒過定點(1,1) ，排除A、D.當(dāng)x111時， xx 3 ，故冪函數(shù)y x 3 圖象在直線y x 的下方，排除C.6.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同， 但其定義域不同，2那么函數(shù)解析式為f(x) x ，值域為 1,4 的“同族函數(shù)”共有則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”.()A.7個B.8 個C.9 個D.無數(shù)個答案C解析值域為 1,4

15、 ， 其定義域由1， 1,2， 2 組成， 有 1,2 ，1 ， 2 ， 1,2 1， 2 ， 1 ， 1， 2 ， 1 ， 1,2 ， 1,2 ， 2 ， 1,2， 2 ， 1 ， 1,2， 2 ，共有 9種情況 .二、填空題7.已知冪函數(shù) f(x) xm 的圖象經(jīng)過點 (3，1)，則 f(6) _.3答案136依題意 1 (m解析3)m 3 2 ，3m所以2 1，m 2，221所以 f( x) x，所以 f(6) 6.8.若 y xa 2 4 a 9 是偶函數(shù)，且在 (0， )內(nèi)是減函數(shù)，則整數(shù)a 的值是 _.答案1,3,5， 1解析由題意得， a2 4a 9 應(yīng)為負(fù)偶數(shù)，即 a2 4a

16、9(a 2)213 2k(kN * )，(a 2)2 13 2k，當(dāng) k 2 時， a 5 或 1；當(dāng) k6 時， a3 或 1.19.已知冪函數(shù)f(x) x 2 ，若 f(102a)f(a 1)，則 a 的取值范圍是 _.答案(3,51解析因為 f(x) x 2 x(x 0)，易知 f( x)在 (0， )上為增函數(shù)，又 f(10 2a)10 2a，a3.所以 3a5.10.冪函數(shù) f(x) (m2 m 1)x2m 3 在 (0， )上是減函數(shù)，則實數(shù)m _.答案 1解析22m3為冪函數(shù)， f(x) (m m 1)xm2 m 1 1，m 2 或 m 1.當(dāng) m 2 時， f(x) x，在 (

17、0， )上為增函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng) 5m 1 時， f(x) x，符合題意 .綜上可知， m 1.三、解答題11.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點 (25,5).(1) 求 f(x)的解析式；(2) 若函數(shù) g(x)f(2 lg x)，求 g(x)的定義域、值域 .解(1)設(shè) f(x) x ，則由題意可知25 5，11， f(x) x 2 .2(2) g(x) f(2 lg x) 2 lg x，要使 g(x)有意義，只需 2 lg x 0，即 lg x 2，解得 0 x 100. g(x)的定義域為 (0,100 ，又 2 lg x 0， g(x)的值域為 0， ).12.已知函數(shù)f(x) (

18、a2 a 1)xa 1 為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1) 求 a 的值；2 1(2) 求函數(shù) g(x)f(x) f(x) 在0， 2 上的值域 .解 (1) 因為函數(shù) f(x) (a2 a 1)xa1 為冪函數(shù)，所以 a2 a 1 1，解得 a 0 或 a 1.當(dāng) a 0 時， f(x) x，函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)a1 時， f(x) x2，函數(shù)是偶函數(shù).故 a 0.2 1 2 1(2) 由 (1)知 g(x) x x (x 2) 4.當(dāng) x 0 時，函數(shù)取得最小值11113.g(0) 0；當(dāng) x 時，函數(shù)取得最大值g( ) 2224413故 g(x) 在區(qū)間 0，上的值域為 0， .2413.已知冪函數(shù) f(x) (m 1)2 xm2 4 m