數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：數(shù)學(xué)建模習(xí)題

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程練習(xí)練習(xí)集錦1簡述數(shù)學(xué)建模的一般過程及建模過程中需要注意的問題。2 簡述數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)。3 簡述數(shù)學(xué)建模的常用分類方法。4求方程 的模最大的根的近似值（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。5在搶渡長江模型中，如果水流速度為常數(shù)，人的游泳速度為常數(shù)，江面寬度為，終點(diǎn)位置在起點(diǎn)下游處的條件，確定游泳者的最佳游泳路徑及最短游泳時(shí)間。6沿江的某一側(cè)區(qū)域?qū)⒔▋蓚€(gè)水廠，在江邊建一個(gè)取水口?，F(xiàn)需要設(shè)計(jì)最優(yōu)的管線鋪設(shè)方案，通過管線從取水口向水廠送水。水廠與江岸的位置見右圖。如果不用共用管線，城區(qū)單位建設(shè)費(fèi)用是郊區(qū)的2倍。（1） 對(duì)于最優(yōu)方案，用表示。（2） 求最優(yōu)取水口位置。 7在層次分析法

2、建模中，我們介紹了成對(duì)比較矩陣概念，已知矩陣P是成對(duì)比較矩陣 ，（1）確定矩陣P的未知元素。 （2）求P模最大特征值。（3）分析矩陣P的一致性是否可以接受（隨機(jī)一致性指標(biāo)取0.6）。8在層次分析法建模中，我們介紹了成對(duì)比較矩陣概念，已知矩陣P是三階成對(duì)比較矩陣 ，（1）將矩陣P元素補(bǔ)全。 （2）求P模最大特征值。（3）分析矩陣P的一致性是否可以接受（隨機(jī)一致性指標(biāo)取0.6）。9考慮下表數(shù)據(jù)x02468y0.802.055.2413.4234.36 (1)用曲改直的思想確定經(jīng)驗(yàn)公式形式。 （2）用最小二乘法確定經(jīng)驗(yàn)公式系數(shù)。10考慮微分方程 （1）在像平面上解此微分方程組。（2）計(jì)算時(shí)的周期平均

3、值。（3）計(jì)算時(shí)，的周期平均值占總量的周期平均值的比例變化了多少？11考慮種群增長模型 （1）解此微分方程。（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)k值。 t02468X(t)234313040550390212 假設(shè)容積為100000的某湖泊已經(jīng)受到某種物質(zhì)污染，污染物在湖中分布均勻，若環(huán)保部門及時(shí)發(fā)現(xiàn)并從某時(shí)刻起切斷污染源，并更新湖水（此處更新指用新鮮水替換污染水），設(shè)湖水更新速率是。（1） 試建立湖中污染物濃度隨時(shí)間下降的數(shù)學(xué)模型？求出污染物濃度降為控制前的所需要的時(shí)間。13假如保險(xiǎn)公司請(qǐng)你幫他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)險(xiǎn)種:35歲起保,每月交費(fèi)400元,60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金,每月養(yǎng)老金標(biāo)準(zhǔn)為元，請(qǐng)估算該保險(xiǎn)費(fèi)月利率

4、為多少（保留3位有效數(shù)字）？14 某校共有學(xué)生40000人，平時(shí)均在學(xué)生食堂就餐。該校共有3個(gè)學(xué)生食堂。經(jīng)過近一年的統(tǒng)計(jì)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)：A食堂分別有10%，25%的學(xué)生經(jīng)常去B，C食堂就餐，B食堂經(jīng)常分別有15%，25%的同學(xué)去A，C食堂就餐，C食堂分別有20%，20%的同學(xué)去A，B食堂就餐。（1）建立該問題的數(shù)學(xué)模型。（2）確定該校3個(gè)食堂的大致就餐人數(shù)。15 已知一階差分方程。 （1）求該差分方程平衡點(diǎn)。 （2）求表達(dá)式。16某種群至多只能活3歲，且按年觀測(cè)的矩陣 （1）該種群穩(wěn)定后年增長率為多少，穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)是什么？（2）在穩(wěn)定的條件下，如果想只通過改變3齡組生育率來保持該種群數(shù)量上的穩(wěn)定，

5、請(qǐng)問該齡組生育率應(yīng)該是多少？17. 某人決定用10萬元投資A、B、C、D四支股票，已知購買時(shí)四支股票股價(jià)分別為每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求購買的每支股票數(shù)量以手為單位,至少為1手（1手=100股），四只股票的預(yù)期收益率分別為30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票數(shù)量不超過80手，為了使得收益達(dá)到最大，請(qǐng)為他的投資建立合適的數(shù)學(xué)模型，并判斷該數(shù)學(xué)模型的類型。不需要求出具體數(shù)值結(jié)果。18小李夫婦曾經(jīng)準(zhǔn)備申請(qǐng)商業(yè)貸款20萬元用于購房，每月還款880.66元，25年還清。此時(shí)，房產(chǎn)商介紹的一家金融機(jī)構(gòu)提出：貸款20萬元，每半月還款1761.32元，22年還清，但貸款時(shí)，應(yīng)

6、先預(yù)付8000元，以后每次按半月還款。小李考慮，雖然預(yù)付費(fèi)用不少，可是減少3年還款期意味減少還款近3萬2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，這家機(jī)構(gòu)的條件還是優(yōu)惠的。（1）商業(yè)貸款的利率是多少？ （2）分析金融機(jī)構(gòu)的條件是否優(yōu)惠。19. 一家油運(yùn)公司每天具有5000噸的運(yùn)力，由于油輪貨艙容積的限制，公司每天只能運(yùn)輸50000的貨物，每天可供運(yùn)輸?shù)呢浳飻?shù)量如下：貨物重量（噸）體積（/噸）每噸收費(fèi)（元）1 3000 102202150020 2503250015 15041000 18200 請(qǐng)建立該問題利潤最大的優(yōu)化模型（不需求解）20. 考慮下圖所描述的最短路問題。 （1）給出下圖從點(diǎn)1到點(diǎn)7

7、的鄰接矩陣。（2）建立該問題最短路的優(yōu)化模型。（3）給出該問題的最優(yōu)結(jié)果。107953 857974 612 86221考慮下圖所描述的最短路問題。 （1）寫出從位置1到位置9的最短路的數(shù)學(xué)模型 。 （2）給出從位置1經(jīng)過位置5到位置9的最短路。 （3）給出從位置1到位置9的最短路。 22某零件壽命X（單位：月）的分布函數(shù)為。零件損壞時(shí)更換和預(yù)防性更換費(fèi)用分別為3萬元和2萬元。（1）請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，討論是否存在最佳預(yù)防性更換策略。（2）如果存在，求出最佳更換時(shí)間和單位時(shí)間最小損失(要求算出具體數(shù)值結(jié)果)。如果不存在，請(qǐng)說明理由。23某零件壽命X為服從均勻分布的隨機(jī)變量，假設(shè)零件最大使用壽命為6個(gè)月。零件損壞時(shí)更換和預(yù)防性更換費(fèi)用分別為5萬元和1萬元。（1）請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，討論是否存在最佳預(yù)防性更換策略。（2）如果存在，求出最佳更換時(shí)間和單位時(shí)間最小損失(要求算出具體數(shù)值結(jié)果)。 如果不存在，請(qǐng)說明理由。24