第四章時變電磁場【借鑒教學(xué)】

1、時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 時變電場和磁場能量在空間中不斷相互轉(zhuǎn)換，并以電磁波動的形式從一個地方傳遞到另外一個地方,第四章 時變電磁場,時變電場和磁場滿足的方程波動方程 時變電磁場的輔助函數(shù)標(biāo)量電位和矢量磁位 時變電磁場的能量守恒定律 正弦規(guī)律變化的時變場時諧電磁場,本章主要內(nèi)容,1,4.1 波動方程,波動方程反映了時變電磁場中電場場量和磁場場量在空間中傳播時所遵循的規(guī)律。波動方程可由麥克斯韋方程組推出,波動方程的建立（無源區(qū)） 在無源空間中，電荷和電流處處為零，即0，J0，電磁場滿足的麥克斯韋方程為,均勻無耗媒質(zhì)中無源區(qū)域波動方程的推導(dǎo),2,無源區(qū)電場波動方程,同理，可

2、以推得無源區(qū)磁場波動方程為,從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波,通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情況。但需要注意的是：只有少數(shù)特殊情況可以通過直接求解波動方程求解,3,4.2 電磁場的位函數(shù),4.2.1 矢量位和標(biāo)量位,令： ，可得,故,說明： 1、時變場電場場量和磁場場量均為時間和空間位置的函數(shù)，對應(yīng)的矢量位和標(biāo)量位也為時間和空間位置的函數(shù),時變場位函數(shù)同時包括標(biāo)量位和矢量位,矢量位和標(biāo)量位的定義,4,不確定性產(chǎn)生原因：未規(guī)定 的散度,滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和 能描述同一個電磁場問題,2、由于時變

3、場電場和磁場為統(tǒng)一整體，因此其對應(yīng)的標(biāo)量位和矢量位也是一個統(tǒng)一的整體,位函數(shù)的不確定性,即,也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述,為任意可微函數(shù),5,由于在定義中矢量位函數(shù)僅僅確定了其旋度式，而沒有確定散度式，因此滿足定義的矢量位函數(shù)有無限多個。為了使時變電磁場場量和動態(tài)位之間滿足一一對應(yīng)關(guān)系，須引入額外的限定條件規(guī)范條件。 對于時變場來說，動態(tài)位函數(shù)常用的規(guī)范條件為洛倫茲規(guī)范條件,洛倫茲規(guī)范條件,洛倫茲規(guī)范條件的引入,思考：庫侖規(guī)范條件和洛倫茲規(guī)范條件有何聯(lián)系,6,4.2.2 達朗貝爾方程,4.2.7,引入洛倫茲規(guī)范條件，則方程簡化為,4.2.6,7,關(guān)于位函數(shù)和達朗貝爾方程的討

4、論,引入動態(tài)標(biāo)量位和矢量位可以簡化電磁問題的求解： 原因：1、標(biāo)量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2、矢量位方向與電流元方向相同； 矢量位和標(biāo)量位滿足達朗貝爾方程，同時也須滿足洛倫茲條件 從達朗貝爾方程可知：電荷是產(chǎn)生標(biāo)量位的源，電流是產(chǎn)生矢量位的源 動態(tài)標(biāo)量位和矢量位是以波動的形式隨時間變化而變化的,8,4.3 電磁能量守恒定律,能量守恒定律是一切物質(zhì)運動過程遵守的普遍規(guī)律，作為特殊形態(tài)的物質(zhì)，電磁場及其運動過程也遵守這一規(guī)律。 本節(jié)將詳細討論電磁場的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析討論電磁場能量、電荷電流運動及電磁場做功之間的相互聯(lián)系,9,4.3.1 電磁場

5、能量密度和能流密度,電磁場的能量密度： 電磁場能量的空間分布用能量密度w來描述，它表示單位體積中電磁場的能量，為電場能量和磁場能量之和,電場能量密度,磁場能量密度,電磁場能量密度,電磁場的能量流密度矢量： 電磁波電磁振蕩定向運動伴隨電磁場能量移動，其流動情況用電磁場能量流密度(能流密度)S表示，其數(shù)值為單位時間垂直流過單位面積的能量，方向為能量流動方向,10,4.3.2 坡應(yīng)廷定理和坡印廷矢量,坡印廷定理的數(shù)學(xué)推導(dǎo),坡印廷定理微分形式,11,將坡印廷定理微分形式在一定體積內(nèi)進行積分，得,坡印廷定理積分形式,坡印廷定理的物理意義,設(shè)區(qū)域V中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可能通過邊

6、界 流出，或因?qū)中電荷做功而消耗，即 減少量 = 流出量 + 消耗量,12,坡印廷定理物理意義：單位時間內(nèi)流入體積V內(nèi)的電磁能量等于體積V內(nèi)增加的電磁能量與體積V內(nèi)損耗的電磁能量之和,坡印廷矢量（能流密度矢量,表流入閉合面S的電磁功率，因此 為一與能量流密度有關(guān)的矢量，稱為坡印廷矢量,定義：坡印廷矢量（用符號 表示,瞬時坡印廷矢量,坡印廷適量是描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量,物理意義： 大小表示單位時間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量 方向即為電磁能量傳輸方向,13,上式中坡印廷矢量為時間t的函數(shù)，表示瞬時功率流密度。 公式中 表達式應(yīng)為場量的瞬時表達式,關(guān)于坡印廷

