概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題5.3

1、&5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布習(xí)題與解答5.31.在一本書(shū)上我們隨機(jī)地檢查了 10頁(yè)，發(fā)現(xiàn)每頁(yè)上的錯(cuò)誤數(shù)為4560314214試計(jì)算其樣本均值，樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差.10解樣本均值 X=.7 =4+5+.+4 =3.樣本方差 s2=2 (Xj-X=9p4-3) +.+(4-3) j = 3.78,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s =1.94.2證明:對(duì)任意常數(shù)c,d,有證 2 (Xj(片一xVj -Y )+ n(X -c)(Y - d ).i i八i A八藝(X c Xyj d )=S (Xi -x+X-c )(yi Y + y d )=送(片一X X - y )+ i 4n無(wú)(X -c Xyj - y ) + 2 (X

2、i -X )( y - d ) + 2 (X -c )( y-d ), i 4八i Vr由 2 (Xi X ) = 0,，(y y )=0,得i=12(X -C hi -d ) = 2 (Xi -X )(yi -y )+ n(X-c Xy -d ),i壬因而結(jié)論成立.3.設(shè)xi,., Xn和yi,., yn是兩組樣本觀測(cè)值，且有如下關(guān)系:y =3-4，i =1,2.，n,試求樣本均值X和y間的關(guān)系以及樣本方差SX和Sy的關(guān)系.-1 . 2 yr送送(3Xi4)=送SyXi4 = 3X-4,三(yi y)i 22 (3x4i 4-3x+4)一 2送 9( Xj - X ) = 9SxiU因而得y

3、 = 3x-4與4.記 Xnn idX,，SnXn+1n +1Sni =1Xn=Xn丄送n iTi =1(Xi XnSy= 9sxn%*x)n +1n+li =1g-Xn).nX+x(X丄無(wú)(Xi(Xi -xXn(Xi -Xn)n+1n+1)=0,丄 W(X n,n = 1,2.,證明(n + 1 )Xn + XitXn+1(Xi-Xn+)21 +(XF+X1)2 +1(Xn+1Xn+1iT一 Xn+1)2-Xn KXnn+11)+ -(Xn+1一 Xn+1Xn+1+ -Z一 Xn)n irn(Xn+1Xn),221 1 ) _ 2 1(Xn+1 Xn ) +-In +1 丿n12 1 n 2

4、S.申=-送(Xi -Xn)+n i 4n-11 n212=汽S (Xi -Xn)+ (Xn+1Xn)n n -1 yn +1n-1 21_ 2=Sn +( X n +1 X n ).n n+1In +1 丿5.從同一總體中抽取兩個(gè)容量分別為n,m的樣本,樣本均值分別為X1,x2,樣本方差分別為s2,s；,將兩組樣本合并，其均值力差分別為2X,s ,證明:-n x mx2x =:n + m2 (n-1)s2+(m-1) 丄s =十nm (為X2)2(n + m)( n + m 1)證設(shè)取自同一總體的兩個(gè)樣本為X11 , X12，.，Xin； X21 , X22，X2m Y + Y + Y Y

5、+ Y + Yj_ Cl C2Cn _ 入21入22入2m由 Xi - , X2 ,得-x1. x1n + x2 X22 十.十 x2mnx mx2X =n + m1 n由 S2 = 送(X1i -X1)2 ,s2n T y1 m 一=Z (X2i -X2)2m T y1n_ms2 =無(wú)(X1i -X)2 +2n +mT iiT2 (X1i - X1 +x1-x)2 +2 (X2i X2+x2-x)i =1i rn(X2i - X)n +m TAn_ 2_m_ 2_I22S (X1i - X1) +n(X1 -X)中送(X2i -X2)+m(x2 -X)i =1i = nx1 + mx2、2

6、, , nx1 + mx2、 (n-1)s2 +(mT)S22 /(X1) m(x2 n +m Tn +m -1(n - 1)S|2 +(m -1禺2 +n (% f)2n + mT(n +m)(n +m T)6.設(shè)有容量為n的樣本A,它的樣本均值為XA,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為Sa,樣本極差為Ra,樣本中位數(shù)為mA.現(xiàn)對(duì)樣本中每一個(gè)觀測(cè)值施行如下變換y = ax +b，如此得到樣本B,試寫(xiě)出樣本B的均值，標(biāo)準(zhǔn)差極差和中位解 不妨設(shè)樣本A為x1,x2,.,x,樣本B為y1,y2,.,y“，且y = ax +b,i =1,2，n, yi+y2 + . + ynaxi + b + ax2 + b + .中 a

7、xn + b,yB = axA + b,sB =（yi - yB）2 =（ax + b- ax - b）2 = a2sAn - 1i 丄n -1i A因而 sB = lsA.Rb = y（n）- y（1）= aX（n） + b-ax（1）- b 二 a（X（n）- x（1） = nRa,mB =yu）,n為奇數(shù),12（y（n）r y（n）, n 為偶數(shù)2 （二）（二 F） axn+| + b,n為奇數(shù)U）（axn + b + axjn + b）, n為偶數(shù)=a7.證明溶量為2的樣本Xi,2 1 2X2的方差為s - 2（X1 X2）Xi + xo 2Xi 中 xo 2宀（）2十（八）2=廿肯）

