《數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維》PPT課件.ppt

1、,數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維,北京航空航天大學(xué) 李心燦,引言 全國(guó)科技大會(huì)上指出： “創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力。一個(gè)沒有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林?！?“建立創(chuàng)新型國(guó)家?！?教育部的一個(gè)報(bào)告指出： “實(shí)施素質(zhì)教育重點(diǎn)是改變教育觀念，尤其是要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造精神為主?！?恩格斯指出： “一個(gè)民族要想站在科學(xué)的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！?創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動(dòng)是在相應(yīng)的創(chuàng)造性思維的支配下，所進(jìn)行的一種積極的能動(dòng)的活動(dòng)。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動(dòng)的核心和靈魂。,R培根指出： “數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙?！?HG格拉斯曼說(shuō)： “數(shù)學(xué)除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現(xiàn)真理

2、外，它還有另一個(gè)訓(xùn)練全面考查科學(xué)系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能?！?NA考特認(rèn)為： “數(shù)學(xué)是人類智慧王冠上最燦爛的明珠?！?KL米斯拉指出： “數(shù)學(xué)是代表人類抽象思維方面的最高成就和勝利?！?著名的數(shù)學(xué)家A賽爾伯格指出：“數(shù)學(xué)的內(nèi)容一定要重新斟酌。應(yīng)該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人振奮的內(nèi)容?！?著名數(shù)學(xué)家JP塞爾指出： “關(guān)于學(xué)生，關(guān)鍵是要讓他們明白數(shù)學(xué)是活生生的，而不是僵死的，講數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)方法有個(gè)缺陷，即教師從不提及這類問題，這很可惜。在數(shù)論中有許多這類問題，十幾歲的孩子就能很好地理解它們：當(dāng)然包括費(fèi)馬大定理，還有哥德巴赫猜想，以及無(wú)限個(gè)形如n2+1的素?cái)?shù)的存在性。你可以隨意講一些定理而不加證明,塞 爾

3、,因此我認(rèn)為： 數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。,講五個(gè)問題 一、歸納思維 二、類比思維 三、發(fā)散思維 四、逆（反）向思維 五、（數(shù)學(xué)）猜想 我將結(jié)合初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史上一些著名問題來(lái)講,一、歸納思維,歸納是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。,著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出： “分析和自然哲學(xué)中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都?xì)w功于歸納方法牛頓二項(xiàng)式定理和萬(wàn)有引力原理，就是歸納方法的成果?！薄霸跀?shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比?！?著名數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)： “我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?著名數(shù)學(xué)家沃利斯說(shuō)：“我把（不完全的）歸納和類比當(dāng)作一種很好的考察方法，因?yàn)?/p>

4、這種方法的確使我很容易發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律”,歸納是在通過多種手段（觀察、實(shí)驗(yàn)、分析）對(duì)許多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法?；蛘哒f(shuō)，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質(zhì)的東西的抽象化思維。 也可以說(shuō)，歸納是在相似中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由個(gè)別中發(fā)現(xiàn)一般。,從數(shù)學(xué)的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則、的形式，都經(jīng)歷過積累經(jīng)驗(yàn)的過程，從大量觀察、計(jì)算,然后歸納出其共性和本質(zhì)的東西，例如：哥德巴赫猜想，費(fèi)馬猜想，素?cái)?shù)定理等。,歸納的方法,哥德巴赫猜想: 3+7=10， 3+17=20， 1

5、3+17=30 3，7，13，17都是奇素?cái)?shù)*。 10， 20， 30 都是偶數(shù)。 是否兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和都是偶數(shù)呢？,這是顯然的。但是（逆向思維） 任何一個(gè)偶數(shù)，都能分解為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和嗎？,6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 ,這樣下去總是對(duì)的嗎？即 任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和？ 大于4的偶數(shù)=奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)？ （哥德巴赫猜想）,60=3+57 （57=193，不是素?cái)?shù)） 60=5+55 （55=115，不是素?cái)?shù)) ？！,60=7+53（7和53都是素?cái)?shù)） . 一直到現(xiàn)在還沒有一個(gè)人推翻它，但也還沒有一個(gè)人證明它。,

