第六章地球橢球與橢球計(jì)算理論

1、第六章 地球橢球與橢球計(jì)算理論,本章提要 6.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 6.2 橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 6.3 幾種主要的橢球公式 6.4 將地面觀測(cè)值歸算至橢球面 習(xí)題,本章提要,本章講述地球橢球與參考橢球的概念，進(jìn)而介紹橢球的基本幾何參數(shù)，基本坐標(biāo)系及其相互關(guān)系。同時(shí)，講述橢球面同地面之間的關(guān)系，如何將地面觀測(cè)元素（水平方向及斜距等）歸算至橢球面上。在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，要建立起空間的概念，只有建立了地球橢球的這些基本空間概念后，才能更好地學(xué)習(xí)控制測(cè)量的內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理等相關(guān)知識(shí)。,1地球橢球的定義及其幾何意義； 2常用測(cè)量坐標(biāo)系統(tǒng)的建立及其在控制測(cè)量中的應(yīng)用； 3各種測(cè)量

2、坐標(biāo)系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換； 4橢球面上幾種曲率、弧長(zhǎng)、大地線的計(jì)算； 5地面測(cè)量值（水平方向和邊長(zhǎng)）歸算到橢球面的方法。,知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求,在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，有大量的公式推導(dǎo)與應(yīng)用。 各種常用測(cè)量坐標(biāo)系統(tǒng)的建立與相互轉(zhuǎn)換； 幾種常用的橢球計(jì)算公式； 地面觀測(cè)值歸算到橢球面的方法與計(jì)算、大地主題解算 。,本章重點(diǎn)：地球橢球幾何性質(zhì)、地面觀測(cè)值歸算 本章難點(diǎn)：,6.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系,一. 地球橢球的基本幾何參數(shù),地球橢球：在控制測(cè)量中，用來(lái)代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學(xué)模型。,參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球。地面上一切觀測(cè)元素都應(yīng)歸

3、算到參考橢球面上，并在這個(gè)面上進(jìn)行計(jì)算。參考橢球面是大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。,地球橢球的幾何定義：O是橢球中心，為旋轉(zhuǎn)軸，a 為長(zhǎng)半軸，b 為短半軸。,子午圈(經(jīng)圈，或子午橢圓）：包含旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的橢圓。如NKAS,平行圈（或緯圈）：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的圓。如QKQ 赤道：通過(guò)橢球中心的平行圈 。如EAE,地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素): 地球橢球的五個(gè)基本幾何參數(shù)： 橢圓的長(zhǎng)半軸 橢圓的短半軸b 橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率,橢圓的第二偏心率,其中a、b 稱為長(zhǎng)度元

4、素；扁率 反映了橢球體的扁平程度。偏心率 和 是子午橢圓的焦點(diǎn)離開中心的距離與橢圓半徑之比， 它們也反映橢球體的扁平程度，偏心率愈大，橢球愈扁。,二、通常用a ,表示橢球的形狀和大小。,我國(guó)建立1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球；建立1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國(guó)際橢球；而全球定位系統(tǒng)(GPS)應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。,幾種常見(jiàn)的橢球體參數(shù)值,三、相互關(guān)系 1e與 e的關(guān)系,2e與其它關(guān)系,四、引用符號(hào)及其相互關(guān)系 1引用符號(hào),2W與V關(guān)系,兩個(gè)常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)：,C幾何意義：極點(diǎn)處的幾何曲率半徑。,3. 地球橢球參數(shù)間的相

5、互關(guān)系,其他元素之間的關(guān)系式如下：,式中，W 第一基本緯度函數(shù)，V 第二基本緯度函數(shù)。,6.2 橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系,1 .大地坐標(biāo)系,p 點(diǎn)的子午面NPS 與起始子午面 NGS 所構(gòu)成的二面角L，叫做p 點(diǎn)的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0180），向西為負(fù)，叫西經(jīng)（0180）。P 點(diǎn)的法線 與赤道面的夾角B，叫做P點(diǎn)的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（090）；向南為負(fù)，叫南緯(090)。從地面點(diǎn)P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。大地坐標(biāo)系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點(diǎn)位的。如果點(diǎn)不在橢球面上，表示點(diǎn)的位置除B,L外，還要附加另一參數(shù)大

6、地高H，它同正常高及正高有如下關(guān)系,2. 空間直角坐標(biāo)系,地心 坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。,3 . 子午面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn) p 的大地經(jīng)度L為，在過(guò)p點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y 平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，p 點(diǎn)的位置用L,x,y 表示。,4 . 大地極坐標(biāo)系,M 為橢球體面上任意一點(diǎn)，MN 為過(guò)M 點(diǎn)的子午線，S 為連結(jié)MP的大地線長(zhǎng)，A 為大地線在

7、M 點(diǎn)的方位角。以M 為極點(diǎn)，MN 為極軸，S 為極半徑，A為極角，這樣就構(gòu)成大地極坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中p 點(diǎn)的位置用S,A 表示。,橢球面上點(diǎn)的極坐標(biāo)（S,A）與大地坐標(biāo)(L,B）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。,5、地心緯度坐標(biāo)系,橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系。連接OP，則 稱為地心緯度，而OP 稱為P點(diǎn)向徑，在此坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置為：,6、 歸化緯度坐標(biāo)系,設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng)，在此子午面上以橢圓中心O為圓心，以橢球長(zhǎng)半徑a為半徑作輔助圓，延長(zhǎng)P2P與輔助圓相交P1點(diǎn)，則OP1與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度，用u表示，在此歸化緯

8、度坐標(biāo)系中，P點(diǎn)位置用L，u 表示。,7. 各坐標(biāo)系間的關(guān)系,橢球面上的點(diǎn)位可在各種坐標(biāo)系中表示，由于所用坐標(biāo)系不同，表現(xiàn)出來(lái)的坐標(biāo)值也不同。,1）子午面直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,過(guò)p 點(diǎn)作法線 ，它與x 軸之夾角為B，過(guò)點(diǎn)P作子午圈的切線TP，它與x 軸的夾角為（90+B）。子午面直角坐標(biāo)x,y 同大地緯度B 的關(guān)系式如下：,以下：推導(dǎo)子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,此兩式指明了法線Pn在赤道兩側(cè)的長(zhǎng)度。,令: pn=N（卯酉圈曲率半徑） 由圖看出： 與前式 相比得： 于是有 由圖看出 上兩式相比得： 顯然有：,上兩式即為子午面直角坐標(biāo)x，y同大地緯度B的關(guān)系式。,2）子午平面直角坐標(biāo)