8、2十甘）證：222=（X1 -X2）+（X2 -X1）=（X1 -X2）8設(shè)X1,，Xn是來(lái)自U ( 1,1)的樣本，試求E(X)和Var (x)解 均勻分布u(1,1)的均值和方差分別為0和1/3,該樣本容量為n,- - 1因而得 E (X ) = 0,Var (X)= , 3n9.設(shè)總體二階矩存在Xi,，Xn是樣本，證明x - X也Xj -X(i H j)的相關(guān)系數(shù)為-(n-1)對(duì)次你能夠給予解釋嗎？JvaMXj X)Jvar(Xj -x)證不妨設(shè)總體的方差為b 2 ,則P(Xi 7 Xj X) =Cog - x, Xj 一 x) 由 Covdj - X, Xj - X)= Cov(XXj

9、) -Cov(x,x) - Cov(Xj,X) + Cov(x, x)b2由于，Cov(Xi,Xj) = 0,Cov(x,x)二一n 1Cov(xi, X)= Cov(xj, X)= Cov(xi 2 xi)= 一 n im n因而 Cov(x - X, Xj - X)= nVar(x - X)= Var(Xj - x) = Var - x)n2= Var( n 一 人 一 X2-Xn、(n -2 + (n - 1尸 2 (n T)d 2所以 P(Xi -X,Xj-X) = -(n-1)由于2 (Xi - X)= 0 ,故其中任意一個(gè)偏差Xi - X的增加,都會(huì)使另個(gè)偏差Xj -X減少的機(jī)會(huì)增

10、加，因而兩者的相關(guān)系數(shù)為負(fù).10利用切比雪夫不等式求拋均勻硬幣多少次才能使正面朝上的頻率落在(0.4,0.6)間的概率至少為0.9如何才能更精確地計(jì)算這個(gè)次數(shù)？是多少？解均勻硬幣正面朝上的概率p=0.5,設(shè)xn為n次拋硬幣中正面朝上的次數(shù)，則有Xn U b n據(jù)題意選取次數(shù)n應(yīng)滿足xnp(0.4 0.9 n此式等價(jià)于p(|xn-0.5n|工0.1n)0.1 n)蘭 小5。-0.5)-2525再由不等式蘭0.1可得粗糙的估計(jì)n工250.即拋均勻硬幣250次n后可滿足要求.事實(shí)上，利用X的漸近正態(tài)性可以得到更精確的結(jié)論.由中心極限定理 知樣本均值 X 二，亦(X-0.5)/匚 N(0,1),故nP

11、(0. X 0.6)= P(7n x-0.5/0.50.95,故亦/5二1.645這就給出較精確的上界n二(5咒1.645)，這表明只需拋均勻硬幣68次就可滿足要求.兩個(gè)結(jié)果差異很大，說(shuō)明切比雪夫不等式是一個(gè)較為粗糙的不等式，在能 夠使用大樣本結(jié)果的情況下應(yīng)盡量使用中心極限定理11.從指數(shù)總體Exp(1/8 )抽取了 40個(gè)樣品試求X的漸近分布.解 由于指數(shù)總體Exp(1/0 )的均值為日，方差為日2,于是X的漸近分 r e2、布為NeIk 40 丿.12.設(shè)Xi,，X25是從均勻分布U(0,5)抽取的樣本，試求樣本均值x的漸近分布.解 均勻分布U (0,5)的均值和方差分別為5/2和25/1

12、2,樣本容量為25,因而樣本均值X的漸近分布為Ng,-.13.設(shè)Xi,., X20是從二點(diǎn)分布b(1, P)抽取的樣本，試求樣本均值X的漸近分布.解 二點(diǎn)分布b(1, P)的均值和方差分別為P和p(1-P),樣本容量為20,因而樣本均值X的漸近分布為n p,穿14.設(shè)X1,., X8是從正態(tài)總體N(10,9)中抽取的樣本，試求樣本均值X的標(biāo)準(zhǔn)差.解 來(lái)自正態(tài)分布的樣本均值仍服從正態(tài)分布，均值保持不變，方差為 原來(lái)方差的1/n,此處總體方差為9，樣本容量為8，因而V a r X= 9 / 8的標(biāo)準(zhǔn)差為 372/4 = 1.06.15.切尾均值也是一個(gè)常用的反映樣本數(shù)據(jù)的特征量，其想法是將數(shù) 據(jù)的