6、哥德巴赫提出這個(gè)問題時(shí)，歐拉在1742年6月30日的回信中說(shuō)：他相信這個(gè)猜想，但他不能證明。于是引起了很多人研究它，但在120年間，一直沒有多大進(jìn)展。,直到20世紀(jì)20年代，才開始有了眉目，挪威數(shù)學(xué)家布朗（V.Brun）用“篩法”證明了：任何一個(gè)大于4的偶數(shù)：,A=a1a2a9+b1b2b9, (9+9) 其中ai,bi(i=1,2,39)都是素?cái)?shù)，才為這個(gè)猜想的證明開辟了道路。,1924年 拉德馬哈爾 證明了（7+7）； 1932年 愛斯?fàn)柭?證明了（6+6）； 1938年 布赫斯塔勃 證明了（5+5）, 1940年又證明了（4+4）； 1956年維諾格拉多夫 證明了（3+3）； 1956年

7、王元 證明了（3+4）； 1957年 王元 證明了（2+3）； 1962年 潘承洞證明了（1+5）； 同年 王、潘又證明了（1+4）；,1965年 布赫斯塔勃、維諾格拉多夫、龐比利證明了（1+3）； 1966年 陳景潤(rùn)證明了（1+2）； (發(fā)表在中國(guó)科學(xué)(1973.P.111-128),1. 吳文俊說(shuō)：哥德巴赫猜想是一場(chǎng)攻堅(jiān)戰(zhàn)和接力賽。 2.解放后，華羅庚、閔嗣鶴在這一研究上奠定了基礎(chǔ)。 3.王元1956年證得：大偶數(shù)=3+4； 1957年又得出：大偶數(shù)=2+3。 4.潘承洞1962年證得：大偶數(shù)=1+4。 5.陳景潤(rùn)1966年證得：大偶數(shù)=1+2； 1972年潘、王、丁夏畦簡(jiǎn)化了陳的證明。,

8、蘇步青說(shuō)： 要想取得1+1就得把世界上八十多種方法融會(huì)貫通，博取眾長(zhǎng)。,1998年利用超級(jí)計(jì)算機(jī)，驗(yàn)證這個(gè)猜想對(duì)于每一個(gè)小于41014的偶數(shù)都是正確的。但沒有一項(xiàng)計(jì)算技術(shù)可以對(duì)直至無(wú)窮的每一個(gè)偶數(shù)確認(rèn)這個(gè)猜想成立。關(guān)鍵是要找出一個(gè)抽象嚴(yán)格的證明。 這是數(shù)學(xué)向人類智慧的挑戰(zhàn)!,這個(gè)猜想吸了不少人, 2000年3月中旬：英國(guó)一家出版社懸賞100萬(wàn)美元征“哥德巴赫猜想”之解，時(shí)限兩年,截止日期定在2002年3月20日。 ( 獎(jiǎng)金比中國(guó)最高科學(xué)獎(jiǎng)還高、Nobel獎(jiǎng)),二項(xiàng)式系數(shù) (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)4=u4+4

9、u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5= . (u+v)n=,帕斯卡三角形,帕斯卡三角形,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年寫的詳解九章算法*就解釋了上述系數(shù)三角形的構(gòu)造法，并說(shuō)賈憲用此術(shù)。,楊輝三角形,科爾莫哥洛夫在我是如何成為數(shù)學(xué)家中說(shuō)：我在6、7歲時(shí)我已經(jīng)感受到數(shù)學(xué)歸納發(fā)現(xiàn)的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：,他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被刊登在春燕雜志上。,問題：考察表,按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，而且試證明它。,問題：下述結(jié)論是否成立？,在高等數(shù)