9、系同歸化緯度坐標(biāo)系的關(guān)系 P(x，y)，OP1=a 由圖可知：x=OP2=OP1cos=acos 代入公式： 得：y=bsin,3）空間直角坐標(biāo)系同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,空間直角坐標(biāo)系中的P2P相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的y，前者的OP2相當(dāng)于后者的x，并且二者的經(jīng)度L相同。 OP2=x 二面角P2OP1=L,4）空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,同一地面點(diǎn)在地球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換,式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長(zhǎng)短半徑按式 算得。,N法線長(zhǎng)度，可由式 算得。,以下推導(dǎo)空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,推導(dǎo)空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 由大

10、地坐標(biāo)計(jì)算空間直角坐標(biāo)：,如果P點(diǎn)在橢球面上： （1）子午面直角坐標(biāo)同大地坐標(biāo)關(guān)系， （2）空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)關(guān)系,如果P點(diǎn)不在橢球面上，設(shè)大地高為H，P點(diǎn)在橢球面上投影為P0,由空間直角坐標(biāo)計(jì)算大地坐標(biāo),大地經(jīng)度,大地緯度,大地高,由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo),大地緯度B、歸化緯度u、 地心緯度之間的關(guān)系 B和u之間的關(guān)系 歸化緯度坐標(biāo)系同子午平面坐標(biāo)系的關(guān)系： 子午平面坐標(biāo)系同 大地坐標(biāo)系的關(guān)系：,U、之間的關(guān)系 地心緯度同子午平面坐標(biāo)系關(guān)系 歸化緯度U同子午平面坐標(biāo)系：,、之間的關(guān)系,大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過(guò)計(jì)算，當(dāng)B=45時(shí),8 、站心地平坐標(biāo)系大地

11、站心地平坐標(biāo)系是以測(cè)站法線和子午線方向?yàn)橐罁?jù)的坐標(biāo)系。在描述兩點(diǎn)間關(guān)系時(shí)，為方便直觀，一般采用站心坐標(biāo)系。根據(jù)坐標(biāo)表示方法，又可分為站心左手地平直角坐標(biāo)系和站心地平極坐標(biāo)系，見(jiàn)圖 1）以測(cè)站P為原點(diǎn)，測(cè)站上P點(diǎn)的垂線(法線)為Z軸（U軸），指向天頂為正；子午線方向?yàn)閤軸（N軸），指向參考短半軸，向北為正；y軸（E軸）與x，z軸平面垂直（向東為正）構(gòu)成左手坐標(biāo)系就稱為垂線(或法線)站心直角坐標(biāo)系?；蚍Q為站心天文坐標(biāo)系。在站心直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的X（N） 、Y（E）、Z（U）坐標(biāo)為該點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度。,站心極坐標(biāo)系：以P點(diǎn)為中心的站心極坐標(biāo)系定義如下： ( 1 ) X(N）PY（E） 平面為

12、基準(zhǔn)面； ( 2 ）極點(diǎn)位于P； ( 3 ）極軸為X（N） 軸。 Q點(diǎn)在站心極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)用極距（ d 為 由極點(diǎn)到該點(diǎn)的距離）、方位角（ 為在 基準(zhǔn)面上，以極點(diǎn)為頂點(diǎn)，由極軸順時(shí)針 方向量測(cè)PQ在基準(zhǔn)面上投影的角度）、 高度角（EL為極點(diǎn)與該點(diǎn)連線與基準(zhǔn)面間 的夾角）表示。 空間任意一點(diǎn)Q相對(duì)于P的位 置可通過(guò)地面觀測(cè)值斜距d、 天文方位角和天頂距z來(lái)確定 進(jìn)行 GPS 觀測(cè)時(shí)，常常采用 GPS 衛(wèi)星相對(duì)于測(cè)站的高度角、方位角來(lái)描述其在空間中的方位。實(shí)際上，如果再加上測(cè)站到衛(wèi)星的距離，就是一個(gè)完整的站心坐標(biāo)。,7、大地測(cè)量常用坐標(biāo)系比較,6.3 橢球面上幾種曲率半徑（橢球數(shù)學(xué)性質(zhì)）,過(guò)橢球

13、面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截弧）。包含橢球面一點(diǎn)的法線，可作無(wú)數(shù)多個(gè)法截面，相應(yīng)有無(wú)數(shù)多個(gè)法截線。 橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。,1. 子午圈曲率半徑,子午橢圓的一部分上取一微分弧長(zhǎng)DKdS，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量dx，點(diǎn)n是微分弧dS的曲率中心，于是線段Dn及Kn便是子午圈曲率半徑。 由任意平面曲線的曲率半徑的定義公式，易知,任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為： 從微分三角形DKE可求得： 聯(lián)立上兩式得： 子午面直角坐標(biāo)同大地坐標(biāo)關(guān)系： x坐

14、標(biāo)對(duì)大地緯度B取導(dǎo)數(shù)： 又由第一緯度函數(shù)得： 則有： 子午圈曲率半徑公式為： 或 M與緯度B有關(guān)它隨B的增大而增大。,變化規(guī)律如下表所示： 表中極曲率半徑c的幾何意義是橢球體在極點(diǎn)處的曲率半徑。,2.卯酉圈曲率半徑,過(guò)橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無(wú)限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中PEE 即為過(guò)點(diǎn)的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用表示。 為了推導(dǎo)的表達(dá)計(jì)算式，過(guò)點(diǎn)作以O(shè)為中心的平行圈的切線，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在點(diǎn)處的切線。即垂直于Pn 。所以是平行圈及卯酉圈PEE在點(diǎn)處的公切線。,麥尼爾定理:

