簡諧運(yùn)動的合成與分解

1、二、同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成,一、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成,三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成,研究方法： 采用振動描述的三種方法來分析簡諧振動的合成,20-2 簡諧振動的合成和分解,本講主要內(nèi)容,五、諧振分析和頻譜,四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成,同方向同頻率兩個簡諧振動的合成仍為簡諧振動,一、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成,討論兩個特例,1)兩個振動同相,由,由,2)兩個振動反相,合成振動,合成振動,上述結(jié)果說明兩個振動的相位差對合振動起著重要作用,合成振動,例: 兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后，產(chǎn)生一個具有相同振幅的諧振動，求原來兩個振動的相位差

2、,解,例: N個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次為， 2，,試求它們的合振幅;并證明當(dāng)N=2k 時的合振幅為零,解：合振幅A,由OPa可看出,分析： 當(dāng)N=2k 時的合振幅為零,請大家自行練習(xí),請記住這個結(jié)論！做筆記,當(dāng)=2k 時的合振幅為最大,仍為簡諧振動,若1= 2 ,則 不變,若1 2 ,則 變,為一復(fù)雜運(yùn)動,采用旋轉(zhuǎn)矢量表示法,同方向同頻率兩個簡諧振動的合成,二.同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成,同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成,設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為計時起點(diǎn),采用解析法,振動曲線示意圖,為一復(fù)雜振動,和頻,差頻,振幅周期性變化,拍現(xiàn)象（Beat,即 1-

3、2 1 or 2,x1,拍現(xiàn)象（Beat,即 1- 2 1 or 2,解析式,振動曲線,振幅隨時間的變化非常緩慢,振幅調(diào)制因子Amplitude modulation factor,一個強(qiáng)弱變化所需的時間,x1,x2,合振幅變化的頻率即拍頻,手風(fēng)琴的中音簧： 鍵盤式手風(fēng)琴（Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差6到8個赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚(yáng)”-紐扣式手風(fēng)琴則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果,利用拍頻測速 從運(yùn)動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通

4、工具的雷達(dá)測速裝置中,拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象,仍為諧振動，但是振動方向改變了,三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成,軌跡為圓,右旋,提問：若y方向振動落后x方向，則結(jié)果如何,畫合運(yùn)動的軌跡：可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小點(diǎn)按順序用曲線聯(lián)起來，即可得所求合運(yùn)運(yùn)動的軌跡,兩個互相垂直不同振幅同頻率簡諧振動的合成,與合成相反：一個圓運(yùn)動或橢圓運(yùn)動可分解為相互垂直的兩個簡諧振動,四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成,如果兩個相互垂直的振動的頻率不相同，它們的合運(yùn)動比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只討論簡單的情形,兩振動的頻率只有很小的差異,則可以近似地看做同頻率的合成，不過相差在緩

5、慢地變化，因此合成運(yùn)動軌跡將要不斷地按上圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等,如果已知一個振動的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測定頻率的方法,則合成運(yùn)動又具有穩(wěn)定的封閉的運(yùn)動軌跡。這種圖稱為李薩如圖,如果兩振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比,五、諧振分析和頻譜,在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動大多不是簡諧振動，而是復(fù)雜的振動，處理這類問題，往往把復(fù)雜振動看成由一系列不同頻率的間諧振動組合而成，也就是把復(fù)雜振動分解為一系列不同頻率的間諧振動，這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉

6、分析,自學(xué),先看一個倍頻諧振動的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動，頻率之比為3:1，實線代表它們的合振動，圖（a),(b), (c)分別表示三種不同的初相位所對應(yīng)的合振動。三種不同情況，和振動各有不同形式，它們不再是簡諧振動，但仍然是周期運(yùn)動，而且合振動的頻率與分振動中的最低頻率（基頻）相等,如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動仍然是周期運(yùn)動，其頻 率等于倍頻。按規(guī)律,如果增加合成的項數(shù)，就可以得到方波形的振動,既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運(yùn)動，那么，與之相反，任意周期性振動都可以分解為一系列簡諧振動，各個分振動的頻率都是原振動頻率的整

7、數(shù)倍，其中與原振動頻率一致的分振動稱為基頻振動，其它的分振動則依照各自的頻率相對于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、諧頻振動。這種把一個復(fù)雜的周期振動分解為一系列簡諧振動之和的方法，稱為諧振分析,各系數(shù)可由公式得,其中,為了顯示實際振動中所包含的各個簡諧振動的振動情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動 的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動的振幅分布圖，稱為振動的頻譜。不同的周期運(yùn)動，具有不同的頻譜，周期運(yùn)動的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍， 所以它的頻譜是分立譜,不同樂器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色各不相同，就是由于各種樂器所包含的諧頻振動的振幅不同所致。下圖表示

8、小提琴和鋼琴同奏基頻為440Hz(A調(diào)）的振動曲線和相應(yīng)的頻譜,近年來，配備有數(shù)字電子計算機(jī)的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機(jī)、信號處理機(jī)等， 使用這類儀器可以在很短的時間內(nèi)完成頻譜分析,在阻尼較小時， 0,由牛頓第二定律,令,代入上式（ 稱為阻尼因子,稱為阻尼系數(shù),對于摩擦阻尼， 當(dāng) 不太大時,阻尼振動（摩擦阻尼，輻射阻尼,略講自學(xué),20.3 阻尼振動 受迫振動,阻尼振動的特點(diǎn)： 1.振幅特點(diǎn):振幅A(t) = A0e- t 振幅隨t衰減(因為振動能量不斷損耗) 2.周期特點(diǎn):嚴(yán)格講，阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因為位移x(t)不是t的周期函數(shù)。但阻尼振動有某

9、種重復(fù)性,式中,稱為阻尼振動振幅,三種阻尼flash演示,曲線,為 過阻尼振動,曲線為 臨界阻尼,在生產(chǎn)實際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小,圖中曲線1,2為 阻尼振動,設(shè) 為物體相繼兩次通過極大(或極小)位置所經(jīng)時間,阻尼、臨界阻尼和過阻尼,受迫振動,驅(qū)動力,運(yùn)動方程,穩(wěn)態(tài)振動后，方程的解為,對于一定的振動系統(tǒng)，當(dāng)一定時，位移振幅A隨頻率 而改變,注意:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動與無阻尼自由振動實質(zhì)有所不同,令,頻率為外力頻率，與振動系統(tǒng)固有頻率無關(guān),受迫振動特點(diǎn)： 穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化(要注意它和無阻尼自由諧振動的區(qū)別)。 角頻率：等于策動力的角頻率 。 振幅：由系統(tǒng)參數(shù)(0)，阻尼()，策動力(F0，)共同決定。 A的大小敏感于和0的相對大小關(guān)系，而和初始條件(x0、0和F0)無關(guān)。 初相：亦決定于0、F0和，與初始條件無關(guān)。值在- 0之間?？梢?，位移x落后于策動力f的變化( f的初相為零,共振,2）速度共振（圖2,1）位移共振（圖1,在一定條件下，振幅出現(xiàn)極大值，振動劇烈的現(xiàn)象,一定條件下，速度幅A極大的現(xiàn)象,即速度共振時，速度與策動力同相，一周期內(nèi)策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大,俄羅斯伏爾加大橋恐怖蛇形振動,為合振幅隨時間作緩慢變化