10、學(xué)中，許多重要結(jié)果的得出，都用到了歸納思維。例如：,求某一函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求出其一階、二階（有時(shí)還要求出其三階、四階）導(dǎo)數(shù)，再歸納出 n 階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。,解,從而歸納出,二、類比思維,著名日本物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式?！敝軐W(xué)家康德指出：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)。” 類比是根據(jù)兩個(gè)（或多個(gè)）對(duì)象內(nèi)部屬性、關(guān)系的某些方面相似，而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨频耐评怼?簡(jiǎn)單地說(shuō)，類比就是由此去發(fā)現(xiàn)彼（或由彼去發(fā)現(xiàn)此）。,類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學(xué)研究中非常有創(chuàng)造性

11、的思維形式，從而受到了很多著名科學(xué)家的重視與青睞。例如：,著名天文學(xué)、數(shù)學(xué)家開普勒說(shuō)： “我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師它能揭示自然的奧秘?！?著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞 說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人， 求解立體幾何問題往往有賴于平面 幾何中的類比問題?！?在平面解析幾何中直線的截距式是：,在平面解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是：,在空間解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是：,在空間解析幾何中平面的截距式是：,在平面解析幾何中圓的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空間解析幾何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。,將他們比較可以看出:把中右端K次冪換

12、成K階導(dǎo)數(shù)(零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身),把中u+v換成uv,n次冪換成n階導(dǎo)數(shù)既為. (拉格朗日17歲),費(fèi)馬猜想： X2+Y2=Z2的解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整數(shù)，n2是否有正整數(shù)解？,Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994),歐拉猜想：下述方程沒有整數(shù)解：,沒有人能夠證明它是對(duì)的，但是在他提出這個(gè)猜想之后的200年內(nèi)大家都相信它是正確的.,但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個(gè)反例：,后來(lái)人們又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更簡(jiǎn)單的例子：,今天我們能容易地用一個(gè)簡(jiǎn)單的程序?qū)ふ曳蠢?在沒有計(jì)算機(jī)的年代，很難舉出這樣的反例！,多

13、元函數(shù)與單元函數(shù) 在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)時(shí)，應(yīng)注意與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一元函數(shù)的微積分相應(yīng)的概念、理論、方法進(jìn)行類比。例如：,特別應(yīng)該將牛頓萊布尼茨公式、格林 公式、高斯公式、斯托克斯公式進(jìn)行類比。 若將牛頓萊布尼茨公式,視為，它建立了一元函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間的 定積分與其原函數(shù)F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將格林公式,視為，它建立了二元函數(shù)在一個(gè)平面區(qū)域D 上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將高斯公式,視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間區(qū)域上的三重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲面S上的曲面積分之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將斯托克

14、斯公式,視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間曲面S 上的曲面積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線L上 的曲線積分之間的聯(lián)系。,若引入“外微分運(yùn)算”，就可將格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓-萊布尼茨公式的高維推廣. 并都可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的形式統(tǒng)一表示為,實(shí)踐證明：在學(xué)習(xí)過程中，將新內(nèi)容與自己已經(jīng)熟悉的知識(shí)。進(jìn)行類比，不但易于接受、理解、掌握新知識(shí)，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費(fèi)馬猜想）,三、發(fā)散思維,所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結(jié)果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信

15、息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要的創(chuàng)造性思維。 用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問題。,數(shù)學(xué)中“一題多解”最著名的例子,是幾何學(xué)中關(guān)于“勾股定理”的證法。 勾股定理(被譽(yù)為“千古第一定理”): 一個(gè)直角三角形的斜邊c的平方等于另外兩邊(a,b)的平方和。即 a2 + b2 = c2 這個(gè)定理人們用不同的方法,給出了370多個(gè)證明。,這個(gè)定理的重要性在于：,1. 它是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的第一個(gè)重要定理； 2. 它導(dǎo)致了不可公約量的發(fā)現(xiàn)（第一次數(shù)學(xué)危機(jī)）； 3. 它開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)擴(kuò)大到證明與推理的科學(xué)； 4. 它是

