第七章參數(shù)估計(jì)

1、第七章 參數(shù)估計(jì)7.1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 7.2 估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)一、 填空題1矩估計(jì)法是通過 參數(shù) 與 總體矩 的聯(lián)系，解出參數(shù)，并用 樣本矩 代替 總體矩 而得到參數(shù)估計(jì)的一種方法；2極大似然估計(jì)法是在 總體分布形式 已知情況下的一種點(diǎn)估計(jì)方法；3設(shè)是正態(tài)總體的一個樣本，則的極大似然估計(jì)為 ；總體方差的矩估計(jì)為 ；4.設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量，若，則稱為的無偏估計(jì)量；5設(shè)為總體的一個樣本，則總體均值的無偏估計(jì)為 ；總體方差的無偏估計(jì)為 ；6.設(shè)總體服從二項(xiàng)分布已知，是來自的樣本，則的極大似然估計(jì)量為；解 ， ， ，令得到。7.在天平上重復(fù)稱量一重為的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，若

2、以表示次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使，的最小值應(yīng)不小于自然數(shù)16。解 ，所以 ，解得所以只需，得到。二、 計(jì)算下列各題1. 設(shè)來自指數(shù)分布的一個樣本，試求的矩估計(jì)。解 ，令，所以的矩估計(jì)為。2. 設(shè)總體的密度函數(shù)為，是取自的簡單隨機(jī)樣本，（1）求的矩估計(jì)量；（2）求的方差。解 （1）因?yàn)?令即，所以的矩估計(jì)量為； （2）由于 所以。3. 設(shè)總體服從兩點(diǎn)分布（-分布），為未知參數(shù)，。是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，試求未知參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解 (1) ，所以的矩估計(jì)； 。4. 設(shè)總體的密度函數(shù)為，其中是未知參數(shù)，是來自該總體的一個簡單隨機(jī)樣本，試求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。解（1）矩法

3、 ，令，則，所以的矩估計(jì) ；（2）極大似然法 ，故， 并且令，解得。5. 設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布總體的一個樣本，試求的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量。解 （1）總體的分布律為，因?yàn)?，所以令，得到的矩估計(jì)量為；（2）樣本的似然函數(shù)為，則，令，解得的極大似然估計(jì)量為。6. 設(shè)總體其中未知，為其子樣，試證下述統(tǒng)計(jì)量：, ,都是的無偏估計(jì)，并指明哪個估計(jì)“最好”。證 同理可得, 故均為的無偏估計(jì)。又同理可得 , , , 故最好。7.(1)設(shè)是來自總體的樣本，試證是的無偏估計(jì)量； （2）試證在的一切形為的估計(jì)中，為最有效的。 證 （1）因?yàn)?，所以是的無偏估計(jì)； (2)，下面求函數(shù)在條件下的極小值點(diǎn)。為此令

4、，令解得，得，從而得，從而證明了最有效。8. 設(shè)為正態(tài)總體的一個樣本，試適當(dāng)選擇，使為的無偏估計(jì)。解 ，。 9.設(shè)是參數(shù)的兩個相互獨(dú)立的無偏估計(jì)，且，找出常數(shù)使也是的無偏估計(jì)，并且使它在所有的這種形狀的估計(jì)量中方差最小。解 要使,只需 即可；，即求最小值，且。設(shè) ，令, 解得。10.設(shè)分別來自總體和中抽取容量為的兩獨(dú)立樣本，其樣本方差分別為，試證，對于任意常數(shù)，都是的無偏估計(jì)，并確定常數(shù)使達(dá)到最小。證 因?yàn)閷τ谡龖B(tài)分布來說，樣本方差為其總體方差的無偏估計(jì)，即，而，所以 是的無偏估計(jì)。又因?yàn)?，所以，所以由二次函?shù)性質(zhì)知，當(dāng)時取最小值。這時，所以 當(dāng)，時取最小。11.設(shè)某產(chǎn)品的壽命的概率密度為，是

