教學(xué)設(shè)計中對”問題“的設(shè)計

1、.作業(yè)-我在教學(xué)設(shè)計中對數(shù)學(xué)“問題”的設(shè)計 在1976年，25位國際著名數(shù)學(xué)家于美國伊利諾斯大學(xué)的一次國際會議上提吃了27個數(shù)學(xué)問題，圍繞著這些問題或猜想的數(shù)學(xué)活動和攻關(guān)，無疑推動著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，可見數(shù)學(xué)教學(xué)的最終落腳點必然是解決數(shù)學(xué)問題。 問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心臟，好的數(shù)學(xué)問題更是學(xué)好數(shù)學(xué)的靈魂。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若能自由駕馭教材，隨時設(shè)計出符合教學(xué)要求，切合學(xué)生實際的好的數(shù)學(xué)問題，必將極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，如果能夠讓學(xué)生根據(jù)自己的數(shù)學(xué)能力提出有創(chuàng)意的數(shù)學(xué)問題，那就更能有效地提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。通過本次“有效教學(xué)模式”專題的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我的保證課堂教學(xué)有效性的能力得以

2、提升，學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性有了保障，教學(xué)模式從來就是多樣化的，但不論何種模式，必須以促進“學(xué)生有效學(xué)習(xí)”為終極目標。下面是我的一節(jié)習(xí)題課的片段，我的設(shè)計意圖是“促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)，提高用數(shù)學(xué)意識，提升用所學(xué)數(shù)學(xué)知識提出數(shù)學(xué)問題，解決實際問題的能力”。我把幾個主要問題的設(shè)計思想歸納如下：一、倒推法 這是根據(jù)事先想好的答案來設(shè)計相應(yīng)問題的方法，實際上也是一種由答案出題目的方法，用這種方法編造的題目，由于推演的過程不一定是可逆的，其解不一定剛好是預(yù)定的結(jié)果，要想完全按預(yù)定結(jié)果編題，就必須在倒推過程中，注意保證處處可逆。 例：請同學(xué) 設(shè)計一道以x=1+，y=1為解的二元一次方程組的題。 同學(xué)們根據(jù)設(shè)計要求分

3、析討論后明確; 因為以x=1+，y=1為解的二元一次方程組具有標準形式：11111, 21212， 所以只要定出1、2、1、2、1、2即可。由于這六個參數(shù)中，獨立的只要四個，任給112，12，212，22，代入上式可算出122，244。于是一道以預(yù)先給定的1為解的二元一次方程組的題就設(shè)計出來了。然后請其他各組同學(xué)展示自己組的設(shè)計問題并解答。二、 換元法 這 是一種對已知命題中的變量進行代換來設(shè)計問題的方法，常用的代換方法為簡單的代數(shù)代換和三角代換。一般地講，由這種方法設(shè)計出來的題目，總是比較靈活、新穎、復(fù)雜。題目往往發(fā)生了質(zhì)的區(qū)別。例 課堂上和同學(xué)們一起 對固定的拋物線方程y 4x作代換：令x

4、 x，y y，（R），得一變動的拋物線方程y4x，其頂點坐標為，顯然分布在定直線yx上，由于拋物線系y4xR可由已知拋物線 y4x“沿直線yx平移”產(chǎn)生，于是同學(xué)們根據(jù)平移的性質(zhì)，小組討論，總結(jié)。一道綜合性的解析幾何題就設(shè)計出來了：“已知拋物線系xy2y4（R），證明它們的頂點分布在一條直線l上，并且與拋物線系相交又與l平行的直線被此拋物線系戴出的弦長相等”。三、變換命題法 根據(jù)四個命題的概念，每一個數(shù)學(xué)命題都可以變出另外三個題目來：視原題目為原命題，則另外三個題目就分別是原命題的逆命題，否命題和逆否命題。具有特殊重要意義的逆命題，如果它成立，就得到了一個與原問題完全不同的新問題了，另外，對同

5、一個問題，還可以通過改變其前提結(jié)論，或增加、減少它們的條件，或?qū)ζ溥M行推廣、延伸，得到一系列新問題。例 同學(xué)們知道平面上的四邊形，若四個內(nèi)角均為90，則此四邊形必為矩形，現(xiàn)在把前提擴大一下，讓我們在空間來重新考慮這個問題。若空間里的四邊形ABCD滿足DABABCBCDCDA90，看看ABCD是否還是矩形。 c A D E B 圖 2這里問題的關(guān)鍵在于，此時，A、B、C、D、是否共面，若共面，結(jié)論仍為矩形；若不共面，可設(shè)ABD平面為，CE，E為垂足，連BE、DE，則由三垂線定理之逆，知ABEADE90，推知BED90，于是BEDEBDBCDC與BEDEBCDC顯然矛盾，所以A、B、C、D不可能不

6、共面。ABCD為平面四邊形，結(jié)論仍為矩形。于是一道饒有趣味的立體幾何題通過改變命題的前提就產(chǎn)生了。同學(xué)們設(shè)計出的有代表性的問題是：“若A、B、C、D是空間四點，滿足DABABCBCDCDA90，則ABCD是一個矩形?！彼摹缀沃庇^法 幾何圖像往往是數(shù)量關(guān)系的形象表示，因此幾何直觀就成了解題和設(shè)計問題的一個重要源泉。用這種方法設(shè)計數(shù)學(xué)題，必須對各種曲線的性質(zhì)有深刻理解，必須善于用運動變化的觀點來觀察曲線。設(shè)計時既要注意到各種幾何量的變化情況，也要注意各種幾何圖形之間的相互關(guān)系，用幾何直觀設(shè)計的題目，必須經(jīng)過嚴格證明才能引用。例 引導(dǎo)學(xué)生利用對數(shù)函數(shù)圖像設(shè)計一個與 對數(shù)有關(guān)的題。 y C yx A

7、1 C O B A A2 x B 圖 2 同學(xué)們觀察到 對數(shù)函數(shù)yx在0，1間的圖像陡于在1，間的圖像不論a1還是0a1，這意味著，當0x1時，1x1x這個事實可以用yx的凹凸性加以證明，以a1為例。此時y 1xa0，y是下凹函數(shù)。取A1,0為切點畫切線BC，則整個曲線位于BC的下方。設(shè)A11X，0, 過A1與X軸垂直的直線交切于B，交曲線與B。過A21X，0與X軸垂直的直線交切于C，交曲線于C。上述特性意味著1XA1BA1BA2CA2Ca1X。同學(xué)們觀察到的結(jié)果得到證實，通過進一步討論，同學(xué)們設(shè)計出問題如下：“證明：當0，1且0X1時，有a1Xa1X?！贝祟}的初等證法如下：1X1X(1lga)lg1X(1lga)lg1X(1Ilga)lg1X(1llg)lg1X(1lg)lg1X0。反思：本課完成了預(yù)定設(shè)計目標。同學(xué)們對這種自己設(shè)計問題，自己解決問題的習(xí)題課饒有興趣，活動積極，富有成果，不僅提高了解決問題的能力，而且