不等式和絕對值不等式

1、例 31 若 xy0 ，試比較x2y2xy 與x2y2xy 的大小2 設 a 0 ， b 0 ，且 a b ，試比較 aa bb 與 abba 的大小 .a b22 b2a變式：（ 1） ab22（ 2） a2b2c2ab bc ac（ 3）若 b0，則 a2b 2ab例 1若 a,b, cR ，求證： a2b2c2a b cbca探究 2：基本不等式（均值不等式）1. aba b (a 0, b 0) （當且僅當 ab 時取“”），其中 a b 和 ab 分別22叫做正數(shù)a,b 的算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)3推廣：若 a 0, b 0 , 則有 “ ”）例 2已知 x, y 都是正數(shù)2ababa

2、 ba2b2（當且僅當 ab 時取a b22如果 xy是定值p ，那么當xy 時，和 xy有最小值2p ；1如果和 x y 是定值 s ，那么當 xy 時，積有最大值1s24利用基本不等式求最值應注意: x,y 一定要都是正數(shù) ; 求積 xy 最大值時 , 應看和 x+y 是否為定值 ; 求和 x+y 最小值時 , 看積 xy是否為定值 ;等號是否能夠成立 .以上三點可簡記為“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值時 ,一定要檢驗等號是否能取到, 若取到等號 , 則解法是合理的 , 若取不到 ,則必須改用其他方法 .例 3 (1) 設 x 0, y 0且 x 2 y1，求 1 1 的最小值

3、.；x y(2) 設 x、y 是正實數(shù)，且 x+y=5, 則 lgx+lgy 的最大值是_.(3) 若正數(shù) a,b 滿足 ab a b 3 ，則 ab 的取值范圍是（ 2）利用（ 1）的結論求函數(shù)f ( x)29（ x (0, 1 ) ）的最小值，指出取x 12x2最小值時 x 的值變式訓練 2：（ 1）已知 x5，求函數(shù) y4 x 21的最大值。44 x5242x 的最小值 .（ 2）求函數(shù) y2sinsinx（ 3）已知 0x1 ，求函數(shù) y=x(1-3x) 的最大值。3（ 4）已知 x0,1 ，求函數(shù)yx43x2 的值域。（ 5）已知 x , y R+, 且 3x 2 y4，求 32 的

4、最小值 .x3 y（ 6）兩個正數(shù) x, y 滿足 x y4 ，求使不等式 14 m 恒成立的實數(shù)m的xy取值范圍。（ 7）設 xR 且 x 2y 21 ，求 x 1y2 的最大值 .23例 6已知x, y, z R ,求證：(1) ( x y z)327xyz; (2)( xyz)( yzx ) 9 ; (3) ( x y z)(x2y2z2 ) 9xyzyzx xyz例 8（ 1）求函數(shù) y 2x 2 3,( x0) 的最大值。 1xx（ 2）設 x,27 ，求 y log 3log 3 (3x) 的最大值9271求下列函數(shù)的最值求 y6（ 1） x0 時 ,x 23 x 的最小值（ 2）若4 x 1，求 x 22x 2 的最小值2x 2（ 3）已知 x 3y20 ，求 3x2