16、最早得出完整解的不定方程，并引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，包括費(fèi)馬大定理。,1.在歐幾里得的中,給出了一種歐幾里得的證明:,A,H,K,C,B,D,E,F,G,I,L,因此 同理,兩式相加即得定理。,2.我國(guó)趙爽(約222年)在的注釋中給出的證明：,ab等于兩直角三角形的面積 (b-a)2為中心正方形的面積，顯然，有 2ab+(b-a)2=c2， 化簡(jiǎn)，即可得證。,A,B,C,b,c,a,a-b,弦圖,3.,大正方形的面積: (a+b)2=a2+2ab+b2 又等于: 4ab/2+c2=2ab+c2 從而 得證.,a,b,a,b,a,a,b,c,c,美國(guó)A.菲爾德總統(tǒng)：,SABED=,SBCE +

17、SABC +SDCE,4.最令人感興趣的證法之一,他證明時(shí),只是一位議員,是他和其他議員討論數(shù)學(xué)問題時(shí)想出來(lái)的,發(fā)表在新英格蘭教育雜志上 。,5. 2000年12月1日山東青島市即墨一中高二六班李亮同學(xué)的證明:,思考： 他的證明對(duì)否？好不好？,A,C,B,D,a,b,c,BD+AD=AB= c,數(shù)學(xué)王子高斯,高斯被譽(yù)為：“能從九霄云外的高度按某種觀點(diǎn)掌握星空和深?yuàn)W數(shù)學(xué)的天才”和“數(shù)學(xué)王子”。,特別是高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運(yùn)用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對(duì)代數(shù)基本定理，先 后給出了4種不同的證明；他對(duì)數(shù)論中的二次互反律，先后給出了8種不同的證明（高斯

18、稱二次互反律是數(shù)論中的一塊寶石，數(shù)論的酵母，是黃金定理）。 歐拉勒讓德,第一個(gè)證明是用歸納法； 第二個(gè)證明是用二次型理論； 第三個(gè)和第五個(gè)證明是用高斯引理； 第四個(gè)證明是用高斯和； 第六個(gè)和第七個(gè)證明是用分圓理論； 第八個(gè)證明是用高次冪剩余理論。,他的每一種證明思路都導(dǎo)致數(shù)論的新方向。其后19世紀(jì)多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫(kù)默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。,有人曾問高斯：“你為什么能對(duì)數(shù)學(xué)作出那樣多的發(fā)現(xiàn)？”高斯答道：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數(shù)學(xué)真理，他也會(huì)作出同樣的發(fā)現(xiàn)。” 高斯還說(shuō)：“絕對(duì)不能以為獲得一個(gè)證明以后，研究便告結(jié)束，或把另外的證

19、明當(dāng)作多余的奢侈品?！?“有時(shí)候一開始你沒有得到最簡(jiǎn)和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯(lián)想中去。這正是吸引我去繼續(xù)研究的主動(dòng)力，并且最能使我們有所發(fā)現(xiàn)。”高斯這些言行，很值得我們學(xué)習(xí)和深思。,因此，我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)利用一題多解、一題多變來(lái)培養(yǎng)訓(xùn)練發(fā)散思維，下邊我們舉幾個(gè)例子：,一題多解：計(jì)算,一題多變：,得知它是全微分方程，從而用全微分方程的解法求出其通解；,求微分方程,通解,變形為：,由于：,一題多變：,求微分方程,通解,變形為：,得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；,一題多變：,求微分方程,通解,變形為：,發(fā)現(xiàn)它是伯努利方程，從而令z

20、 = y2，化為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解。 高等數(shù)學(xué)一題多解200例選編 （產(chǎn)品：手表、收音機(jī)、電視機(jī)等）,四、逆向思維,一位老太太有兩個(gè)女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。,后來(lái)有一位聰明的人勸她：老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。這么一說(shuō)，老太太生活的色彩竟煥然一新。,一則小故事:,逆向思維（又稱反向思維）是相對(duì)于習(xí)慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點(diǎn)是從已有的思路的反

21、方向去思考問題。它對(duì)解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。,（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。 （2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接 解決。 （3）正命題研究過后，研究逆命題。 （4）探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。 下面舉幾個(gè)高等數(shù)學(xué)中的例子:,求解微分方程：,若將 x 視為自變量，y 視為未知函數(shù)，解此方程就比較困難。因?yàn)樗炔皇强煞蛛x變量方程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，也不是線性方程和伯努里方程。,但是，如果利用逆向思維，即反過來(lái)將 x 視為未知函數(shù), y 視為自變量，將方程變?yōu)?它就是未知函數(shù)x 的線性微分方程。很容易