5、測得個樣品的壽命，試求（1）的矩估計(jì)量；（2）的極大似然估計(jì)量。解 （1）由已知， ， 令，解得 ，其中； （2）似然函數(shù) ，所以，因?yàn)椋允堑膯握{(diào)增函數(shù)，所以，故當(dāng)時，取得最大值，故應(yīng)取。又令得，當(dāng)時，由，知在處達(dá)到最大，故有，從而得的極大似然估計(jì)量為，7.3 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、填空題1. 設(shè)由來自正態(tài)總體，容量為的樣本，得樣本均值，則未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間是 ；2.方差未知時,數(shù)學(xué)期望的置信度為的置信區(qū)間是；2. 方差的置信度為的置信區(qū)間為 ；4. 設(shè)是取自正態(tài)總體的樣本，其中和都是未知參數(shù)，的置信度為的置信上限為 ；5.設(shè)總體，是來自的樣本，總體是來自的樣本，為已知常數(shù)，兩個樣本

6、相互獨(dú)立，則的置信度為的置信區(qū)間為。二、計(jì)算下列各題1. 某種零件的長度服從正態(tài)分布，已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差，從總體中抽取200個零件組成樣本，測得它們的平均長度為8.8cm，試估計(jì)在95%置信度下，全部零件平均長度的置信區(qū)間。解 ，對應(yīng)于,所以 ，查表得 ， 因而置信區(qū)間為，即。2. 某縣1996年進(jìn)行的一項(xiàng)抽樣調(diào)查結(jié)果表明：調(diào)查的400戶農(nóng)民家庭每人每年的化纖布消費(fèi)量為3.3m。根據(jù)過去的資料可知總體方差為0.96，試以95%的置信度估計(jì)該縣1996年農(nóng)民家庭平均每人化纖布消費(fèi)的置信區(qū)間。解，對應(yīng)于, 查表， 置信區(qū)間為。3. 抽查食鹽的包裝重量，得重量(g)如下：506, 508, 499,

7、503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496設(shè)袋裝重量服從正態(tài)分布，試求總體均值與方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 （1） ，所以的置信區(qū)間為即 ；（2）由，查表得，方差的置信區(qū)間。4. 某車間生產(chǎn)銅絲，設(shè)銅絲折斷力服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取出10根，檢查折斷力，得數(shù)據(jù)如下：578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584，求銅絲折斷力方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 因?yàn)?，這里，查自由度為10-1=9的分布表，得，從而 所以銅絲折斷力方差的置信度為0.95的

8、置信區(qū)間為（35.87, 252.44）。5. 已知兩個總體，方差已知，容量為，求的置信度為的置信區(qū)間。解 , , ， , ，所以 ，所以所求置信區(qū)間為 。6.分別使用金球和鉑球測定引力常數(shù)（單位：）， 用金球測定觀察值為6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672 用鉑球測定觀察值為6.661，6.661，6.667，6.667，6.664. 設(shè)測定值總體為，均為未知，但有，求兩個測定值總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間。解 由題意知：總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間為 ，這里，本題中，查表得，代入上述區(qū)間得總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間為。7.某

9、廠利用兩條自動化流水線灌裝番茄醬，分別從兩條流水線上抽取樣本：及，算出。假設(shè)這兩條流水線上裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布， 相互獨(dú)立，其均值分別為，（1）設(shè)兩總體方差，求的置信度為0.95的置信區(qū)間； （2）求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 （1）由于 ， 對，查分布表得，于是有 ，因此的置信度為0.95的置信區(qū)間上，下限分別為， 和， 所以的置信區(qū)間為； （2）由于，對于給定的置信水平， 即 ，的置信區(qū)間為。 由分布表對，查得，因此的置信度為0.95的置信區(qū)間為。8.設(shè)某種清漆的9個樣品，其干燥時間（單位：小時）分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，

10、設(shè)干燥時間總體服從正態(tài)分布，在下列兩種情形下求的置信度為0.95的單側(cè)置信上限，（1）由以往經(jīng)驗(yàn)知（小時）；（2）若為未知。解 （1） 當(dāng)已知時，于是即 于是，的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間為，則為其單側(cè)置信上限。此時，查表得，代入上式得； （2）方差未知，此時，于是得，此處，查表得，代入上式得。9. 設(shè)兩位化驗(yàn)員a,b獨(dú)立地對某種聚合物含量用相同的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為。設(shè)分別為a,b所測定的測定值總體的方差，設(shè)總體均為正態(tài)的，求方差比的置信度為0.95的置信上限。解 這時，于是，由此得，的置信度為0.95的單側(cè)置信上限為，查表得，將代入上式得的置信上限為2.84。10.設(shè)是來自