15、 假設(shè)通過(guò)曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。 如圖根據(jù)直角三角形有平行圈半徑r： 根據(jù)子午面直角坐標(biāo)同大地坐標(biāo)關(guān)系： 卯酉圈曲率半徑： 根據(jù)（4-8）式得： 由圖可看出： 也就是說(shuō) 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長(zhǎng)度，亦即卯酉圈的曲率中心位于橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。,卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn):由公式N=r/cosB得： N與緯度B有關(guān)它隨B的增大而增大。卯酉圈曲率半徑N與經(jīng)度L無(wú)關(guān)，即同一平行圈上所有點(diǎn)的卯酉圈曲率半徑N相同。 在極點(diǎn)子午圈曲率半徑 和卯酉圈曲率半徑一致

16、 子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，統(tǒng)稱為主曲率半徑。 常引用的兩個(gè)符號(hào)：（1）=/M （2）=/N,主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。 （1）主曲率半徑是第一緯度函數(shù)的表達(dá)式,橢球面上幾種曲率半徑,橢球面上幾種曲率半徑,橢球面上幾種曲率半徑,（2）主曲率半徑是第二緯度函數(shù)的表達(dá)式,3.任意法截弧的曲率半徑,子午法截弧是南北方向，其方位角為0或180。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90或270?，F(xiàn)在來(lái)討論方位角為的任意法截弧的曲率半徑RA的計(jì)算公式。 由歐拉公式知

17、，任意方向方位角為的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式如下： 以下是公式的推導(dǎo)：,任意法截弧的曲率半徑 由歐拉公式知： 在實(shí)際應(yīng)用中，用平均曲率半徑R代替N,得：,橢球面上幾種曲率半徑,任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律: 不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過(guò)該點(diǎn)的法截弧的方位角A有關(guān)。 當(dāng)或180時(shí)，RA值為最小，公式變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即； 當(dāng)A90或270時(shí)，RA值最大，公式變?yōu)橛?jì)算卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑M及N分別是的極小值和極大值。 當(dāng)A由090時(shí)，之值由，當(dāng)A由90180時(shí)，值由N，可見(jiàn)值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。,橢球面上幾種曲率半徑,橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半

18、徑 R 等于該點(diǎn)主曲率半徑（子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N）的幾何平均值。,4.平均曲率半徑R是指經(jīng)過(guò)曲面任意一點(diǎn)所有可能方向上的法截線半徑RA的算術(shù)平均值。 平均曲率半徑在實(shí)際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測(cè)量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過(guò)地面某點(diǎn)的所有方向RA的平均值來(lái)作為這個(gè)球體的半徑是合適的。這個(gè)球面的半徑平均曲率半徑R：,M，N，R的關(guān)系 一般情況下 NRM 在極點(diǎn)上都等于極曲率半徑,橢球面上幾種曲率半徑,對(duì)于克拉索夫斯基橢球,橢球面上幾種曲率半徑,從表看出：同一緯度時(shí)， NRM； 不同緯度時(shí)，隨著緯度B的增大，所有的曲率半徑都是增大的，且在極點(diǎn)上都等于極

19、曲率半徑,4.4 橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算 1. 子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式 子午橢圓的一半，它的端點(diǎn)與極點(diǎn)相重合；而赤道又把子午線分成對(duì)稱的兩部分。因此，只需計(jì)算從赤道開始到已知緯度B間的子午線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式就可以了。 如下圖所示，取子午線上某微分弧PP=dx，令點(diǎn)緯度為，P點(diǎn)緯度為B+dB，點(diǎn)的子午圈曲率半徑為，于是有： 從赤道開始到任意緯度的平行圈之間的弧長(zhǎng)可由下列積分求出： 式中M可用下式表達(dá)（第一緯度函數(shù)表達(dá)）：,其中：,經(jīng)積分，進(jìn)行整理后得子午線弧長(zhǎng)計(jì)算式（1）：,為求子午線上兩個(gè)緯度B1及B2間的弧長(zhǎng)，只需按上式分別算出相應(yīng)的X1及X2，而后取差：，該即為所求的弧長(zhǎng)。,將克拉索夫斯基橢球元素代

20、入,得 將1975年國(guó)際橢球元素代入,得 若將（4-70）公式中的冪函數(shù)展開為正弦n次冪和余弦乘積的形式，進(jìn)行整理后得子午線弧長(zhǎng)計(jì)算式（2）（此公式適合計(jì)算機(jī)計(jì)算）： 代入克拉索夫斯基橢球參數(shù)得子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式： 代入1975年國(guó)際橢球參數(shù)得子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式： 如果主曲率半徑用第二緯度函數(shù)的表達(dá)式，則可得子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式（3）： 或,如果以B90代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長(zhǎng)約為10 002 137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長(zhǎng)約為40 008 549.995m。即一象限子午線弧長(zhǎng)約為10 000km，地球周長(zhǎng)約為40 000km。 為求子午線上兩個(gè)緯度B及間的弧長(zhǎng)，只需按(4-1

21、01)式分別算出相應(yīng)的X及X，而后取差：，該即為所求的弧長(zhǎng)。 當(dāng)弧長(zhǎng)甚短(例如X40km，計(jì)算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑M X=Mm.（B2-B1)/=B/（1）m,2、由子午弧長(zhǎng)求大地緯度 底點(diǎn)緯度計(jì)算 在高斯投影反算時(shí)，已知高斯平面直角坐標(biāo)（X，Y）反求其大地坐標(biāo)（L，B）。首先X當(dāng)作中央子午線上弧長(zhǎng)，反求其緯度，此時(shí)的緯度稱為底點(diǎn)緯度或垂直緯度。計(jì)算底點(diǎn)緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。 （1）迭代解法: 重復(fù)迭代直至 為止。a0為子午圈曲率半徑展開的首項(xiàng)系數(shù)。 例如：,在克拉索夫斯基橢球上計(jì)算時(shí)，迭代開始時(shí)設(shè),以后每次迭