22、求出其通解。,若直接解決困難，想法間接解決。,例1： 試求,解法：用間接的方法，即轉(zhuǎn)化為判斷級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)收斂的必要條件是通項(xiàng)趨向于零，于是,解法:利用夾逼定理,探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。 下面我們例舉數(shù)學(xué)史上兩個(gè)最有名的問題：,關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn),歐幾里得幾何原本第一卷中給出了五個(gè)公設(shè)，其中前四個(gè)簡(jiǎn)單明了，（前三個(gè)是作圖的規(guī)定，第四個(gè)是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨(dú)第五公設(shè)不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實(shí)也不明顯。 而且只有第5公設(shè)涉及到無(wú)限,這是人們經(jīng)驗(yàn)之外的東西.,此公設(shè)是“若一直線和兩條直線相交，所構(gòu)成的兩同旁內(nèi)角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長(zhǎng)

23、，它們一定在兩內(nèi)角的一側(cè)相交”。,這公設(shè)等價(jià)于：“在平面上，過直線外一點(diǎn)，只能作一條直線與這條直線平行”。,歐,當(dāng)兩條直線相交于非常遙遠(yuǎn)的地方時(shí)，就無(wú)法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認(rèn)，于是就有人提出來(lái)把它作為定理來(lái)證明。但是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯(cuò)誤，就是用另一條等價(jià)的公理代替了第五公設(shè)。 達(dá)朗貝爾曾把第五公設(shè)的證明稱為“幾何原理中的家丑”。,直到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們著手研究它的反問題歐幾里得第五公設(shè)不可證。特別是德國(guó)的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國(guó)的羅巴切夫斯基他們各自總結(jié)了前人和自己試證第五公設(shè)的失敗教訓(xùn)。,高斯 (1799,1

24、813),羅巴切夫斯基 (1826,1829),鮑耶 （1832）,他們首先肯定了歐幾里得第五公設(shè)是不能用其它公理作出證明，然后用一個(gè)與它相反的命題來(lái)代替它。即“在平面上，過直線外一點(diǎn)至少可引兩條直線與已知直線平行?！?羅,羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設(shè)（平行公設(shè)）分為兩部分：,不依賴于第五公設(shè)得到證明的命題（絕對(duì)幾何）。,依賴于第五公設(shè)才能證明的命題。,從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。 高斯稱之為“反歐幾里得幾何” 羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何” 后他又稱之為“泛幾何” 今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。,后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼用一個(gè)既與歐幾里德第五公設(shè)

25、的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來(lái)代替它們，即“在平面上，過直線外一點(diǎn)不可能引一直線與已知直線平行”。,黎,從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現(xiàn)稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）。,現(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何”。,黎曼 (1854),20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特指出: “19世紀(jì)最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”。,非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)上的革命，它不僅使數(shù)學(xué)家大開眼界，引起一些重要數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，它的重要意義還在于使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究進(jìn)入一個(gè)嶄新的歷史時(shí)期，它使人們對(duì)空間的認(rèn)識(shí)更深刻，更完全了。

26、例如，它對(duì)愛因斯坦的相對(duì)論提供了最合適的數(shù)學(xué)工具。因此許多人采用非歐幾何學(xué)作為宇宙的幾何模型。 (太平洋),歐幾里得： 三角形內(nèi)角和 = 兩直角 , 2r=c ， a2+b2=c2 羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和 兩直角 , 2rc ，a2+b2c2 后來(lái)許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎(chǔ)之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。 1871年克來(lái)因,關(guān)于五次及五次以上代數(shù)方程根式求解問題,在16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。如：,那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是否也存在根式解法