13、兩端的值舍去，而剩下的當(dāng)中的值來(lái)計(jì)算樣本均值，其計(jì)算公式n-2* 是心= x(nx)心-同,其中0“ 1/2是切尾系數(shù)，X(1)蘭X(2)蘭蘭X(n)是有序樣本?，F(xiàn)我們?cè)谀掣咝２稍L了 16名大學(xué)生，了解他們平時(shí)的學(xué)習(xí)情況，以下數(shù)據(jù)是大學(xué)生每周用于看電視的時(shí) 間:1514 12 920 417 261518 615 58取a =1/16,試計(jì)算其切尾均值:解 將樣本進(jìn)行排序得x（1）= 4,，x（佝=26 ,當(dāng)a = 1/16時(shí)，由題意得，切尾均值141412.86.16.有一個(gè)分組樣本如下區(qū)間組中值頻數(shù)(154,155)1504(155,165)1608(165,175)1706(175,18

14、5)1802試求該分組樣本的樣本均值.樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本偏度和樣本峰度.解計(jì)算過(guò)程列表如下：組中值x頻數(shù)fxf(x-X)2f(X - x)3 f(x-：)4f1504600676-87881142441608128072-2166481706102029420581440618023605789826167042和20326016202880296340因而可得樣本均值，樣本偏度和樣本峰度分別為x = 3260 = 163,s = J1620 = 9.23,20V 19288吧2 = 0.198,4 = 296340/20 -30.742.（1620/20）（1620/20）批號(hào)批量不合格品率1

15、1000.0523000.0632500.0441500.0317檢查四批產(chǎn)品，其批量與不合格率如下試求這四批產(chǎn)品的總不合格率.解 這批產(chǎn)品的總不合格率為P = 100 0.05 中300 O.OS + 250 0.04 +150 0.03 二 0.047.100+300 + 250 + 15018.設(shè)總體一等概率取123,4,5,現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為4的樣本，試分別求X（1）和X的分布.解由古典概率可得P（x（1）- k）二46-k、,C J，k = 1,2,3,4,5.4=0.5904,P（x（1）=1）= P（x（1）-P（x（1）x2） = 1-P（x（1）=2） = P（x（1嚴(yán) 2

16、） -P（x（1嚴(yán) 3）=.5；15丿4=0.28,P（x（1） =3） = P（x（1嚴(yán) 3） -P（x（1嚴(yán) 4）=45-1=0.104,4P(x(1)=4) = P(x(1)4)- P(x(1)5)=匸V 5 4”41、-I- = 0.02415丿P(x(1)=5) = P(x(1)5)4= 0.0016,x(1)12345P0.59040.280.1040.0240.0016這就給出了 x（i）的分布列類(lèi)似的，p(x(4)5).解(1)p(x(16)10) = 1 -p() 5) = (p(X(1) 5)16 = (1 -()16,.16=(1.5) =0.330820.設(shè)總體為韋布爾

17、分布Wei(mJ )，其密度函數(shù)為m Jp)(x;m,n)MXexp(護(hù), x0, m0,n 0現(xiàn)從中得到樣本Xi,Xn,證明X(i)仍服從韋布爾分布，并指出其參數(shù).解由總體分布的密度函數(shù)可得總體的分布函數(shù)F(x)為X mt mVmX _(t )mt-；X( m )F(x) = J0dt = J0e n d(孑)m) = 1 e-m因而最小次序統(tǒng)計(jì)量X(1)的分布函數(shù)為,X 0.P(X(1)蘭 X ) = 1 - P (x(1)X ) = 1 (e W這說(shuō)明x U Wei(mnJ).21.設(shè)總體密度函數(shù)為p(x) = 6x(1-x),0 X 1,Xi，X9是來(lái)自該總體的樣本，試求樣本中位數(shù)的分

18、布.解總體分布函數(shù)為F(x) = f 6t(1-t)dt = 3x2 -2x3 = x2(3-2x),0 E X蘭 1,1 F(x) = (1-x)2(2x + 1),0 蘭 X 蘭 1.故樣本中位數(shù)口0.5 = X(5)的精度分布密度函數(shù)為9?Pm0.5(X)-1 /(4丿=1|(x2(3 -2x)4|16x(1-x)(1-x2)(2x + 1)4I4丿I1丿=3780x9(1 - x)9(3 - 2x)4(2x + 1)4(F(x)4P(1丿p(x)(1-F(x)4這個(gè)精確密度函數(shù)是26次多項(xiàng)式，使用是不方便的，譬如P mo.5 0.7）用上述密度函數(shù)是可以求的，可就是不方便，尋求近似計(jì)算

19、就十分必要.F面來(lái)尋求m0.5的漸進(jìn)分布，由于總體中位數(shù)是Xo.5 = O.5,且P( x0.5 = 0.5) = 6 X 0.5 X (1 - 0.5) = 3/ 2,故在n = 9時(shí)m0.5的漸近分布為m（0.5）D N （g,利用此漸進(jìn)分布容易算出概率P（譏.5 0.7） =（1.8） = 0.9641.22.設(shè)X1,.,Xn是來(lái)自U（0/）的樣本，X（1）蘭蘭X（n）為其次序統(tǒng)計(jì)，令yi=1,.,n-1,yn =x(n),X(i+|)證明yi,., y相互獨(dú)立.證 令Ui = x（i）,i = 1,2,., n,則Ui，.,U n的聯(lián)合密度函數(shù)為P(U1,., Un) = n!/T n