點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系練習(xí)題

1、第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ).若 1 m , m/n ,則 1 nB .若I,n ，則1 nC.若 1 m , m n,則 1 n.D .若I /,n / ，則 1 / n.【05北京理】 在正四面體 PABC中，D ,E,F分別是AB , BC ,四個(gè)結(jié)論中不成立的是A . BC /平面 PDFB .DF平面 PAEC.平面 PDF 平面 ABCD.平面PAE 平面 ABC1.【05廣東】4.【05上海春招】 已知直線I、m、n及平面CA的中點(diǎn),5.一、選擇題若m,lA,點(diǎn)Am,則I與m不共面；若m、1是異面直線， /,m/ ,且 nI, n m,則 n;若 / , mil ,/

2、,則 I /m ;若,m, m 點(diǎn)A,I / , m/,則 其中為假命題的是A .B .C.D.)5江蘇】設(shè),為兩兩不重合的平面,I, m,n為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若，則II;若m,n,m|,nII ，則 II若|, I，則 I II;若I ,m ,n , I II :m | n其中真命題的個(gè)數(shù)是A. 1B . 2C. 3D . 405遼寧】已知m、n是兩條不重合的直線，a、B、丫是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若m, m,則/;若，則/;若m, n,m/ n,貝 U/ ;若m、n是異面直線，m,m/ , n,n/ ,則/ 。其中真命題是A .和B .和)C.和D.和

3、，則F列命題中的假命題是2.3.【給出下列關(guān)于互不相同的直線m、I、n和平面a、B的四個(gè)命題:6. 【05北京春考理】 有如下三個(gè)命題： 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線； 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線； 過(guò)平面 的一條斜線有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確命題的個(gè)數(shù)為A0B1C 2D37. 【05北京春考文】 下列命題中，正確的是A .經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線D .垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行&【05福建理】 已知直線m、n與平面,，給出下列三個(gè)命題: 若 m , n/ ,則m/n;若 m

4、，n ,則n m;若 m ,m/ ,則.其中真命題的個(gè)數(shù)是A. 0B. 1C. 2D. 39.【05湖北文】 已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：若 a b,b c,則a/c； 若 a/b,b c,則 a c ； 若 a/ ,b ,則a/b ； 若a與b異面，且a/,則b與相交； 若 a 與 b 異面，則至多有一條直線與 a， b 都垂直 . 其中真命題的個(gè)數(shù)是A1B2C3D410.【05全國(guó)I 理】過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有A 18對(duì)B 24 對(duì)C 30 對(duì)D36對(duì)11. 05全國(guó)n 理】正方體 ABCDA|B1C1D1 中，P、Q、R 分別是 AB、AD、B

5、1C1的中點(diǎn)那么，正方體的過(guò) P、Q 、 R 的截面圖形是A 三角形B 四邊形C 五邊形D 六邊形12. 【05全國(guó)川理】 不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 6個(gè)D. 7個(gè)13. 【05天津理】 設(shè)、為平面，m、n、l為直線，則m的一個(gè)充分條件是A.,l,m lB.m,C., ,mD. n ,n ,m14.【05浙江理】設(shè)為兩個(gè)不同的平面， l、 m 為兩條不同的直線， 且 l，m有如下的兩個(gè)命題：若/ ，則I / m;若I丄m,貝U丄那么A .是真命題，是假命題B是假命題，是真命題C.都是真命題D都是假命題15.【05重慶理】對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與

6、，給定下列條件： 存在平面，使得、都垂直于； 存在平面，使得、都平行于； 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離相等；存在異面直線I、m,使得 I/, I/, m/, m,其中，可以判定與平行的條件有二、填空題1.【05湖南文】 已知平面，和直線m,給出條件： m ：m :m ： / (i) 當(dāng)滿(mǎn)足條件時(shí)，有m ；(ii) 當(dāng)滿(mǎn)足條件 時(shí)，有m (填所選條件的序號(hào))2. 【05全國(guó)理】在正方形ABCD ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的一個(gè)平面交 AA于E,交CC于F,則 四邊形bfde一定是平行四邊形 四邊形bfde有可能是正方形 四邊形BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形 四邊形bfde有可能垂直于平面

