趣味數(shù)學(xué)解：最少轉(zhuǎn)動幾次魔方,可令其復(fù)原

1、趣味數(shù)學(xué)解：最少轉(zhuǎn)動幾次魔方，可令其復(fù)原魔方是一種深受大眾喜愛的益智玩具。自二十世紀(jì)八十年代初開始，這一玩具風(fēng)靡了全球。魔方為什么會有這么大的魅力呢? 那是因為它具有幾乎無窮無盡的顏色組合。標(biāo)準(zhǔn)的魔方是一個3×3×3結(jié)構(gòu)的立方體，每個面最初都有一種確定的顏色。 但經(jīng)過許多次隨意的轉(zhuǎn)動之后， 那些顏色將被打亂。 這時如果你想將它復(fù)原 ( 即將每個面都恢復(fù)到最初時的顏色 ) ， 可就不那么容易了。 因為魔方的顏色組合的總數(shù)是一個天文數(shù)字： 4325 億億。 如果我們把所有這些顏色組合都做成魔方， 并讓它們排成一行， 能排多遠(yuǎn)呢 ? 能從北京排到上海嗎 ? 不止。 能從中國排

2、到美國嗎 ? 不止。能從地球排到月球嗎 ? 不止。 能從太陽排到海王星嗎 ? 不止。 能從太陽系排到比鄰星嗎 ? 也不止 ! 事實上， 它的長度足有 250 光年 !魔方的顏色組合如此眾多，使得魔方的復(fù)原成為了一件需要技巧的事情。如果不掌握技巧地隨意嘗試，一個人哪怕從宇宙大爆炸之初就開始玩魔方， 也幾乎沒有可能將一個魔方復(fù)原。 但是， 純熟的玩家卻往往能在令人驚嘆的短時間內(nèi)就將魔方復(fù)原， 這表明只要掌握技巧， 使魔方復(fù)原所需的轉(zhuǎn)動次數(shù)并不太多。那么，最少要多少次轉(zhuǎn)動才能讓魔方復(fù)原呢? 或者更確第 1頁切地說，最少要多少次轉(zhuǎn)動才能確保任意顏色組合的魔方都被復(fù)原呢 ? 這個問題不僅讓魔方愛好者們感

3、到好奇，還吸引了一些數(shù)學(xué)家的興趣， 因為它是一個頗有難度的數(shù)學(xué)問題。 數(shù)學(xué)家們甚至給這個最少的轉(zhuǎn)動次數(shù)取了一個很氣派的別名， 叫做 “上帝之?dāng)?shù)”。自二十世紀(jì)九十年代起，數(shù)學(xué)家們就開始尋找這個神秘的 “上帝之?dāng)?shù)”。尋找 “上帝之?dāng)?shù)” 的一個最直接的思路是大家都能想到的， 那就是對所有顏色組合逐一計算出最少的轉(zhuǎn)動次數(shù)，它們中最大的那個顯然就是能確保任意顏色組合都被復(fù)原的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)，即 “上帝之?dāng)?shù)”?？上У氖?，那樣的計算是世界上最強(qiáng)大的計算機(jī)也無法勝任的，因為魔方的顏色組合實在太多了。怎么辦呢 ? 數(shù)學(xué)家們只好訴諸他們的老本行數(shù)學(xué)。1992 年，一位名叫科先巴(Herbert Kociemba)的

4、德國數(shù)學(xué)家提出了一種分兩步走的新思路。那就是先將任意顏色組合轉(zhuǎn)變?yōu)楸凰脭?shù)學(xué)手段選出的特殊顏色組合中的一個，然后再復(fù)原。這樣做的好處是每一步的計算量都比直接計算 “上帝之?dāng)?shù)”小得多。運(yùn)用這一新思路，2019年，“上帝之?dāng)?shù)”被證明為了不可能大于26 。 也就是說，只需 26 次轉(zhuǎn)動就能確保任意顏色組合的魔方都被復(fù)原。但這個數(shù)字卻還不是 “上帝之?dāng)?shù)”， 因為科先巴的新思第 2頁路有一個明顯的局限，那就是必須先經(jīng)過他所選出的特殊顏色組合中的一個。但事實上，某些轉(zhuǎn)動次數(shù)最少的復(fù)原方法是不經(jīng)過那些特殊顏色組合的。因此， 科先巴的新思路雖然降低了計算量，找到的復(fù)原方法卻不一定是轉(zhuǎn)動次數(shù)最少的。為了突破這個

5、局限，數(shù)學(xué)家們采取了一個折中手段，那就是適當(dāng)?shù)卦黾犹厥忸伾M合的數(shù)目，因為這個數(shù)目越大，轉(zhuǎn)動次數(shù)最少的復(fù)原方法經(jīng)過那些特殊顏色組合的可能性也就越大。當(dāng)然， 這么做無疑會增大計算量。不過， 計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展很快就抵消了計算量的增大。2019年， 計算機(jī)高手羅基奇(Tom Rokicki)用這種折中手段把對 “上帝之?dāng)?shù)” 的估計值壓縮到了22 。 也就是說，只需 22 次轉(zhuǎn)動就能確保任意顏色組合的魔方都被復(fù)原。那么， 22這個數(shù)字是否就是“上帝之?dāng)?shù)” 呢 ? 答案仍是否定的。這一點(diǎn)的一個明顯征兆，就是人們從未發(fā)現(xiàn)任何一種顏色組合需要超過20次轉(zhuǎn)動才能復(fù)原。這使人們猜測 “上帝之?dāng)?shù)” 應(yīng)該是 20 (它不可能小于20 ， 因為有很多顏色組合已被證明需要20次轉(zhuǎn)動才能復(fù)原 ) 。 2019年 7 月， 這