切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

1、 1 切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理 以及與圓有關(guān)的比例線段 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.切線長(zhǎng)概念 切線長(zhǎng)是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。（PA長(zhǎng)） 2.切線長(zhǎng)定理 對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線

2、所夾的角。 3.弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。 直線AB切O于P，PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。 5.弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。 6.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。 7.與圓有關(guān)的比例線段 定理 圖形 已知 結(jié)論 證法 相交弦 O中，AB、CD為弦，交于P. PAPBPCPD. 連結(jié)AC、BD，證：APCDPB. 相交弦定理的推論 O中，AB為直徑，CDAB于P. PC2PAPB. （特殊情況） 用相交弦定理. 2 切割線 O中，PT切O

3、于T，割線PB交O于A PT2PAPB 連結(jié)TA、TB，證：PTBPAT 切割線定理推論 PB、PD為O的兩條割線，交O于A、C PAPBPCPD 過P作PT切O于T，用兩次切割線定理 （記憶的方法方法） 圓冪定理 O中，割線PB交O于A，CD為弦 PCPDr2OP2 PAPBOP2r2 r為O的半徑 延長(zhǎng)PO交O于M，延長(zhǎng)OP交O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證 8.圓冪定理：過一定點(diǎn)P向O作任一直線，交O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積為常數(shù)|（R為圓半徑），因?yàn)榻凶鳇c(diǎn)對(duì)于O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。 【典型例題】 例1.如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)

4、為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。 圖1 解：由切線長(zhǎng)定理知：AFAB1，EFCE 設(shè)CE為x，在RtADE中，由勾股定理 ， 3 例2.O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。 圖2 解：由相交弦定理，得 AEBECEDE AE6cm，BE2cm，CD7cm， ， ， 即 CE3cm或CE4cm。 故應(yīng)填3或4。 點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。 例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則_。 解：PP PACB， PACPBA， ， 。 又PA是圓的切線，

5、PCB是圓的割線，由切割線定理，得 ， 即 ， 故應(yīng)填PC。 點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。 4 例4.如圖3，P是O外一點(diǎn)，PC切O于點(diǎn)C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是_cm。 圖3 解：PC是O的切線，PAB是O的割線，且PA：PB1：4 PB4PA 又PC12cm 由切割線定理，得 ， PB4624（cm） AB24618（cm） 設(shè)圓心O到AB距離為d cm， 由勾股定理，得 故應(yīng)填。 例5.如圖4，AB為O的直徑，過B點(diǎn)作O的切線BC，OC交O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)

6、D，（1）求證：；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的長(zhǎng)。 圖4 點(diǎn)悟：要證，即要證CEDCBE。 證明：（1）連結(jié)BE 5 （2） 。 又， 厘米。 點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。 例6.如圖5，AB為O的直徑，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延長(zhǎng)線于E。 圖5 求證： 證明：連結(jié)BD， AE切O于A， EADABD AEAB，又ABCD， AECD AB為O的直徑 ADB90 EADB90 ADEBAD CDAB ADBC， 6 例7.如圖6，PA、PC切O于A、C，PDB為割線。求證：ADBCCDAB 圖6 點(diǎn)悟：由結(jié)論ADBCCDAB得，顯然

7、要證PADPBA和PCDPBC 證明：PA切O于A， PADPBA 又APDBPA， PADPBA 同理可證PCDPBC PA、PC分別切O于A、C PAPC ADBCDCAB 例8.如圖7，在直角三角形ABC中，A90，以AB邊為直徑作O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作O的切線交AC于E。 圖7 求證：BC2OE。 點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是ABC的中位線。而OAOB，只須證AECE。 證明：連結(jié)OD。 ACAB，AB為直徑 AC為O的切線，又DE切O于D EAED，ODDE OBOD，BODB 在RtABC中，C90B ODE90 CEDC EDEC AEEC OE是ABC的中位線 BC

8、2OE 7 例9.如圖8，在正方形ABCD中，AB1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)。 當(dāng)DEF45時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； 圖8 解：由DEF45，得 ， DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC 因?yàn)锳B是圓B的半徑，ADAB，所以AD切圓B于點(diǎn)A；同理，CD切圓B于點(diǎn)C。 又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G，所以AEEG，F(xiàn)CFG。 因此EGFG，即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。 【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘） 一、選擇題 1.已知：PA、PB切O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB8，弦AB的弦

9、心距3，則PA（ ） A. B. C. 5 D. 8 2.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（ ） A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如圖1直線MN與O相切于C，AB為直徑，CAB40，則MCA的度數(shù)（ ） 圖1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55 8 4.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4，則另一弦長(zhǎng)為（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延長(zhǎng)線與ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于（ ） A. B. C. D. 6. PT切O于T

10、，CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交O于B和A，B在線段PD上，若CD2，AD3，BD4，則PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空題 7. AB、CD是O切線，ABCD，EF是O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則EOF_度。 8.已知：O和不在O上的一點(diǎn)P，過P的直線交O于A、B兩點(diǎn)，若PAPB24，OP5，則O的半徑長(zhǎng)為_。 9.若PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交O于B、C，若BC20，則PC的長(zhǎng)為_。 10.正ABC內(nèi)接于O，M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交O于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于P，則_。 三、解答題 11.如圖2，ABC中，AC2cm，周長(zhǎng)為8cm，F(xiàn)、K、N是ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，DE切O于點(diǎn)M，且DEAC，求DE的長(zhǎng)。 圖2 9 12.如圖3，已知P為O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切O于C，CDAB于D，求證：CB平分DCP。 圖3 13.如圖4，已知AD為O的直徑，AB是O的切線，過B的割線BMN交AD的延長(zhǎng)線于C，且BMMNNC，若AB，求O的半徑。 圖4 10 【試題答案】 一、選擇題 1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 二、填空題 7. 90 8. 1 9. 3