7、bbd以上結(jié)論正確的為 (寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))3. 【05全國(guó)n 理】 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐. 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐. 側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 其中，真命題的編號(hào)是 .（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）4.【05山東理】 已知m、n是不同的直線,是不重合的平面，給出下列命題:若/,m ,n ,則 m n +若m, n,m，n,則 /若,n , m / n ,則 /”m、n是兩條異面直線，

8、若m ，m,n ，n,則 /上面命題中，真命題的序號(hào)是（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）5.【05山東文】 已知m、n是不同的直線,是不重合的平面，給出下列命題:若m，則m平行于平面內(nèi)的任意一條直線.若 /,m,n ，則 m n +若m若 ,m測(cè)m/上面命題中，真命題的序號(hào)是 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào) ）6.【05重慶理】連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是 （填寫(xiě)所有正確選有3條邊相等的四邊形有一組對(duì)角相等的四邊形項(xiàng)的序號(hào)）梯形菱形 平行四邊形二、計(jì)算題1.【05廣東】如圖1所示，在四面體PB=2. 34 .F是線段PB上一點(diǎn)，CF在線段 AB上，且 EF PB.(I)(n)解證明：PB丄平面CEF;

9、 求二面角 B CE F的大小.（I）證明：/ PA22 2AC 3664100 PC PAC是以/ PAC為直角的直角三角形，同理可證 PAB是以/ PAB為直角的直角三角形， PCB是以/ PCB為直角的直角三角形 故PA丄平面ABC1 1又Spbc ?|PC|BC| ? 10 6 30而 1|PB|CF | - 2 3415 3430 S pbc2 217故CF丄PB,又已知EF PB PB丄平面CEF（II）由（I）知PB丄CE, PA丄平面 ABC AB是PB在平面 ABC上的射影，故 AB丄CE 在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF1垂直AB交AB于F1，則 EF1是EF在平面 ABC上的射

10、影， EF丄ECFFi丄平面ABC ,F1 /C故/ FEB是二面角BCE F的平面角tan FEB cot PBAABAP5 面角BCE F的大小為arctan32.【05江蘇】如圖，在五棱錐 SABCDE中，SA丄底面 ABCDE , SA=AB=AE=2 ,BCDE 3 ,BAEBCD CDE 120 .求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）； 證明：BC丄平面SAB ;用反三角函數(shù)值表示二面角B SC D的大?。ū拘?wèn)不必寫(xiě)出解答過(guò)程）解(I)連結(jié) BE，延長(zhǎng) BC、ED 交于點(diǎn) F,則/ DCF= / CDF=60, CDF為正三角形， CF=DF.又BC=DE , BF

11、=EF,因此， BFE為正三角形， / FBE= / FCD=600,所以/ SBE (或其補(bǔ)角)T SA丄底面 ABCDE , BE/CD就是異面直線SA=AB=AE=2 ,CD與SB所成的角+B CS* SB=2 .2，同理 SE= 2 . 2 ,又/ BAE=120 0,所以 BE= 2 3，從而,cos/ SBE= 64- 6 / SBE=arccos -4.6所以異面直線CD與SB所成的角是arccos(H )由題意， ABE為等腰三角形，/BAE=120 0, / ABE=30 0,又/ FBE =60,/ SA 丄底面 ABCDE , BC SA 丄BC,又 SA BA=A ,

