大學結構力學第6章靜定結構位移

1、1,靜定結構的位移計算,第六章,6-1 概述,6-2 變形體虛功原理及位移計算一般公式,6-3 支座移動和溫度變化時的位移計算,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,6-5 圖乘法,6-6 互等定理,6-7 結構位移計算公式的另一種推導,2,6-1 概述,一、靜定結構的位移,靜定結構在荷載、溫度變化、支座移動以及制造誤差等因素作用下，結構的某個截面通常會產生水平線位移、豎向線位移以及角位移。,1. 截面位移,桁架受荷載作用,剛架受荷載作用,3,2. 廣義位移,通常把兩個截面的相對水平位移、相對豎向位移以及相對轉角叫做廣義位移。,a),支座B下沉,溫度變化,4,b),c),相對豎向位移,相對水

2、平位移,5,A左、右截面相對轉角,e),d),6,次梁跨中撓度 主梁跨中撓度 樓蓋跨中撓度 吊車梁跨中撓度,二、位移計算的目的,1）驗算結構的剛度,7,2）為超靜定結構的內力和位移計算準備條件,求解超靜定結構時，只利用平衡條件不能求得內力或位移的唯一解，還要補充位移條件。,12kN,7.5kN.m,9kN.m,2m,2m,A,B,8,三、實功和虛功：,1. 實功,力 在由該力引起的位移 上所作的功稱為實功。即,右圖中，外力是從零開始線性增大至 ，位移也從零線性增大至 。 也稱為靜力實功。,9,2. 虛功,力FP在由非該力引起的位移上所作的功叫作虛功。,10,實功：,虛功：,虛功強調作功的力與位

3、移無關。,11,6-2 變形體虛功原理及位移計算一般公式,一、 變形體虛功原理,定義：設變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設該變形體由于其它原因產生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應力的合力在變形上作的內虛功Wi ，即W=Wi 。,12,下面討論W及Wi 的具體表達式。,13,14,外力虛功：,微段ds的內虛功dWi：,整根桿件的內虛功為：,15,根據虛功方程W=Wi，所以有：,結構通常有若干根桿件，則對全部桿件求總和得：,16,17,變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設平衡力系求位移; 虛位移原理：虛設位移求未知力。 用變形體

4、虛力原理求靜定結構的位移，是將求位移這一幾何問題轉化為靜力平衡問題。,二、位移計算的一般公式,所以,在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載 ，則虛功方程為 ：,18,下面以圖示剛架為例對位移計算的一般公式加以具體說明。,給定位移、變形,虛設平衡力系,1. 欲求 ，則在C截面加上豎向單位載荷 ，則該靜定剛架就產生了一組平衡力系。,19,2. 位移計算一般公式 外力虛功 內虛功 所求位移,給定的位移和變形。力和位移無關。,20,2）正負號規(guī)則： 若 及 使桿件同側纖維伸長，則乘積為正，反之為負； 乘積 及 的正負號分別由力與應變的正負號確定。 使隔離體產生順時針轉動為正，反之為負， 以順時針方

5、向為正，反之為負； 以拉力為正，壓力為負， 以拉應變?yōu)檎?，壓應變?yōu)樨摚?若 與 同向，則乘積 為正，反之為負。,21,4）根據所求位移的性質虛設相應的單位載荷。,圖示單位荷載分別求位移,5）求位移步驟如下： 沿擬求位移方向虛設性質相應的單位載荷； 求結構在單位載荷作用下的內力和支座反力； 利用位移計算一般公式求位移。,22,例6-2-1 已知桿AB和BC在B處有折角 (見圖a)，求B點下垂距離 。,a),1）將制造誤差明確為剛體位移，即在B截面加鉸，見圖b)。,解：,23,2）虛設平衡力系如圖c)所示。運用虛功方程W=0得：,1/3,24,例6-2-2 已知桿AB在B左、右截面有豎向相對錯動