22、代按下式計(jì)算：,重復(fù)迭代直至 為止。,在1975年國(guó)際橢球上計(jì)算時(shí)，也有類似公式。,（2）直接解法,1975年國(guó)際橢球：,克拉索夫斯基橢球：,3、平行圈弧長(zhǎng)公式 旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個(gè)圓，其短半軸 就是圓上任意一點(diǎn)的子午面直角坐標(biāo)。 如果平行圈上有兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差 平行圈弧長(zhǎng)公式： 平行圈弧長(zhǎng)隨緯度變化的微分公式可近似地寫為 由于 于是 式中,4、子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較 從表中可以看出， 單位緯差的子午線弧長(zhǎng)隨緯度升高而緩慢地增長(zhǎng)； 而單位經(jīng)差的平行圈弧長(zhǎng)則隨緯度升高而急劇縮短。 同時(shí)還可以看出，1的子午弧長(zhǎng)約為110km，1約為1.8km，1約為30m。 而平行圈弧長(zhǎng)，僅在赤道

23、附近才與子午弧長(zhǎng)大體相當(dāng)，隨緯度的升高它們的差值愈來(lái)愈大。 5.橢球面梯形圖幅面積的計(jì)算,4.5 大地線 兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢? 它應(yīng)是大地線。 一、相對(duì)法截線 在橢球面上取 不在同一子午 面和平行圈上 的點(diǎn)A和B；過(guò) A、B兩點(diǎn)的法 線分別與短軸 PP1相交于N1和N2。 通過(guò)AN1含有B的 法面AN1B與過(guò)BN2含有A的法面BN2A不可能重合而只能相交，其交線就是A、B間所連的直線。兩個(gè)法面所截得的法截線AaB和BbA也不重合而形成一狹小的二面角。這兩條法截線稱為相對(duì)法截線?，F(xiàn)在證明na和nb將不重合。,設(shè)在橢

24、球上任取不在同一子午面和平行圈上的兩點(diǎn)A和B，緯度分別為B1和B2，且二者不等，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別做法線與短軸交于na和nb兩點(diǎn)，與赤道面分別交于Q1和Q2。,如圖,又,則,正、反法截線： A點(diǎn)照準(zhǔn)B，照準(zhǔn)面同橢球面的交線AaB，叫做A點(diǎn)的正法截線，或者B點(diǎn)的反法截線；同樣，B點(diǎn)照準(zhǔn)A，照準(zhǔn)面同橢球面的交線BbA，叫做B點(diǎn)的正法截線，或者A點(diǎn)的反法截線。 把AaB和BbA叫做A、B兩點(diǎn)的相對(duì)法截線。 由公式 知，當(dāng)B2B1時(shí)，卯酉圈曲率半徑N隨緯度B的增大而增大，OnbOna。這就是說(shuō)：某點(diǎn)的緯度愈高，其法線與短軸的交點(diǎn)愈低，AB方向在不同的象限時(shí)，正反法截線關(guān)系如圖：,由緯度B低的點(diǎn)照準(zhǔn)緯度高

25、的點(diǎn)，法截線南偏； 由緯度B高的點(diǎn)照準(zhǔn)緯度低的點(diǎn)，法截線北偏； 在北半球，如A點(diǎn)位于B點(diǎn)以南，則A點(diǎn)的正法 截線AaB在反法截線BbA的南面，如上圖。當(dāng)A、B兩點(diǎn)在同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，相對(duì)法截線是重合的，夾角為0。 相對(duì)法截線通常是不重合的，兩者所夾的小角有下列數(shù)值： 當(dāng) S=15km時(shí)，=0.001 S=20km時(shí)，=0.002 S=30km時(shí)，=0.007 S=50km時(shí)，=0.01 由上可知: 相對(duì)法截線所夾的角是很小很小的。當(dāng)S=50km時(shí)，Bm=45，A=45時(shí)，兩法截線分開的最大距離為0.0008m。 從上面的數(shù)值看，當(dāng)距離不超過(guò)30公里時(shí)，可以不考慮所引起的問(wèn)題，而認(rèn)為相

26、對(duì)法截線是重合的。,當(dāng)兩點(diǎn)間距離較長(zhǎng)時(shí)，相對(duì)法截線不重合會(huì)帶來(lái)如下的問(wèn)題：,如上圖，在A、B、C三個(gè)點(diǎn)上，由兩條正法截線表示的角度，并不能構(gòu)成一完整的三角形，這就造成幾何圖形的破裂。因此需要在相對(duì)法截線間尋求一條合適的曲線，以代替相對(duì)法截線。經(jīng)理論證明，這一合適的曲線就是介于相對(duì)法截線之間的大地線。,二、大地線的定義和性質(zhì) 在橢球面上兩點(diǎn)間最短的線是大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測(cè)地線）另有這樣的定義：“大地線上每點(diǎn)的密切面（無(wú)限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲面法線”，亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。 假設(shè)橢球面沒(méi)有

27、任何磨擦力，在橢球面上兩點(diǎn)間緊拉一條細(xì)線，則此細(xì)線的位置就和大地線一致。 大地線的形狀如圖所示，大地線是一條曲線，其長(zhǎng)度可以用下式計(jì)算：,大地線與法截線的長(zhǎng)度之差甚微，實(shí)際上可以不 必考慮兩者之差。大地經(jīng)緯度決定了地面點(diǎn)在橢 球面上的絕對(duì)位置，大地方位角則決定了橢球面 上兩點(diǎn)間大地線的方向，大地線和由它們所構(gòu)成 的球面角是組成橢球面上大地控制網(wǎng)的基本元素。,大地線的性質(zhì): 大地線是介于相對(duì)法截線之間的一“S” 形曲線。兩端與正法截線的夾角為。不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法裁線是不重合的，它們之間的夾角；大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間

28、的夾角 在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。 實(shí)際計(jì)算中：在一等三角測(cè)量中，數(shù)值可達(dá)干 分之一二秒，可見(jiàn)在一等或相當(dāng)于一等三角測(cè)量 精度的工程三角測(cè)量中是不容忽略的。 大地線與法截線長(zhǎng)度之差只有百萬(wàn)分之一毫 米，所以在實(shí)際計(jì)算中，這種長(zhǎng)度差異總是可忽 略不計(jì)的。 長(zhǎng)度差異可忽略,方向差異需改化。,大地線的微分方程和克萊勞方程 設(shè)P為大地線上任意一點(diǎn)，其經(jīng)度為，緯度為，大地線方位角為。當(dāng)大地線增加d到P1點(diǎn)時(shí)，則 上述各量相應(yīng)變化dL，dB及dA。 所謂大地線微分方程，即表示 dL、dB和dA與dS的關(guān)系。 dS在子

