復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)

1、1.3 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)反函數(shù)函數(shù)的運(yùn)算一、復(fù)合函數(shù)(compound function)對(duì)于一些函數(shù), 例如, 我們可以把它看成是將代入中而得. 像這樣在一定條件下, 將一個(gè)函數(shù)“代入”到另一個(gè)函數(shù)中的運(yùn)算在數(shù)學(xué)上叫做函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算, 由此而得的函數(shù)就叫做復(fù)合函數(shù).其中 例1 因此能夠形成復(fù)合函數(shù)不是任意兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的. 如 及 就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù), 因?yàn)榈谝粋€(gè)函數(shù)的定義域與第二個(gè)函數(shù)的值域其交集為空集. 換句話(huà)說(shuō), 第二個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在定義域內(nèi)任取一值, 對(duì)應(yīng)函數(shù)值都使得第二個(gè)函數(shù)無(wú)意義.復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個(gè)中間變量, 還可以有多個(gè)中間變量. 如函數(shù),

2、可看作由, 及復(fù)合而成, 其中為中間變量.二、反函數(shù)(inverse function) 反函數(shù).那么把看成自變量, 看成因變量, 由函數(shù)的定義, 就成為的函數(shù), 這個(gè)函數(shù)稱(chēng)之為的反函數(shù), 記, 其定義域是, 值域是. 按照習(xí)慣, 我們總是取為自變量, 為因變量, 這樣函數(shù)的反函數(shù)就寫(xiě)成:.如果把與其反函數(shù)的圖形畫(huà)在同一坐標(biāo)平面上, 那么這兩個(gè)圖形關(guān)于 圖1-3直線對(duì)稱(chēng)（如圖1-3所示）. 顯然, 也是的反函數(shù), 或者說(shuō), 與是互為反函數(shù), 前者的定義域與后者的值域相同, 前者的值域與后者的定義域相同.定理（反函數(shù)存在定理）：?jiǎn)握{(diào)函數(shù) f 必存在單調(diào)的反函數(shù) ，且此反函數(shù)與 f 具有相同的單調(diào)性.一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)不一定有反函數(shù),但在其每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上一定有反函數(shù).例2 函數(shù),的直接反函數(shù)為，它的矯形反函數(shù)為，其反函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?例3 函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有反函數(shù),但在單調(diào)區(qū)間和內(nèi)分別有反函數(shù)和.三、函數(shù)的運(yùn)算，可以定