6、見圖a) ，求 。,25,解： 1）將制造誤差明確為剛體位移，將截面B變?yōu)榛瑒勇摻Y，見上頁圖 b)。 2）虛設平衡力系如圖c）所示 。運用虛功方程W=0得：,26,例6-2-3 已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度 。,解：虛設平衡力系如圖所示，運用變形體虛功方程 得：,給定位移,虛設平衡力系,27,三、廣義位移的計算,求圖a）結構A、B截面相對水平位移 。,+,a) 給定位移,28,虛設單位載荷如上圖c) ，d)所示。,由上圖b)可得：,所以得：,29,所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質與所求位移相應的單位荷載即可。,下面給出幾種情況的廣義單位

7、荷載：,30,2),31,例6-2-4 因溫度變化底板AB彎曲成半徑R=10m之圓弧狀，求截面C、D的相對水平位移 。,給定位移,虛設平衡力系,在截面C、D上加一對大小相等 、方向相反、 沿水平方向的單位荷載如圖所示。,解：,32,注意，AC、BD桿無彎曲變形。,33,6-3 支座移動和溫度變化時的位移計算,一、支座移動時的位移計算,若靜定結構只有支座移動而無其他因素作用，則結構只產生剛體位移而無變形，故對于桿件的任意微段，應變 均為零。所以支座移動時的位移計算公式為：,34,例6-3-1 已知剛架支座B向右移動a,求 。,解：,1）求,求,35,2）求,3）求,36,二、溫度變化時的位移計算

8、,靜定結構在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結構不產生內力。,1. 是溫度改變值，而非某時刻的溫度。,37,2. 溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。,截面上、下邊緣溫差：,對于矩形截面桿件， ， 。,桿軸線處溫度改變值 ：,38,3. 微段ds的應變,拉應變,彎曲應變,剪應變,4. 位移計算公式,39,小結：,2）,40,解：,41,42,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,一、 基本公式,求下圖示結構在荷載作用下的位移 。,43,若結構只有荷載作用，則位移計算一般公式為：,上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，,即體系是線性彈性體。,44,正負號規(guī)則：,45,若結構除荷載外，還有

9、支座移動和溫度變化，則位移計算公式為：,2） 和 以拉力為正，壓力為負；,3） 和 的正負號見下圖。,46,二、各類結構的位移計算公式,1. 梁和剛架,在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產生的位移可以忽略，故位移計算公式為：,在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。,對于深梁，即h/l 較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。,47,2. 桁架,桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：,4. 拱,拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：,3. 組合結構,用于彎曲桿,用于二力桿,48,例6-4-1 求簡支梁中點豎向位移 ，并討論剪切變,形對位移的影響。,49,解：,50,若桿截面為矩形

10、，則k=1.2；又=1/3，則E/G=2(1+ )=8/3，I/A=h2/12。,若h/l=1/10，則,h/l=1/2， 則,可見，剪切變形的影響不能忽略。,51,6-5 圖乘法,圖乘法是一種求積分的簡化計算方法，它把求積分的運算轉化為求幾何圖形的面積與豎標的乘積的運算。,一、圖乘法基本公式,52,53,說明： 1）條件：AB桿為棱柱形直桿，即EI等于常數；Mi與Mk圖形中有一個是直線圖形。 2）y0與的取值： y0一定取自直線圖形， 則取自另一個圖形，且取的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。 3）若y0與在桿軸或基線的同一側，則乘積y0取正號；若y0與不在桿軸或基線的同一側，則乘積y0

11、取負號。,54,二、 常見圖形的幾何性質,55,三 、 圖乘法舉例,運用圖乘法進行計算時,關鍵是對彎矩圖進行分段和分塊,尤其是正確的進行分塊。,56,分段 圖均應分為對應的若干段，然后進行計算。,57,分塊只對 或 中的一個圖形進行 分塊，另一個圖形不分塊。,58,例6-5-1 求 。,解：,作 圖 圖，如上圖所示。,分段： ， 分為AC、CB兩段， 分塊： 圖的CB段分為兩塊。,MP,59,此題還可以這樣處理：先認為整個AB桿的剛度是 ，再加上剛度為 的AC段，再減去剛度為 的AC段即可。,60,例6-5-2 求 , EI等于常數。,解：,作 圖 圖，如右圖所示。,分段： ， 分為AC、CB