12、/ ABC=90, 底面ABCDE , BC丄平面SAB* BC 丄 BA（川）二面角 B-SC-D的大小782arccos 82(I)(n)(出)/解錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間 想象能力及運(yùn)用方程解未知量的基本方法。I）證明：連結(jié)（PE1 EF -BC2CFAB,PFPC平面 PCF,AB, AB 平面 PCF.PC丄 AC, AP PC.2AB. PC 平面 PAB.I3.【05遼寧】 已知三棱錐 PABC中，E、F分別是 AC、AB的中點(diǎn), ABC , PEF 都是正三角形，PF丄AB.證明PC丄平面PAB ;求二面角 PAB C的平面角的余弦值； 若點(diǎn)P、A、B、C

13、在一個(gè)表面積為12 n的 球面上，求 ABC的邊長(zhǎng).本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱(n)解法一：AB PF , AB CF,PFC為所求二面角的平面角.設(shè) AB= a，貝UAB=a，貝U PF EF -,CF2旦cos PFC2.3a2解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O.PAF 也 PAE, PAB 也 PAC.得PA=PB=PC.于是0是厶ABC的中心.設(shè) AB=a，則 PF 旦，OF -a.2 32PFO為所求二面角的平面角cos PFOOFPF（川）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R.PC 平面 PAB, PA PB,3x 2R. 4 R2 12 , R3得x 2. ABC 的邊長(zhǎng)為

14、 2 2.解法二：延長(zhǎng) PO交球面于D,那么PD是球的直徑.連結(jié)OA、AD，可知 PAD為直角三角形.設(shè)AB=x,球半徑為 R.4 R212 , PD 2 3. PO OF tan PFO 6 x, OA -3 x,632(-x)2-x(2 3-x).于是 x 2 2.ABC 的邊長(zhǎng)為 22.3 664.【05上海春招】已知正三棱錐P ABC的體積為72、3，側(cè)面與底面所成的二面P角的大小為60。(1) 證明：PA BC ;(2) 求底面中心O到側(cè)面的距離.A證明(1)取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD、PD , 平面APD.貝U AD BC, PA(2)如圖，由 .面角的平面角.過(guò)點(diǎn)O作OEPD B

15、C，故 BCBC.(1 )可知平面PBCCO平面APD，則 PDA是側(cè)面與底 B 面所成PD, E為垂足，則 就是點(diǎn)O到側(cè)面的距離.設(shè)OE為h，由題意可知點(diǎn) O在AD上,PDO 60 , OP 2h.2hOD石BC 4h ,OEP4、3h2,小V32S ABC(4h)4/ 72、31 4 3h23即底面中心O到側(cè)面的距離為3.5.【05北京理】 如圖,在直四棱柱 ABCD ABQD1中，AB AD 2, DC 2 3,AA3, AD DC , AC BD 垂足為 E、(I )求證 BD A-|C ;(n )求二面角A1 BD C1的大??；(川)求異面直線 AD與BC1所成角的大小解(I)在直四

16、棱柱 ABCD AB1C1D1中，T AA1丄底面 ABCD . AC是AQ 在平面 ABCD上的射影.- FCi= . 7 , BCi = ,T5,在厶 BFCi 中，cos CiBFi5 4 7i 2、i5 / CiBF = arccos衛(wèi)5即異面直線AD與BCi所成角的大小為i5arccos5解法二：(I)同解法(H)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC.DD,所/ BD 丄 AC. BD丄 AiC;（II）連結(jié) AiE, CiE, Ai Ci.與（I）同理可證 BD丄AiE, BD丄CiE,二/ AiECi為二面角Ai BD Ci的平面角./ AD 丄 DC,二 / AiDiCi = Z

17、 ADC = 90 又 AiDi=AD = 2, DiCi= DC = 2 , 3 , AAi=、3 且AC丄BD, AiCi = 4, AE= i , EC = 3,AiE= 2, CiE = 2 . 3 ,在厶 AiECi 中，AiCi2= AiE2 + CiE2,- / AiECi = 90即二面角Ai BD Ci的大小為90 （III ）過(guò) B 作 BF/AD 交 AC 于 F，連結(jié) FCi,則/ CiBF就是AD與BCi所成的角.AB= AD = 2, BD 丄 AC, AE = i,在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系+連結(jié) AE,GE, ACi.與同理可證，BD AE

