點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡 符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者 說(shuō)，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合， 叫 做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.“動(dòng)點(diǎn)路徑”是一個(gè)比較抽象的問(wèn)題，但在高 中解析幾何中的學(xué)習(xí)是非常有用的， 也是非常重 要的。在研究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可以在運(yùn)動(dòng)中尋找不 變的量，即不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系.如果動(dòng) 點(diǎn)的軌跡是一條線段，那么其中不變的量便是該 動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離始終保持不變；如果動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是一段圓弧，那么其中不變的量便是該動(dòng) 點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)的距離始終保持不變. 因此，解決 此類(lèi)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題便可轉(zhuǎn)化為尋找變量與不變 的關(guān)系。常用的基本軌跡：1、如圖，已知AB=1Q P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)

2、， 分別以APPB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊 ACP 和厶PDB連接CD設(shè)CD的中點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從 點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是 變式1、（2010桂林）如圖：已知 AB=10點(diǎn)CD在線段 AB上且AC=DB=2 P是線段CD上的動(dòng) 點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊 AEP和等邊 PFB連接EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G; 當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的 長(zhǎng)是.變式2、如圖：已知AB=10點(diǎn)C D在線段AB上且AC=DB=2 P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以 AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形 APEF和 正方形PBGH點(diǎn)0和Q是這兩個(gè)正方形的中心， 連接QQ,設(shè)0

3、Q的中點(diǎn)為Q當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn) 動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)Q移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是.2、如圖，已知線段 AB=1Q AC=BD=2點(diǎn)P是CD線段0102中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)是 母題：若x t 3 , y 5 t，則y與x之間的關(guān)系是3、如圖 1,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6BC=8動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè) 單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊 CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò) 點(diǎn)P作PD/ BC交AB于點(diǎn)D,連接PQ分別從點(diǎn) A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一 點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t 0).(1) 直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB= ， PD= (

4、2) 是否存在t的值，使四邊形PDB(為菱形？ 若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.并 探究如何改變Q的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形 PDB(在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn) Q的速度；(3) 如圖2,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段 PQ 中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).乩1t 0變式1:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的兩邊OA OC分別在x軸、y軸的正半軸上， OA4, OC= 2點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá) 點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒將 線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得 點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接 DP DA變式2:如圖，邊長(zhǎng)

5、為4的等邊三角形AOB勺頂點(diǎn)0在 坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限.一 動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t 秒.將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得 點(diǎn)C,點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接CP CA過(guò)點(diǎn)P 作PDL 0B于點(diǎn)D.（1）填空：PD的長(zhǎng)為用含t的代數(shù)式表示）；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示)；(3)在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， PCA能否成為直角三角形？求t的值若不能，說(shuō)理由;(4)填空：在點(diǎn)P從0向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為x4、在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上, AB= 以，AP=1將

6、直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊 分別交AB, BC于點(diǎn)E, F,連接EF (如圖).當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如 圖2）,則PC的長(zhǎng)為；（2）將直角尺從圖2中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過(guò)程中， 從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線 段）長(zhǎng)為。變式、如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（2, 4）, B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿B0向終點(diǎn)0運(yùn) 動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).兩 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā) 起運(yùn)動(dòng)了 x秒.（1）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（_ （用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)x為何值時(shí)， APQ是一個(gè)以AP為腰

7、的 等腰三角形？（3）記PQ的中點(diǎn)為G.請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)G隨點(diǎn) P, Q運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線的長(zhǎng)度.5、如圖，OALOB垂足為O, P、Q分 別是射線OA OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C 是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ=4則動(dòng)點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是。變式、某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究， 已知AB=8.問(wèn)題思考：如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以 AP、BP 為邊在同側(cè)作正方形APDC BPEF(1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？ 若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面積之和 的最小值.問(wèn)題拓展：(2) 如圖2,以AB為邊作正方形ABCD動(dòng)點(diǎn)P、Q在正 方形ABCD勺邊上

8、運(yùn)動(dòng)，且PQ=8若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿 A-B-C-D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn) 動(dòng)過(guò)程中，PQ的中點(diǎn)0所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng).(3) 如圖3,在“問(wèn)題思考”中，若點(diǎn) M N是線段AB 上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1點(diǎn)G H分別是邊CD EF的中點(diǎn)， 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GH的中點(diǎn)0所 經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)及0M+0的最小值.&等邊三角形ABC勺邊長(zhǎng)為6,在AC, BC邊上各取一點(diǎn)E,F,連結(jié)AF BE相交于點(diǎn)P.1）若AE=CF求證：AF=BE并求/ APB的度數(shù).2）若AF=BE當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)9、（2018達(dá)州中考16） 6、如圖，在Rt ABC

9、中, / ACB=90 , AC=2 BC=5 點(diǎn) D是 BC邊上一點(diǎn) 且CD=1點(diǎn)P是線段DB上一你動(dòng)點(diǎn)。連接AP, 以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt AOP當(dāng)點(diǎn) P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)路 徑長(zhǎng)為。(南京)8如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)是2, M 是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B停止連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F,過(guò)M 作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G,連結(jié)EG FG(1) 設(shè)ABx時(shí)， EGF的面積為y，求y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍；(2) P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線 的長(zhǎng).如圈1,在矩形榭中，沖“宀= 點(diǎn)恵從點(diǎn)號(hào)岀艮 沿

10、必邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G連結(jié)場(chǎng)，過(guò)點(diǎn)於勵(lì)的垂 線交沖肝點(diǎn)鳳0）求彳正，盤(pán)曲FE 丄貞求助的最大值；如圖2,在點(diǎn)J3的運(yùn)動(dòng)過(guò)程口，以也力邊，在附土方作等邊乂求邊 M 中點(diǎn)打所經(jīng)過(guò)的爵徑長(zhǎng).閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1, ABC中，/ ACB =30o,BC=6,AC=5,在厶 ABC內(nèi)部有一點(diǎn) P,連接 PA.PB.PC,求 PA+PB+P的最小值.小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想 辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后 再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn),這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”，就可 以求出這三條線段和的最小值了.他先后嘗試了翻折.旋轉(zhuǎn).平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決 這個(gè)問(wèn)題他的做法是，如圖2,將厶APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o,得到 EDC連接PD.BE則BE的 長(zhǎng)即為所求.(1) 請(qǐng)你寫(xiě)出圖2