29、午圈上的分量 dS在平行圈上的分量,大地線的微分方程,以上三式稱為大地線的微分方程,三角形PP2P1是一微分直角三角形,大地線的微分方程,推導(dǎo)大地線的克萊勞方程,此式就是克萊勞方程，也叫克萊勞定理。定理表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù) 。大地線的克萊勞方程：表明了大地線在橢球面上的走向。,兩邊積分，易得,當(dāng)大地線穿越赤道時(shí) 當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí) 由此可見(jiàn)，某一大地線常數(shù)等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時(shí)的大地方位角的正弦的乘積，或者等于該大地線上具有最大緯度的那一點(diǎn)的平行圈半徑。 由克萊勞方程可以寫出 此關(guān)系式

30、可以檢查緯度和方位角計(jì)算的正確性。 克萊勞方程還有以下形式：,6.4 將地面觀測(cè)值歸算至橢球面 1.概述 參考橢球面是測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。在野外的各種測(cè)量都是在地面上進(jìn)行，觀測(cè)的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在地面上處理觀測(cè)成果，而應(yīng)將地面觀測(cè)元素（包括方向和距離等）歸算至橢球面。 1）歸算的意義： 歸算是將地面元素轉(zhuǎn)化為橢球面上的橋梁。 通過(guò)歸算，為在橢球面的測(cè)量計(jì)算提供數(shù)據(jù)。 2）歸算的基本要求： 以橢球面法線為基準(zhǔn)線。 地面點(diǎn)沿法線投影到橢球面。 橢球面兩點(diǎn)連線用大地線。 將地面觀測(cè)元素加入適當(dāng)?shù)母恼龜?shù)化為橢球面上大地線的相應(yīng)

31、元素。3）地面觀測(cè)元素的歸算內(nèi)容： 水平觀測(cè)方向、觀測(cè)天頂距歸算、地面長(zhǎng)度歸算、 天文經(jīng)緯度和方位角歸算等方面,1.將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面的內(nèi)容： 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。 1) 垂線偏差改正u 產(chǎn)生原因：地面上所有水平方向的觀測(cè) 都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上則 要求以該點(diǎn)的法線為依據(jù)。把以垂線為 依據(jù)的地面觀測(cè)的水平方向值歸算到以 法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義 為垂線偏差改正，以u(píng)表示。 如上圖所示，以測(cè)站為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以、表示，M是地面觀測(cè)目

32、標(biāo)m在球面上的投影。 垂線偏差對(duì)水平方向的影響是(R-R1)，垂線偏差改正的計(jì)算公式是： 式中：，為測(cè)站點(diǎn)上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測(cè)區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；Am為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；Z1為照準(zhǔn)點(diǎn)的天頂距；1為照準(zhǔn)點(diǎn)的垂直角。,結(jié)論：垂線偏差改正，不僅與測(cè)站的垂線偏差有關(guān)，而且與觀測(cè)方向的方位角和垂直角有關(guān)。當(dāng)法線與鉛垂線一致，或者照準(zhǔn)點(diǎn)在zz1O面內(nèi)，或者照準(zhǔn)點(diǎn)在測(cè)站水平面上時(shí)，垂線偏差改正為零。 u為0的情況：,（鉛垂線與法線一致）,（照準(zhǔn)點(diǎn)在鉛垂線與法線組成的平面內(nèi)）,（照準(zhǔn)點(diǎn)在測(cè)站水平面內(nèi)）,u最大的情況： 即當(dāng)觀測(cè)方向與垂線偏差方向垂直時(shí)。 垂線偏差

33、改正適用范圍： 一、二等角測(cè)量 三、四等三角測(cè)量中，當(dāng) 和較大時(shí),2) 標(biāo)高差改正h 標(biāo)高差改正又稱由照準(zhǔn)點(diǎn)高度而引起的改正。不在 同一子午面或同一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面 的。當(dāng)進(jìn)行水平方向觀測(cè)時(shí)，如果照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球 面某一高度，則照準(zhǔn)面就不能通過(guò)照準(zhǔn)點(diǎn)的法線同 橢球面的交點(diǎn)，由此引起的方向偏差的改正叫做標(biāo) 高差改正，以 h表示。 產(chǎn)生原因：由于A、B兩點(diǎn)的法線不在同一平面所 產(chǎn)生（即照準(zhǔn)點(diǎn)不在橢球面上） 。 如右圖所示，A為測(cè)站點(diǎn)，如果測(cè)站點(diǎn)觀測(cè)值 已加垂線偏差改正，則可認(rèn)為垂線同法線一致。這 時(shí)測(cè)站點(diǎn)在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對(duì) 水平方向是沒(méi)有影響的。這是因?yàn)闇y(cè)站點(diǎn)法線不變，

34、 則通過(guò)某一照準(zhǔn)點(diǎn)只能有一個(gè)法截面。 設(shè)照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程為H2，Ana和Bnb分別為 A點(diǎn)及B點(diǎn)的法線，B點(diǎn)法線與橢球面的交點(diǎn)為b。因 為通常Ana和Bnb不在同一平面內(nèi)，所以在A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)得出的法截線是Ab而不是Ab ，因而產(chǎn)生了Ab同Ab方向的差異。按歸算的要求，地面各點(diǎn)都應(yīng)沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是Ab方向值而不是Ab方向值，因此需加入標(biāo)高差改正數(shù)h，以便將Ab 方向改到Ab方向。,標(biāo)高差改正的計(jì)算公式： 公式中：H2為照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程， 它由三部分組成： 其中H常為照準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)石中心的正常高，為 高程異常，為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高， B2是照準(zhǔn)點(diǎn)緯度，M2是相應(yīng)的子午圈曲