18、,BD CiE,- AEG為二面角 A ED Ci的平面角由 A（2,0,、3）,Ci（O,23八 3）,3 fa2E2,uuu i 3- uuin得EA（2, “3），ECi(1UULT uuuu3 9 EA ECi3 4 3umr EAuiuuEC1,即 EA, EC1.BF=2, EF = i, FC = 2, BC= DC ,面角A ED G的大小為90o(川)如圖,由 D(0,0,0) ,A(2,0,0), G(0,2 、3, 、3),B(3,、3,0),uuruum_ -得 AD ( 2,0,0), BC1(3,., 3, .3),UUUT UULUUULTUULUAD BC16,

19、 AD 2, BC1UUUT UUUU.15,.UUUUUUUUcos AD, BC1AD,BCt UUUT uuluT AD BC1.155異面直線 AD與BCi所成角的大小為arccos 送.解法三：(I)同解法(n)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為E連結(jié)A1E,C1E, AC1.B1與(I)同理可證 BDA,E,BDGE,二 AEG為二面角A BD C1的平面角+ 由 E(0,0,0), A(o, 1 八3),G(0,3, .3).UUU- UUUU-得 EA (0, 1j3), EC1(0,3,胎).UUU UJUU EAgEG3 3 0,UUUUJUU二 EAEC1 即 EAiE

20、Ci,面角A BD C1的大小為90.6. 【05北京文】如圖，在直三棱柱ABC ARG中,AC 3, BC 4, AB 5,AA14 ，點(diǎn) D 為AB的中點(diǎn)，(I )求證 AC BC1;(n )求證AC1 P平面CDB1;(川)求異面直線 AC1與BQ所成角的余弦值+解(I)直三棱柱 ABC A1B1C1，底面三邊長(zhǎng) AC=3 , BC=4 , AB=5 ,(II )設(shè)CBi與CiB的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE ,/ D是AB的中點(diǎn)，/ DE 平面 CDBi,(III )T DE/AC i,1在厶 CED 中，ED=_AC i = _2 2E是BCi的中點(diǎn),ACi DE/AC i, AC i/平面

21、CDB i;平面CDBi, / CED為ACi與BiC所成的角,5,CD=1AB=2，CEA2 2，8- cos CED2 2近-22.25A1C1B1juurujjjujj(I )Q ACi ( 3,0,0), BCi (0,4,4) , AG(n )設(shè)CBi與CiB的交點(diǎn)為E,貝y E(0,2,2)uurQ DEuurDE3juur(-,0,2),ACi ( 3,0,4),i juuu uur uuuu -ACi, DE/ACiCi峯Ai厶BiQ DE平面 CDBi, ACi 平面 CDBi,By異面直線 ACi與BiC所成角的余弦值2-25解法二:直三棱錐ABC ABQi底面三邊長(zhǎng)AC

22、3,BC 4, AB 5 ,AC, BC, CCi兩兩垂直+3如圖建立坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C i(0,0,4),B(0,4,0),B i(0,4,4),D( - ,2,0)juur jurjuurBG0, ACiBG +ACi/ 平面 CDBi-jjjjjur(m )Q ACi ( 3,0,4), CBi (0,4,4), cosujun uuurACi,CBiujuu jurACigCBijuur tiJJFIAGIICB, |2.25242.異面直線ACi與BiC所成角的余弦值為57. 【05北京春考理】 如圖，正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為3，過(guò)其中心G作BC邊的平行