7、矢量瞬時形式的說明,時變電磁場的平均坡應(yīng)廷矢量,對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個周期內(nèi)通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況,平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內(nèi)取平均，用 表示，即,注： 與時間t無關(guān),14,4.5 時諧電磁場,由傅立葉級數(shù)可知：在線性媒質(zhì)中，正弦電磁波可以合成其他形式的電磁波,時諧電磁場的概念,如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場,研究時諧電磁場具有重要意義,時諧場易于激勵，工程上時諧電磁場應(yīng)用最多。

8、廣播、電視和通信等的載波都是時諧電磁場,任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加,15,4.5.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示,采用復(fù)數(shù)方法表示時諧電磁場，可使得大多數(shù)時諧電磁場問題的分析得以簡化,時諧場量的實數(shù)表示法（瞬時表示,設(shè) 是一個以角頻率 隨時間t 作正弦變化的場量，它與時間的關(guān)系可以表示成,式中：A0為振幅、 為初始相位，與坐標(biāo)有關(guān),1、實數(shù)表示表征場量隨時間、空間變化規(guī)律，具有實際物理意義,2、實數(shù)表示時間、空間變量無法分離，數(shù)學(xué)上處理較復(fù)雜,關(guān)于場量實數(shù)（瞬時）表示法的說明,16,由復(fù)變函數(shù)，知： ，則,式中,時諧場量的復(fù)數(shù)表示法,時諧電磁場場量的復(fù)

9、數(shù)表示法,在直角坐標(biāo)系下，時諧電場可表示為,式中： 為電場在x,y,z方向分量的幅度,為電場x,y,z分量的初始相位,17,式中,場量上加點表示該量為復(fù)數(shù),由前面分析，電場各分量可表示為,因此時諧電場強度可表示為,18,由于所有場量表達式都有取實部運算，并都含有 項，為簡化，以上兩項作為缺省項，均不寫。故電場的復(fù)數(shù)表達式為,同理,復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場，沒有明確物理意義。采用復(fù)數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場問題得以簡化 只有場量的瞬時表達形式才代表真實場，具有明確的物理意義,19,場量復(fù)數(shù)表達形式和瞬時（實數(shù)）形式相互轉(zhuǎn)換,場量的復(fù)數(shù)形式,場量的瞬時形式,場量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實數(shù)

10、形式的方法,20,例 已知電場強度為，其中Exm和 kz為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量,解,21,例 已知電場強度為，其中Exm和 kz為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量,解,22,4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程組,很明顯，對于時諧場,故由麥克斯韋方程組微分形式，可得,為了簡化書寫，約定 寫做 ，而 項則省略不寫，則方程變?yōu)?麥克斯韋方程組復(fù)數(shù)形式,23,對麥克斯韋方程組時諧形式的進一步說明,方程中各場量形式上是實數(shù)及源量均應(yīng)為復(fù)數(shù)形式（為了簡化書寫而略寫） 方程中雖然沒有與時間相關(guān)的因子，時間因子 為缺省式子,有時沒有書寫出來 麥克斯韋方程組時諧形式只能用于時諧場（正弦場,24,4.5.3

11、 復(fù)介電常數(shù),當(dāng)媒質(zhì)為非理想介質(zhì)時，介質(zhì)的電導(dǎo)率為不為零的有限值，此時介質(zhì)存在歐姆損耗,式中,等效復(fù)介電常數(shù),存在歐姆損耗的介質(zhì),存在電極化損耗的介質(zhì),等效復(fù)介電常數(shù),表征電極化損耗,表征歐姆損耗,存在電極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì),25,電介質(zhì)歐姆損耗正切角 定義,介質(zhì)損耗角,工程上為了方便描述導(dǎo)電媒質(zhì)的損耗特性，引入媒質(zhì)損耗正切角的概念。 電介質(zhì)極化損耗正切角 定義,討論,傳導(dǎo)電流與位移電流之比,媒質(zhì)的導(dǎo)電性強弱與信號頻率有關(guān)，是一個相對的概念,26,例 海水電導(dǎo)率 ，相對介電常數(shù) 。求海水在 和 時的等效復(fù)介電常數(shù),解,當(dāng) 時,當(dāng) 時,27,4.5.4 亥姆霍茲方程,時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程,在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規(guī)律變化，則,令： ，則亥姆霍茲方程變?yōu)?則無源空間的波動方程變?yōu)?28,說明,1、亥姆霍茲方程的解為時諧場（正弦電磁波,2、對損耗媒質(zhì)，其等效介電常數(shù)為復(fù)數(shù)則,式中： 為復(fù)數(shù),29,4.5.5 時諧場的位函數(shù),對時諧場，有 ，則其輔助為函數(shù)可表示為,洛倫茲規(guī)范條件變?yōu)?達朗貝爾方程變?yōu)?30,4.5.6 平均能流密度,對角頻率為 的時諧場，其周期為,對時諧場，平均坡印廷矢量可由場矢量的復(fù)數(shù)形式計算,式中： 、 為場量的復(fù)數(shù)表達式,為對場量 取復(fù)數(shù)共軛運算,平均坡印廷矢量：