35、率半徑。 A1為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角。 標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)過(guò)此項(xiàng)改正后， 便將地面觀測(cè)的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向。,h為0的三種情況：,H2=0 照準(zhǔn)點(diǎn)在橢球面上 A1=0 ，90 ，180 ，270 照準(zhǔn)點(diǎn)在測(cè)站點(diǎn)的子午圈或平行圈上 B2= 90 照準(zhǔn)點(diǎn)在極點(diǎn)上,適用范圍：,一、二等角測(cè)量 三、四等三角測(cè)量中，當(dāng)海拔高于700m時(shí),2）標(biāo)高差改正 Correction for skew normals,3）截面差改正g 在橢球面上，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法線不共面，所以在對(duì)向觀測(cè)時(shí)相對(duì)法截弧不重合，應(yīng)當(dāng)用兩點(diǎn)間的大地線代替相對(duì)法截弧。這樣將法截弧方向化為

36、大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正，用g表示。 產(chǎn)生原因：法截線與大地線不一致。 如圖所示，AaB是A至B的法截弧，它在A點(diǎn)處的 大地方位角為A1，ASB 是AB間的大地線，它在 A點(diǎn)的大地方位角是A1，A1與A1 之差g就是截 面差改正 。 截面差改正的計(jì)算公式： 式中S為AB間大地線長(zhǎng)度， ，N1為測(cè)站 點(diǎn)緯度B1相對(duì)應(yīng)的卯酉圈曲率半徑。 g為0的情況： A1=0、90、180、270照準(zhǔn)點(diǎn)在測(cè)站點(diǎn)的子午圈或平行圈上 適用范圍：一等角測(cè)量 天文方位角歸算為大地方位角按（3-170）（前面第三章已講） 天文天頂距歸算為大地天頂距按（3-173）,4、三差改正的計(jì)算 現(xiàn)行作業(yè)一般規(guī)定，一等三角測(cè)

37、量應(yīng)加三差改正，二等三角測(cè)量應(yīng)加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測(cè)量可不加三差改正。但當(dāng) 時(shí)或者H2 000m時(shí)，則應(yīng)分別考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。在特殊情況下，應(yīng)該根據(jù)測(cè)區(qū)的實(shí)際情況作具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表所示：,將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算至橢球面 根據(jù)測(cè)邊使用的儀器不同，地面長(zhǎng)度的歸算分兩種：一是基線尺量距的歸算，二是電磁波測(cè)距的歸算。 1 基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長(zhǎng)度加上測(cè)段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長(zhǎng)度，以表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長(zhǎng)度S。 1）垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響,2）高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響,

38、如果將上式展開級(jí)數(shù)，取至二次項(xiàng)， 3）顧及以上兩項(xiàng)，則地面基線長(zhǎng)度歸算到橢球面上長(zhǎng)度的公式 經(jīng)過(guò)以上計(jì)算，便得到橢球面上的基線長(zhǎng)度。,2. 電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算橢球面 電磁波測(cè)距儀測(cè)得的長(zhǎng)度是連接地面兩點(diǎn)間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考橢球面上。 如圖，大地點(diǎn)Q1和Q2的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測(cè)距儀測(cè)得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點(diǎn)在橢球面上沿法線的投影點(diǎn)Q1和Q2間的大地線的長(zhǎng)度S。 在工程測(cè)量中邊長(zhǎng)一般都是幾公里，最長(zhǎng)也不過(guò)十幾公里，因此，所求的大地線的長(zhǎng)度可以認(rèn)為是半徑 相應(yīng)的圓弧長(zhǎng)。 電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算橢球面上的計(jì)算公式為： 式中 電磁波測(cè)距的歸算公式推導(dǎo)：,將上式按反正弦函數(shù)展

39、開級(jí)數(shù)，舍去五次項(xiàng)，得 進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：,下式為兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)：,電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算的幾何意義： （1）計(jì)算公式中右端第二項(xiàng)是由于控制點(diǎn)之高差引起的傾斜改正的主項(xiàng)，經(jīng)過(guò)此項(xiàng)改正，測(cè)線已變成平距； （2）第三項(xiàng)是由平均測(cè)線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項(xiàng)改正后，測(cè)線已變成弦線； （3）第四項(xiàng)則是由弦長(zhǎng)改化為弧長(zhǎng)的改正項(xiàng)。,顯然第一項(xiàng)即為經(jīng)高差改正后的平距。,問(wèn)題 算例見(jiàn)下表，用上述兩個(gè)公式計(jì)算將電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算至橢球面上。,電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算至橢球面上的計(jì)算公式還可用下式表達(dá)：,4.7 大地測(cè)量主題解算,4.7.1 大地主題解算的一般說(shuō)明 大地元素:大地經(jīng)度L、大地緯度B、兩點(diǎn)間 的大地線長(zhǎng)

40、度S及其正反大地方位角A12、A21。 大地主題解算：如果知道某些大地元素推 求另一些大地元素，這樣的計(jì)算問(wèn)題就叫大地 主題解算，大地主題解算有正解和反解。 大地主題正解：已知Pl點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)，P1至P2的大地線長(zhǎng)S及其大地方位角A12，計(jì)算P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L2，B2)和大地線S在P2點(diǎn)的反方位角A21，這類問(wèn)題叫做大地主題正解。 大地主題反解： 如果已知P1和P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)和(L2，B2)，計(jì)算P1至P2的大地線長(zhǎng)S及其正、反方位角A12和A21這類問(wèn)題叫做大地主題反解。,根據(jù)大地線的長(zhǎng)短，主題解算分為: 短距離(400km)， 中距離(1000km)， 長(zhǎng)距

41、離(1000km以上) 大地主題解算根據(jù)不同理論基礎(chǔ)可分五類： 1以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。 2以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)。 3利用地圖投影理論解算大地問(wèn)題。 4對(duì)大地線微分方程進(jìn)行數(shù)值積分的解法。 5依據(jù)大地線外的其他線為基礎(chǔ)。,1.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。 主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長(zhǎng)，收斂越慢，因此只適用于較短的距離 典型解法：高斯平均引數(shù)法,2.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ) 白塞爾大地主題解算的步驟： 1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面向球面的過(guò)渡； 2)在球面上解算大地問(wèn)題；

