控制系統(tǒng)的微分方程

1、控制理論基礎(chǔ),第二章 控制系統(tǒng)的微分方程,本章主要內(nèi)容: 2.1 2.2 2.3,建立系統(tǒng)微分方程的一般方法和步驟 線性系統(tǒng)及其齊次性和疊加性 非線性數(shù)學(xué)模型線性化,Part 2.1建立系統(tǒng)微分方程的一般方法和步驟,數(shù)學(xué)模型的定義,數(shù)學(xué)模型是指出系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間動態(tài) 關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與性能特性 的內(nèi)在聯(lián)系。,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。,自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運動

2、規(guī)律。,建立數(shù)學(xué)模型的目的：,建立數(shù)學(xué)模型的方法：,解析法（本課程研究） 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。 實驗法(系統(tǒng)辨識課研究) 人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。,常用數(shù)學(xué)模型,時間域：微分方程 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù) 頻率域：頻率特性,Part2.1.1 微分方程的一般特征,Part2.1.2 建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟,簡化物理系統(tǒng) 劃分環(huán)節(jié) 寫出每或一環(huán)節(jié)(元件) 運動方程式 消去中間變量 寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,簡化物理系統(tǒng),簡忽略次要因素 分布參量集中化 非線性因素線性化 時變參量定

3、?；?分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量(必要時還要考慮擾動量)，并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。,劃分環(huán)節(jié),按功能（測量、放大、執(zhí)行）劃分,寫出每或一環(huán)節(jié)(元件) 運動方程式,從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級對前一級的影響。,負(fù)載效應(yīng),寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化包含兩方面的內(nèi)容： 將與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右邊， 與輸出量有關(guān)的各項放在方程的左邊； 各導(dǎo)數(shù)項按降冪排列,Part2.1.3 理想元件的微分方程描述 電氣系統(tǒng)三元件,電

4、學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。,機(jī)械運動系統(tǒng)的三要素,機(jī)械運動的實質(zhì)： 牛頓定理、能量守恒定理,阻尼 ,質(zhì)量 M,彈簧 K,Part 2.1.4 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程,機(jī)械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉(zhuǎn)動兩種。機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素。,機(jī)械平移系統(tǒng),1）微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù) 2）階次等于獨立儲能元件的數(shù)量,機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),K 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù),粘性摩擦系數(shù),例2.1：直線運動（機(jī)械平移系統(tǒng)）,例2.2：轉(zhuǎn)動系統(tǒng),Part 2.1.5 電氣系統(tǒng)的微分方程,電氣系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律（克?；舴螂娏麟妷憾桑懗鑫⒎址匠淌剑M(jìn)而建立

5、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 1）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電流之代數(shù)和應(yīng)等于0（即流出節(jié)點的電流之和等于所有流進(jìn)節(jié)點的電流之和）。 2）基爾霍夫電壓定律 電網(wǎng)絡(luò)的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。,電氣系統(tǒng),例2.3： uC 為輸出電壓， ur為輸入電壓， 寫出電氣系 統(tǒng)的微分方程。,Part2.1.6 機(jī)電系統(tǒng)的微分方程,Part 2.2 線性系統(tǒng)及其齊次性和疊加性,線性微分方程：因變量或它的導(dǎo)數(shù)都不高于一次方，并 且沒有因變量與其導(dǎo)數(shù)之積。,線性系統(tǒng)：用線性微分方程描述的系統(tǒng)。,線性定常系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù) 是常數(shù)。,線性時變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微

6、分方程的系數(shù) 是隨時間而變化的。,線性系統(tǒng)的重要性質(zhì):,2. 疊加性，即： 如果輸入r1(t)輸出y1(t)， 輸入r2(t)輸出y2(t) 則輸入r1(t)+r2(t) 輸出 y1(t)+y2(t),1.齊次性，即： 如果輸入r1(t)輸出y1(t)， 則輸入a r1(t輸出a y1(t),線形系統(tǒng)的一般形式,Part 2.4 非線性數(shù)學(xué)模型線性化,非線性系統(tǒng)：,如：帶鐵芯的電感線圈、機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比等。,用非線性微分方程描述。,有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性； 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的。,可以應(yīng)用疊加原理，以及應(yīng)用線性理論對系統(tǒng)進(jìn)行分

7、析和設(shè)計。,線性系統(tǒng)缺點：,線性系統(tǒng)優(yōu)點：,線性化方法,以微小偏差法為基礎(chǔ)，運動方程中各變量就不是它們的絕對值，而是它們對平衡工作點的偏差。,增量 （小偏差法）,假設(shè)： 在控制系統(tǒng)整個調(diào)節(jié)過程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會產(chǎn)生足夠微小的偏差。,非線性方程 局部線性增量方程,增量方程,增量方程的數(shù)學(xué)含義： 將參考坐標(biāo)的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。,非線性微分方程的小偏差線性化： 將非線性函數(shù)在平衡工作點鄰域展開成泰勒級數(shù)，并且略去高次項。,單變量函數(shù)泰勒級數(shù)法,函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的項，則：,注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。 注：y = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程,多變量函數(shù)泰勒級數(shù)法,1）確定工作點； 2）列出在工作點附近各元件的增量方程；