直接三角分解法.ppt

1、4.2 直接三角分解法,4.2.3 平方根法,4.2.1 一般矩陣的直接三角分解法,4.2.2 三對(duì)角方程組的追趕法,4.2 直接三角分解法,4.2.1 一般矩陣的直接三角分解法,由（4.2.1）- （4.2.4）求得L和U后，解方程組Ax=b接化接為求解LUx=b，若記Ux=y，則有Ly=b。于是可分兩部解方程組LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次,用向后回代的方法即可求得x。設(shè)x=（x1 ，x2， xn) T, y=（y1, y2, yn) T,b= （b1 ，b2， bn) T, 則有計(jì)算公式,解 由（4.2.1）-（ 4.2.4 ）計(jì)算可得,該矩陣

2、與順序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，這種存儲(chǔ)方式的形式稱為緊湊形式,例4.6 用列選主元的三角分解法解,由此知,由于方車程組的右端參與了消元計(jì)算，所以Ly=Pb的解為y=b（3）=（20，14/3，216/39） T 。解Ux=y得x=（1，2，3） T,4.2.2 三對(duì)角方程組的追趕法,如果A滿足Gauss消去發(fā)的條件,可用LU分解發(fā)求解.并且,L和U有如下形式,4.2.8,4.2.10,稱為(4.2.9)、(4.2.10)和(4.2.11)為求解三對(duì)角形方程組的追趕法,又稱為Thomas算法。 追趕發(fā)能實(shí)現(xiàn)的條件是ui0，i=1,2,n.。下面給出追趕發(fā)一個(gè)的充分條件,在定理4

3、.6的條件下，追趕法可以進(jìn)行計(jì)算，并且計(jì)算過程的中間變量有界，不會(huì)產(chǎn)生大的變化，可以有效計(jì)算出結(jié)果。 在定理4.6的條件下，要求ai和ci非零。若有某個(gè)ai（或ci ）為零，則三對(duì)角方程組可以化為兩個(gè)低階的非耦和的方程組,例4.7 用追趕發(fā)求解三對(duì)角方程組Ax=d，其中 解 由(4.2.9)得,追趕法公式簡單，計(jì)算量和存儲(chǔ)量都很小。整過求解過程僅須5n-4次乘除和3（n-1）次加減法運(yùn)算，僅需4個(gè)一為數(shù)組存儲(chǔ)系數(shù)矩陣的元素和右端向量， 可分別存放在表示系數(shù)矩陣元素的數(shù)組和右段向量的位置,由(4.2.10)和(4.2.11)得,對(duì)另一類方程組，在周期樣條插值等為題遇到的循環(huán)三對(duì)角方程組Ax=d，

4、其中,當(dāng)A為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，對(duì)A可直接作LU分解。由（4.1.8）式可得下面的定理。 定理4.7 設(shè)ARnn， A = AT且A的順序主子式Di0（I=1,2,n），則存在唯一的單位下三角陣和三角陣，使 A= LD LT 定理4.8 設(shè)ARnn，當(dāng)A 為對(duì)稱正定矩陣 ，則存在唯一的對(duì)角元素為正的下三角陣L，使 A= L LT,4.2.3 平方根法,證 由（4. 7）定理可知A= L1D LT1 ，其中L1為單位下三角陣，D=diag(d1,d2dn)。若令U=D LT1 ，則A= L1U為A的Dolittle分解 U的對(duì)角元即為D的對(duì)角元。因此A 的順序主子式Dm= d1d2dm ，m=1，2

5、，n 。因?yàn)锳正定，所以Di 0 ,i=1，2，n 。 由此推出dvi 0， i=1，2，n 。記,令 ，則有 由分解式 的唯一性可得（4.2.3）分解式的唯一性。定理得證。 稱（4.2.13）式為矩陣A的Cholesky分解。利用A的Cholesky分解式來求解方程組Ax=b的方法稱為Cholesky方法或平方根法，這是因?yàn)橛?jì)算過程含開方運(yùn)算,這樣，可以從j=1直到j(luò)=n逐列算出L的元素,再求解下三角方程組Ly=b和上三角方程組 L T x=y 。計(jì)算公式為,按逐列計(jì)算L的元素的計(jì)算步驟,設(shè)第1列至第j-1列已經(jīng)計(jì)算得到,則有,解 不難驗(yàn)證系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的，按（4.2.14）和（4.2.15）依次計(jì)算得,例4.8 用平方根法求解,則可避免開方根運(yùn)算，稱為改進(jìn)的平方根法。 它即適合于求接對(duì)稱正定方程組，也適合于A求解對(duì)稱且其順序主子式全不為零的方程組。分解式的計(jì)算公式為(j=1,2,n,解Ly=b得y=(6,1,-1)T。解L