42、 3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過(guò)渡。 典型解法：白塞爾大地主題解算 特點(diǎn)：解算精度與距離長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長(zhǎng)距離解算?？蛇m應(yīng)20 000km或更長(zhǎng)的距離，這對(duì)于國(guó)際聯(lián)測(cè)，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。 3 利用地圖投影理論解算大地問(wèn)題 如在地圖投影中，采用橢球面對(duì)球面的正形投影和等距離投影以及橢球面對(duì)平面的正形投影（如高斯投影），它們都可以用于解算大地主題。這類解法受距離的限制，只在某些特定情況下才比較有利。,4 對(duì)大地線微分方程進(jìn)行數(shù)值積分的解法 這種解法直接進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算以解決大地主題的解算。常用的數(shù)值積分算法有高斯法

43、，龍格庫(kù)塔法，牛頓法以及契巴雪夫法等。這種算法易于編寫程序，適用于任意長(zhǎng)度距離。缺點(diǎn)是隨著距離的增長(zhǎng)，計(jì)算工作量大，且精度降低，而在近極地區(qū)，這種方法無(wú)能為力。 5 依據(jù)大地線外的其他線為基礎(chǔ) 連接橢球面兩點(diǎn)的媒介除大地線之外，當(dāng)然還有其他一些意義的線，比如弦線 、法截線等。利用弦線解決大地主題實(shí)質(zhì)是三維大地測(cè)量問(wèn)題，由電磁波測(cè)距得到法截線弧長(zhǎng)。,4.7.2 勒讓德級(jí)數(shù)式在過(guò)已知點(diǎn)P1(L1，B1)且在該點(diǎn)處大地方位角為A12的大地線S上任意一點(diǎn)P2的大地坐標(biāo)(L2，B2)及其方位角A21必是大地線長(zhǎng)度S的函數(shù)。 S0時(shí)，這些函數(shù)值等于P1點(diǎn)的相應(yīng)數(shù)值因此，可在已知點(diǎn)P1點(diǎn)(S0)上，按麥克勞

44、林公式將Pl和P2點(diǎn)的緯度差、經(jīng)度差及方位角之差展開為大地線長(zhǎng)度S的冪級(jí)數(shù)。為了計(jì)算B、L、A的級(jí)數(shù)展開式，關(guān)鍵問(wèn)題是推求各階導(dǎo)數(shù)。,一階導(dǎo)數(shù)： 二階導(dǎo)數(shù)：,大地測(cè)量主題解算,三階導(dǎo)數(shù),大地測(cè)量主題解算,引用符號(hào)：顧及V/c=1/N及第4、第5階導(dǎo)數(shù)，則得勒讓德級(jí)數(shù)式：,大地測(cè)量主題解算,勒讓德級(jí)數(shù)是大地主題解算的一組基本公式，但他僅適用于邊長(zhǎng)短于30km的情況。邊長(zhǎng)長(zhǎng)的話，級(jí)數(shù)收斂慢，且計(jì)算復(fù)雜。后來(lái)學(xué)者博爾茨、赫里斯托夫、史賴伯對(duì)級(jí)數(shù)系數(shù)進(jìn)行了改化。高斯對(duì)勒讓德級(jí)數(shù)也進(jìn)行了改化，提出：首先把勒讓德級(jí)數(shù)在 P點(diǎn)展開改在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M展開，使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定

45、中點(diǎn) M 的復(fù)雜性，將 M 點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的 m 點(diǎn)來(lái)代替，并借助迭代計(jì)算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。,4.7.3 高斯平均引數(shù)正算 高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：首先把勒讓德級(jí)數(shù)在P1點(diǎn)展開改在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M展開，以便級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來(lái)代替， 并借助迭代計(jì)算，便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。 (1)建立級(jí)數(shù)展開式: 兩式相減得：,同理可得:,(2)由于大地線中點(diǎn)M處的緯度和大地方位角均為未知，不能直接用來(lái)計(jì)算，為此用P1和P2點(diǎn)平均緯度和平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)

46、代替M點(diǎn)。,大地測(cè)量主題解算,將（4-202）（4-204）式中的BM,AM為依據(jù)的導(dǎo)數(shù)值改化為Bm、Am為依據(jù)的導(dǎo)數(shù)值：dB/dS是B和A的函數(shù)，則：將上式展開為以Bm、Am為依據(jù)的級(jí)數(shù)：,大地測(cè)量主題解算,(3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):,高斯平均引數(shù)正算公式：同理可得：,注意： 從公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。 除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問(wèn)題解算，其計(jì)算經(jīng)緯度計(jì)算精度可達(dá)到0.0001, 方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001。,4.7.4 高斯平均引數(shù)反算公式 大地主題反算是已知兩端點(diǎn)的經(jīng)、緯度L

47、1，B1及L2，B2，反求兩點(diǎn)間的大地線長(zhǎng)度S及正、反大地方位角A12和A21。 這時(shí)，由于經(jīng)差L、緯差 B及平均緯度Bm均為已知，故可依正算公式很容易地導(dǎo)出反算公式。 高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出: 上述兩式的主式為: 將上式代入前兩式，并按L和B集項(xiàng)得：,已知： 求得：,4.7.5 白塞爾大地主題解算方法 白塞爾法解算大地主題的基本思想: 以輔助球面為基礎(chǔ),將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形,由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。 這種方法的關(guān)鍵問(wèn)題是找出橢球面上的

48、大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式,同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。 在球面上進(jìn)行大地主題解算 球面上大地主題正算: 已知 求解 球面上大地主題反算: 已知 求解,1、在球面上進(jìn)行大地主題解算 極球面三角元素間的相互關(guān)系,球面上大地主題正解,球面上大地主題反解方法,2 、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式,在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:,白塞爾提出如下三個(gè)投影條件： 1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧 2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等； 3.球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸化緯度。=,由（4-240）式及第二投影條件（A=）及公式 得：,以上兩式為白塞爾微分方程