23、線，分別交AB、AC于Bi、Ci 將 ABiCi沿BiCi折起到 AiBiCi的位置，使點(diǎn) Ai在平面BBiCiC上的射影恰是線段 BC的中點(diǎn)M 求:(1)二面角A B1C1 M的大小;(2)異面直線 AiBi與CCi所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).解本小題主要考查直線與平面的位置關(guān) 系等基本知識(shí)，考查空間想象能力，羅輯思維能 力和運(yùn)算能力.(I)連接 AM , AiG/ G是正三角形 ABC的中心，且M為BC的中點(diǎn)， A , G , M三點(diǎn)共線，AM丄BC .T BiCi / BC,- BiCi 丄 AM 于 G,即 GM 丄 BiCi, GABiCi,/ AiGM是二面角 Ai BiCi

24、 M的平面角.T點(diǎn)Ai在平面BBiCiC上的射影為 M , - AiM 丄 MG，/ AiMG=90 在 Rt AiGM 中，由 AiG=AG=2GM 得/ AiGM=90即二面角 Ai BiCi M的大小是 60(H)過(guò)Bi作CiC的平行線交BC于P,則/ AiBiP等于異面直線 AiBi與CCi所成的角 由PBiCiC是平行四邊形得 BiP=CiC=i=BP ,1PM=BM BP= , AiBi=AB i=2 .2T AiM 丄面 BBiCiC 于 M , AiM 丄BC ,Z AiMP=90在 Rt AiMP 中，AiP2AiM2 PM2（2）2（2）2在 Rt AiGM 中，AiM=A

25、 iG sin 602 2 2Ai BiBiPAi P2 Ai Bi Bi P在厶AiBiP中，由余弦定理得 cos AiBiP5異面直線 AiBi與CCi所成角的大小為 arccos-.8&【05北京春考文】如圖，正三棱錐S ABC中，底面的邊長(zhǎng)是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn)求：AM 古(I)的值；SM(n)二面角 S BC A的大?。?(川)正三棱錐 SABC的體積解本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力，羅輯思維能力和運(yùn)算能力.(I)v SB=SC , AB=AC , M 為 BC 中點(diǎn), SM 丄 BC , AM 丄 BC.1 1AM由棱錐的

26、側(cè)面積等于底面積的2倍，即3 BC SM 2 -BC AM 得2 2SM(n)作正三棱錐的高SG,則G為正三角形 ABC的中心，G在AM上,GM32-AM.3/ SM 丄 BC, AM 在 Rt SGM 中, SM 2 AM3丄BC，/ SMA是二面角 S BC A的平面角.-33即二面角S BC A(川) ABC3GM 2GM ,/ SMA= / SMG=60 AM ,GM21Vs abc S3的大小為60。的邊長(zhǎng)是3,.3SGGMtg 60ABCSG1 9.3349.39.【05福建理】如圖，直二面角D AB E中，四邊形 上的點(diǎn)，且BF丄平面ACE.(I)求證AE丄平面BCE ;(n)求

27、二面角 B AC E的大?。?(川)求點(diǎn) D到平面ACE的距離.解本題主要考查直線、直線和平面基點(diǎn)和平面的距離等基礎(chǔ) 知識(shí)，考察空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力.ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EBF為CE(I) Q BF 平面 ACE, BF AE,EQ二面角D-AB-E為直二面角,平面ABCD平面ABE ,又 BC AB , BC平面 ABE , BC AE,又BF 平面BCE ,BF I BC=B,AE 平面BCE。(II)BD 丄 AC ,的平面角，BD交于G,連結(jié)FG,t ABCD為正方形，連結(jié)AC、/ BF 丄平面 ACE , FG 丄 AC , / FGB 為二面角 B-A

28、C-E由(I)可知，AE丄平面BCE, AE 丄 EB，又 AE=EB , AB=2 , AE=BE= 2 ,在直角三角形BCE中，店”be2 6,bF巴黃23在正方形中，BG,2，在直角三角形 BFG中，sin FGB二面角 B-AC-E 為 arcsin63(III )由(II )可知，在正方形 ABCD中，BG=DG , D到平面ACB的距離等于 B到平 面ACE的距離，BF丄平面ACE，線段BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為 D到 平面ACE的距離.所以D到平面的距離為23 T二面角D AB E 為直一.面角，EO丄平面ABCD.設(shè)D到平面ACE的距離為h,VD ACEVe1S