12、兩段。 分塊： 圖的AC段分為兩塊。,61,如果將AC段的 圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。,圖,例6-5-3 求 , EI等于常數。,作 圖 圖，如下頁圖所示。,解：,62,63,例6-5-4 求 , EI等于常數。,解：,作 圖及 圖， 如右所示。,分段： ， 分 為AB、BC兩段。 分塊： 圖的 BC段分為兩塊。,64,65,例6-5-5 求CH，EI等于常數。,解：,作MP圖和 圖見下頁圖。 分塊：MP圖的AB段分為兩塊。,66,67,6-6 互等定理,互等定理適用于線性變形體系，即體系產生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。,一、 功的互等定理,功的互等本質上是虛功互等。,下圖給出狀態(tài)

13、I和狀態(tài)II。,68,69,同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：,所以,即,70,定理 在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。,二、 位移互等定理,定理 在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應的位移影響系數21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數12。 即 12= 21,即,71,由功的互等定理可得：,在線性變形體系中，位移ij與力FPj的比值是一個常數，記作ij，即：,或,于是,所以,72,73,例6-6-1 驗證位移互等定理。,解：,74,所以,例6-

14、6-2 驗證位移互等定理。,75,解：,所以,76,三、反力互等定理,反力互等定理只適用于超靜定結構，因為靜定結構在支座移動時只產生剛體位移，其內力和支座反力均等于零。,根據功的互等定理有：,77,在線性變形體系中，反力FRij與Cj的比值為一常數，記作rij，即,或,所以,得,說明： rij 也稱為剛度系數，即產生單位位移所需施加的力。其量綱為 。 i 產生支座反力的方位； j 產生支座移動的支座。,78,例6-6-3 驗證反力互等定理。,可見：r12=r21,定理 在任一線性變形體系中，由位移C1引起的與位移C2相應的反力影響系數r21等于由位移C2引起的與位移C1相應的反力影響系數r12

15、。,79,四、位移反力互等定理,根據功的互等定理有：,令,上述支座可以是其它種類的支座，則支座位移、支座反力應與支座種類相應。,80,位移反力互等定理在混合法中得到應用。,所以,由此得到,即,定理 在任一線性變形體系中，由位移C2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數 在絕對值上等于由荷載FP1引起的與位移C2相應的反力影響系數 ，但二者符號相反。,81,例6-6-4 驗證位移反力互等定理。,82,6-7 結構位移計算公式的 另一種推導,本節(jié)討論問題的思路是：先導出局部變形時的位移公式，然后運用疊加原理，導出結構位移計算的一般公式。,一、 局部變形時靜定結構的位移計算公式,先討論三個例題。,例6

16、-7-1 下圖示懸臂梁B左右截面有相對轉角，試求A截面豎向位移。,83,令虛設平衡力系在實際位移上做虛功，可得出：,解：,84,b,在截面B上加上滑動連結，把實際位移表示為剛體位移。在截面A沿方向加上單位荷載，在B左右截面虛設一對剪力 如圖所示。顯然：,令虛設平衡力系在實際位移上做虛功，可得出：,解：,例6-7-2 圖示懸臂梁B截面有相對剪切位移 ，試求A截面沿 方向位移。,85,在截面B上加上軸向連結，把實際位移表示為剛體位移。在截面A沿方向加單位荷載，在B左右截面虛設一對軸力 如圖所示。顯然：,令虛設平衡力系在實際位移上做虛功，可得出：,解：,C,例6-7-3 圖示懸臂梁B截面有相對軸向位移 ，試求A截