27、呢？,這個(gè)問題吸引著眾多的數(shù)學(xué)家，他們相信這種解法一定存在，包括：卡當(dāng)（Cardano）、韋達(dá)(Viete)、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經(jīng)歷了兩百多年的努力都未能找到解法。,韋達(dá),拉格朗日,經(jīng)過無(wú)數(shù)次的失敗之后,直到19世紀(jì)初，一些數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了逆向思維：首先是魯非尼（Ruffini）和拉格朗日，接著是阿貝爾(Abel)，把問題的提法倒了過來(lái)，去思考它的反問題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。,阿貝爾(Abel),阿貝爾從這種逆向思維出發(fā)，終于嚴(yán)格地證明了：一般五次及五次以上的方程不能用根式求解，不但徹底解決了這樁歷史懸案，并且進(jìn)而開創(chuàng)了近世代數(shù)方程的研究道路，包括群

28、論和方程的超越函數(shù)解法。,幾何的三大難題： 1. 三等分任意角; 2. 化圓為方; 3. 倍立方. ( 只用圓規(guī)、直尺),逆向思維的基本特點(diǎn),從已有思路的反方向去思考問題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決;正命題研究過后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時(shí)，考慮探討不可能性。它有利于克服思維定勢(shì)的保守性，它對(duì)解放思想、開闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開辟新的方向，往往能起到積極作用。,例如： 毒蛇、蝎子都令人生畏，但有人大膽地逆向思考，提出了以毒攻毒，結(jié)果制成了許多珍貴的藥品。 英國(guó)醫(yī)師琴納(Jener)發(fā)現(xiàn)牛痘能夠預(yù)防天花，實(shí)際上也是使用了逆向思維。,“圍魏救趙” (“36計(jì)”中的第2計(jì)

29、),桂陵（今長(zhǎng)垣縣西邊），大梁（今開封）。,大梁,“司馬光擊缸救人” 常規(guī)辦法: 人離, 缸完, 水存; 司馬光采取了非常規(guī)辦法: 缸破, 水流, 人存 司馬光的急救之策，被世人稱頌。,（諸葛亮草船借箭、20只船）,五、數(shù)學(xué)與猜想,牛頓： 沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。 G.波利亞： 要想成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須是一個(gè)好的猜想家。,牛頓,波利亞,數(shù)學(xué)猜想是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)未知量及關(guān)系所作出的一種似真的推斷，它是數(shù)學(xué)研究的一種常用的科學(xué)方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要思維形式，它是科學(xué)假說(shuō)在數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn)。 數(shù)學(xué)猜想作為一種數(shù)學(xué)潛形態(tài),它常常是數(shù)學(xué)理論（定理）的萌芽和胚胎，它

30、往往是數(shù)學(xué)發(fā)展到積累了大量資料，需要進(jìn)行理論整理，探索其理論內(nèi)部的矛盾規(guī)律這一階段上產(chǎn)生出來(lái)的，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與其它知識(shí)的創(chuàng)造過程一樣。你先得把觀察到結(jié)果加以歸納、類比，通過猜想。,著名數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）說(shuō)：“在前輩數(shù)學(xué)家中，歐拉對(duì)我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當(dāng)?shù)膫ゴ髷?shù)學(xué)家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發(fā)現(xiàn)他的結(jié)果的.對(duì)此，我是如獲至寶.”,歐拉關(guān)于多面體的猜想,八面體,“塔頂”體,截角立方體,猜想:是否面(F)的數(shù)目越多,頂點(diǎn)的數(shù)(V)越多?,猜想:是否邊(E)的數(shù)目越多,面數(shù)(F)越多?頂點(diǎn)(V)也越多呢?,F + V = E + 2,由歸納得出:,F + V = E + 2,F + V = E + 2,亭體的推廣:,(F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2 從而 F+V=E+2 截角立方體的推廣:,(F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2 從而 F+V=E+2,棱: 水平邊=4*3=12 非水平邊=4*3=12 從而 E=24 面: F =4*3=12 頂點(diǎn): V = 4*3=12 從而 F+V E+2,類 比,凸多邊形: 如,顯然有 V = E (*) 角(頂點(diǎn)) = 邊(棱) 將(*)改寫為(按維數(shù)增加的順序) V - E + 1 = 1 (*) 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 多邊形內(nèi)部面數(shù) (0維) (1維) (2維