29、ACDACB3h丄3S ACDEO.1-AD DC EO1 22 1AE平面 BCE ,AEEC.h222-: 31AE EC1 .263另法：過(guò)點(diǎn)E作EO AB交AB于點(diǎn)O. OE=1.2 2i 點(diǎn)D到平面ACE的距離為乙3.3解法二：(I)同解法一 (H)以線段 AB的中點(diǎn)為原點(diǎn) O, 0E所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過(guò)0 點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 0 xyz,如圖.AE 面 BCE, BE 面 BCE, AE BE ,在Rt AEB中,AB 2,O為AB的中點(diǎn),OE 1.A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE (1,1,0), AC(0,

30、2,2).設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為n (x, y,z),則AE n 0即AC n 0,x y 解得 y x,2y 2x 0.z x,令 x 1,得 n (1,1,1)是平面AEC的一個(gè)法向量.又平面BAC的一個(gè)法向量為 m(1,0,0),cos(m, n) 釘.| m | | n | v3(III ) AD/Z 軸，AD=2 , AD (0,0,2),點(diǎn)D到平面ACE的距離d | AD | |cos AD,n| AD n |n|=3.310.【05湖北理】 如圖，在四棱錐 PABC中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PA丄底面 ABCD，AB= ,3，BC=1，PA=2，E 為 PD 的中點(diǎn).（I

31、）求直線 AC與PB所成角的余弦值；（n）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn) N，使NE丄面PAC， 并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離+解解法一：（I）建立如圖所示的空間直角 坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A （0，0,0），B（ 3，0，0），C（ 3，1，0），D（0，1，0），(0, 0,2), E(0,從而 AC = ( V3 ， 1， 0)， PB = ( U3 ， 0， -2) *設(shè)AC與PB的夾角為，則cosAC PB|AC| |PB|32、73. 714 ，3J7 AC與PB所成角的余弦值為14（n）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x,0,z），則ME1x2,1 z).由

32、NE丄面PAC可得：乎AP ,即NE AC 0,(x, 1,121(x , , 12z)z)化簡(jiǎn)得(0,0,2)(3,1,0)1 0,3x 120,0,361.y-1.pDCo丄B x即N點(diǎn)的坐標(biāo)為蘭3，0，1），從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為6解法二：(I)設(shè) AC A BD=O，連 OE,貝U OE/PB ,/ EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角*在厶AOE中，AO=1 ,OE= 1 PB= 7 , AE= 1 PD=2 273.17141 - cos EOA 4丿72 12即AC與PB所成角的余弦值為3 1714(H)在面 ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB 于 F，ADF 6連PF,

33、則在Rt ADF中 DF= 一AD一cos ADF,af3AD tan ADF.3設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連 / DF 丄 AC , DF 丄 PA,NE，貝U NE/DF , DF丄面PAC+從而NE丄面PAC.113 N點(diǎn)到AB的距離=iAP=1，N點(diǎn)到AP的距離=2aF=11.【05湖北文】如圖所示的多面體是由底面為BC=2 , CCi=3, BE=1 (I) 求 BF 的長(zhǎng)；(n)求點(diǎn)C到平面AECABCD的長(zhǎng)方體被截面解本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法 等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力解法1: (I)過(guò)E作EH/BC交CC1于H，則 又 AF / EC1,./ FAD=

34、 / C1EH. Rt ADF 也 Rt EHC1.DF=C 1H=2.AEC i F所截面而得到的，其中AB=4 ,A-C1CH=BE=1，EH/AD，且 EH=AD.C1BF 、BD2 DF22 6FDE/(n)延長(zhǎng) C1E與CB交于G,連AG , 則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG. 過(guò)C作CM丄AG，垂足為 M，連C1M ,由三垂線定理可知 AG丄C1M.由于AG丄面C1MC，且AG 面AEC1F，所以平面 AEC1F丄面CMC.在Rt C1CM中，作 CQ丄MC1,垂足為 Q， 則CQ的長(zhǎng)即為C到平面AEC1F的距離+eb bg由可得,BG 1,從而AG , AB2 BG217