49、。表達(dá)了橢球面上大地線長(zhǎng)度與球面上大圓弧長(zhǎng)度，橢球面上經(jīng)差與球面上經(jīng)差的微分關(guān)系。對(duì)這組方程進(jìn)行積分就可以求得S與，L與的關(guān)系式。,3 、白塞爾微分方程的積分,積分得到S與的關(guān)系式： 利用此公式可以計(jì)算赤道至大圓弧任意一點(diǎn)Pi的大地線的長(zhǎng)度。為計(jì)算兩點(diǎn)P1P2間的大地線長(zhǎng)度，對(duì)這兩點(diǎn)分別使用上式得： 因?yàn)镾=S2-S1，=2-1，將上兩式相減得:,適合于反算: 適合于正算: 迭代法: 直接法:,現(xiàn)在研究:,將三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項(xiàng)，積分。截去4倍角項(xiàng)，其值小于0.0001秒。,正算： 反算：,4 白塞爾法大地主題正算步驟,1.計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度 2.計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角

50、形可得: 3. 按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)A,B,C以及,4.計(jì)算球面長(zhǎng)度 迭代法: 直接法:,5.計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù) 6.計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角,5 白塞爾法大地主題反算步驟,1.輔助計(jì)算,2.用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長(zhǎng)度及經(jīng)差 ，第一次趨近時(shí)，取。,計(jì)算下式,重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程2. 3. 計(jì)算大地線長(zhǎng)度S 4. 計(jì)算反方位角,大地主題解算編程實(shí)驗(yàn),一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1、提高運(yùn)用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程開發(fā)能力。 2、 加深對(duì)大地主題解算計(jì)算公式及輔助參數(shù)的理解并掌握其計(jì)算步驟。 3 、實(shí)現(xiàn)大地主題解算計(jì)算機(jī)的計(jì)算過(guò)程提高解算精度。 二、實(shí)驗(yàn)工具 運(yùn)用自己熟悉的編程開發(fā)語(yǔ)言（C、VC、VB、FO

51、RTRAN、Matlab等） 三、實(shí)驗(yàn)要求提交報(bào)告、實(shí)驗(yàn)總結(jié)及編寫的源代碼程序 1、每人獨(dú)立完成大地主題解算的計(jì)算程序編制，并調(diào)試運(yùn)行并計(jì)算出正確結(jié)果； 2、此次編程實(shí)驗(yàn)應(yīng)上交成果資料（每人一份）： （1）編程思想、編程過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題及如何解決問(wèn)題的； （2）源程序編碼； （3）計(jì)算結(jié)果； 四、注意 1、計(jì)算所需的變量多。 2、正反算函數(shù)的編寫。 3、函數(shù)的調(diào)用。 4、弧度及角度的轉(zhuǎn)換。 5、輸出的參數(shù)精度正確。,本章小結(jié),1.地球橢球的幾何性質(zhì)。幾個(gè)重要概念：法截線、子午圈曲率半徑、卯酉圈曲率半徑、大地線、相對(duì)法截弧。 2.地面觀測(cè)值歸算到橢球面的原理及過(guò)程：方向歸算、長(zhǎng)度歸算。 3.大地

52、測(cè)量主題解算方法。,習(xí) 題,1試寫出橢球的基本元素及其基本關(guān)系式。,2在控制測(cè)量的橢球解算中，常引用下列符號(hào)： 、 、 、 ，,3我國(guó)解放后主要采用哪兩種參考橢球?其主要參數(shù)是什么? 4繪圖并說(shuō)明表示橢球面上點(diǎn)位的三種常用坐標(biāo)系統(tǒng)。 5在報(bào)紙上經(jīng)?？吹絏 X號(hào)輪船在東經(jīng)XXX度，北緯X X度遇險(xiǎn)一 6寫出參考橢球體的五個(gè)基本元素及相互間的關(guān)系。 7什么叫子午圈？什么叫平行圈？,8參考橢球體扁率的變化，橢球體的形狀發(fā)生怎樣的變形？ 9簡(jiǎn)要說(shuō)明并圖示地面某一點(diǎn)的大地高、正常高以及大地水準(zhǔn)面 差距的幾何意義。 10什么是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系？有何優(yōu)點(diǎn)？ 11畫圖表示地心緯度坐標(biāo)系和歸化緯度坐標(biāo)系，這

53、兩種坐標(biāo)系 在大地測(cè)量中有何意義？ 12用公式表示空間直角坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系之間的關(guān)系。 13何為大地緯度、歸化緯度、地心緯度？三者間有何關(guān)系？,試問(wèn)它們之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)基本共同特點(diǎn)是什么？,類的報(bào)導(dǎo)，試問(wèn)這是指的什么坐標(biāo)系，為什么?,14簡(jiǎn)要敘述M、N、R 三種曲率半徑之間的關(guān)系。 15大地坐標(biāo)系和天文坐標(biāo)系各以什么作基準(zhǔn)面和基準(zhǔn)線？ 16試推證卯酉圈、子午圈曲率半徑的計(jì)算公式。 17B00的平行圈是否有可能是法截線？為什么？ 18卯酉圈曲率半徑N與子午圈曲率半徑M何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？ 19，為什么說(shuō)任意方向法截線曲率半徑 隨A的變化是以900為周期的？這 一結(jié)論對(duì)橢球問(wèn)題的解算有什么意義？ 20什么是法線？什么是法截面？它們對(duì)橢球解算有什么意義？ 21當(dāng)橢球元素確定之后，橢球面上任意方向法截線曲率半徑的計(jì)算值 取決于哪兩個(gè)變量？為什么？ 22已知?dú)W拉公式：,23研究平均曲率半徑R對(duì)橢球解算有何意義？在我國(guó)中緯度地區(qū)R與的 最大差異是多少？試將它對(duì)距離化算（用R代替）的影響作一定量分析。,試由橢球基本元素及公式出發(fā)，用兩種方法導(dǎo)出計(jì)算任意方 向法截線曲率半徑的公式和平均曲率半徑R的公式。,24在推導(dǎo)計(jì)算子午線弧長(zhǎng)公式時(shí)，為什么要從赤道起算？若欲求緯度B1和B2間的子午線弧長(zhǎng)( 0)，如何計(jì)算？ 25當(dāng)子午線弧長(zhǎng)不超過(guò)45km時(shí)，則可將其視為圓弧，試論