35、.CC1 CG由GAB4 12MCG知,CM 3cos MCG 3cosGAB 3-,帀CQ4 3311解法2 : (I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，貝UD ( 0, 0, 0), B ( 2, 4, 0),(0, 4, 3).設(shè) F (0, 0, z).A (2, 0, 0), C (0, 4, 0), E ( 2, 4, 1), AEC1F為平行四邊形,CiZi由AECiF為平行四邊形,umr 由AFuurnEG得,(2,0,z)( 2,0,2),Iz 2.F(0,0,2).uuurEF ( 2, 4,2).于是uuu|BF | 2、6,即BF的長(zhǎng)為26xA(Il)設(shè) n1n1 AF又C

36、CicosC1為平面AEC1F的法向量，顯然厲不垂直于平面ADF,故可設(shè)n1(x,y,1) +，得0,(0,0,3),設(shè)CCi與ni的夾角為CCi n1a，則4 331 16 133 C到平面AEC 1F的距離為d |CC1 |cos12.【05湖南理】如圖1，已知ABCD是上.下底邊長(zhǎng)分別為軸0。1折成直二面角，如圖 2.(I)證明：AC 丄 BO1；(n)求二面角0ac 。1的大小.4y 10,2x 24,33330,1,144 “33112和6，高為-3的等腰梯形,將它沿對(duì)稱(chēng)DOB圖21 C0,所以BOi丄0C,BOi是平面0AC的一個(gè)法向量由n ACn 0Q解解法一（I）證明 由題設(shè)知

37、OA 丄 00i, OB 丄 001.所以/ A0B是所折成的直二面角的平面角，即0A丄0B.故可以0為原點(diǎn)，0A、0B、00i所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖3,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是 A (3, 0,B (0, 3, 0), C (0, 1, V3 ) 0i (0, uuruum從而 AC ( 3,1八3), B0i (0, 3, .3), uur uuu-AC B013 .3 .3 0.所以AC丄B0i.(II)因?yàn)?B01 0C 333由(I) AC丄B0i,所以BOi丄平面0AC ,（x, y, z）是0平面Oiac的一個(gè)法向量,3x y 畑 0,取z ,所以 co

38、s cos n , B01 = n B01|n | | B0! |即二面角 0 AC 0i的大小是arccos解法二（I）證明 由題設(shè)知0A丄001 , 所以/ A0B是所折成的直二面角的平面角，即0A丄0B.從而A0丄平面 0BC01 ,因?yàn)?tan OO1B -0B3OO1所以/ OO1B=60由三垂線定理得（II ）解由（I）丄平面A0C.設(shè) oc n 01B=e,0B 丄 001,0C是AC在面0BC01內(nèi)的射影 0C .3 , 003，/ 010C=30 ，從而 0C 丄 B01AC 丄 B01.AC 丄 BO1 , 0C 丄 BO1 ,知 B01tan Q0C01過(guò)點(diǎn)E作EF AC

39、于F,連結(jié)O1F （如圖4）,則EF是01E在平面 A0C內(nèi)的射影, 由三垂線定理得01 F丄AC.E所以/ OiFE是二面角 0 AC 01的平面角.AiACiC由題設(shè)知 0A=3 , 00i=3 , 0iC=1,所以0小 .0A200；2、3, AC.0-a201C2,13 ,0i A 0iC2 3.3從而0iF又 0iE=00i sin30=,AC13201E,13所以 sin-即二面角0AC -0i的大小是arcs in 01F4413.【05江西理】 如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi，中，AD=AA i=1, AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).(1) 證明：DiE 丄 AiD;

40、(2) 當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) E到面ACDi的 距離；(3) AE等于何值時(shí)，二面角 Di EC D的大小為一.4解解法(一)(1)證明： AE 丄平面 AA iDDi, AiD 丄 ADi,. AiD 丄 DiE(2)設(shè)點(diǎn)E到面ACDi的距離為 饑在厶ACDi中，AC=CD i= * 5 , ADi= 2 ,ADiC2、2 512,而Sace 2 AE BC 2VD1 AECIsaec DDiAD1Ch,h,(3)過(guò) D 作 DH 丄CE 于 H,連 DiH、DE ,則DiH丄CE,/ DHD i為二面角Di EC D的平面角設(shè) AE=x，貝U BE=2 x在 Rt DiDH 中,Q D

41、HDiDH1.Q 在Rt ADE中,DE .1 x2,D iA產(chǎn)DAH ECiBlx2 4x 5.在Rt DHE 中,EH x,在 Rt DHC中 CH ,3,在Rt CBE中 CEx 3, x2 4x 5 x 23.AE 2寸,二面角Di EC D的大小為一.4解法（二）：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 DA , DC, DDi分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AE=x，貝V Ai（ 1，0，1），Di（0，0，1），E（ 1，x，0），A（ 1，0，0）C （0，2，0）(1)因?yàn)镈A1, D1E(1,0,1), (1,x, 1)0,所以 DA1D1E.(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，貝U E

42、（1，1,0)，從而D1E(1,1, 1),AC ( 1,2,0)，AD1(1,0,1)，設(shè)平面ACD1的法向量為(a,b,c)，n AC0,n AD10,BA1BE（2,1,2），所以點(diǎn)E到平面AD 1C的距離為C1D o也即2b 0，得，從而ncn|n|（3）設(shè)平面D1EC的法向量n(a, b,c)， CE(1,x 2,0), D1C (0,2, 1),DD1(0,0,1),n D1C0,2b c 0n CE0,a b(x 2)令 b=1, 0.-c=2,a=2 x，. n (2x,1,2).依題意co、|n DD1 |n| |DD1 |業(yè)2 (x 2)252為 2. 3 （不合，舍去），

43、X2 AE= 23時(shí)，二面角 D1 EC D的大小為一.414.【05全國(guó)I 理】 已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形， AB / DC，宀k1DAB 90 , PA 底面 ABCD，PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中點(diǎn) +2（I）證明：面 PAD丄面PCD;（H）求AC與PB所成的角；（川）求面 AMC與面BMC所成二面角 的大小.解本小題主要考查直線與平面垂直、 直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力(I)證明： PA 丄面 ABCD , CD 丄 AD ,由三垂線定理得：CD丄PD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線 AD

44、, PD都垂直, CD 丄面 PAD.又CD 面PCD，面 PAD丄面PCD.(H)解：過(guò)點(diǎn) B作BE/CA，且BE=CA , 則/ PBE是AC與PB所成的角連結(jié) AE，可知 AC=CB=BE=AE= 2，又 AB=2 ,在 Rt PEB 中 BE= 、2 , PB= . 5 ,COS PBEBE . 10PB 5所以四邊形 ACBE為正方形.由PA丄面ABCD得/ PEB=90AC與PB所成的角為arccos5(川)解：作 AN丄CM，垂足為N，連結(jié)BN.在 Rt PAB 中，AM=MB，又 AC=CB ,AMC BMC, BN丄CM，故/ ANB為所求二面角的平面角./ CB丄AC，由三垂線定理，得 CB丄PC,在 Rt PCB 中，CM=MB，所以 CM=AM.在等腰三角形AMC 中,AN MC=CM(A2c)2AC AB=2 ,2 2 2A” AN BN AB cos ANB2 AN BN2故所求的二面角為 arccos().3方法二：因?yàn)?PA丄PD, PA丄AB , 圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為AD丄AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如A (0, 0, 0) B (0, 2, 0), C (1 , 1,10 )，D (1, 0, 0 )，P(