向量代數(shù)與空間解析幾何

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題解十、向量代數(shù)與空間解析幾何1.設(shè) a=3, 1,2,b=1,2, 1,求(禺 3b 和 tb.解：（蟲）r r k-1/13,13-13-1-2=i 一J +2 -11-11 21 2-1豪xb =3b = -6c3d +(1)x2 +(-2) x(-1) =-18I,IIk = 5+f + 7k2. a = 2i -3j +k , b=i - j+3k , c = i -2j，求(a+b)x(b +c)解：(a +b)c(b + c) =(3卜_4：+4k)2F_3：+3k)3.求過點(diǎn)（3,0, -1），且與平面-4-3-3 33 4|： +3x 7y+5Z-12 =0平行的

2、平面方程。解：因?yàn)樗笃矫媾c平面3x 7y +5Z 12 = 0平行，所以其法向量* =3 -7 +5k由點(diǎn)法式得所求的平面方程為 3(x-3) -7( y -0) +5(z+1) =0 即4-3k jk3x-ly+ 5z2 = 0（車廠3x 7y +5z 4 =05.求過三點(diǎn)P（0,4, 5）、4.求過點(diǎn)M0（2,9, 6）且與連接原點(diǎn)O及點(diǎn)M0的線段OM。垂直的平面方程.解：向量就所求平面的法向量詁+9： -6由點(diǎn)法式得所求的平面方程為2(x-2 ) + 9(y -9)-6(z +6)=0即 2x + 9y-6z-121 =0P2（1,2,2）、巳（4,2,1）的平面方程。解：所求平面的法

3、向量 *同時垂直于線段PP2 ,pP3 ，其中PP2 =化=#-、且 PP3 =*2 =4,-2：+6$所求平面的法向量斤=化咒#2 =T j-1 -6=/2,+34丫+26k由點(diǎn)法式得所求的平面方程為-22( X -0 )+34( y -4) +26( z +5) =0即-11x +17y + 13z -3 =06.求平行于平面X +2y -Z -3 = 0,且過點(diǎn)P(2, -5,3)的平面方程。解：因?yàn)樗笃矫媾c平面 x+2y-z-3=0平行，所以其法向量n = +2?-k,由點(diǎn)法式得所求的平面方程為(x-2) +2( y + 5)-( z-3) =0 即 x +2y-z+11 = 07.

4、求過點(diǎn)(4, -1,3),且與直線 匕3 =y2H平行的直線方程。5解：因?yàn)樗笾本€與直線口平行，其方向向量為5d =2卩+F+5k由點(diǎn)向式得所求的直線方程為X -4y +1z -35z-1由點(diǎn)向式得所求的直線方程為9 .求過點(diǎn)(2,3, -8)且與直線8.求過兩點(diǎn)R(3, 2,1)和F2( 1,0,2)的直線方程。解：晁=& = *+2：+k即為所求直線的方向向量d = -4t +2? +kx-3 y+2 z-1直的平面方程。解：所求的平面直線直,直線的方向向量旻=21川-42X +1Z + 1X +1y 6y 6口垂-8+3? -8k即為所求平面的法向量,IH =2, +3 -8k由點(diǎn)法式

5、得所求平面方程為 2( X -2 )+3( y -3) -8( z+8) =0即2x+3y 8z 77 = 010.設(shè)兩點(diǎn)M1（4, J2,1） ,M2（3,0,2）,計算向量M1M2的模，方向余弦和方向角。解：向量血j +k所以M1m2的模=J( -1)2 +(72)2+12 =2，的方向余弦CO =T，co宀一血，cosy所以M1M2的方向角為a =， P33；!11.說出下列方程所代表的圖形名稱2x一42+ =192y_+z24橢圓柱面=1單葉雙曲面(5)2x y zp + 2+f = 1雙葉雙曲面a2 b2 c2(7)|x +y+z=1(X -y -z = -6直線(9)雙曲柱面X -

6、212.求直線2X J(2) +二4y +122y z+ =1橢球面992=X拋物柱面2X丄y(6)+=z42(8) X -2y +8z = 7(10) Z = Jx2 + y2y 3 乙二4與平面2x +y+z-6=0的交點(diǎn).2!x=t +2拋物面平面圓錐面y3z 4=t，則 y =t+3代入平面方程2x+y + z6 = 0求得t =1 z = 2t +4所以求直線與平面的交點(diǎn)為(3,4,6)。X 113求兩直線一1-4z+3解：兩直線的方向向量分別為與亠24 ji -4 Jy+2-2的夾角.-1+ k， i =2丫 -2j -k所以兩直線的夾角滿足 cos日=1咒2-4咒(-2)+仔(-

7、1)72inJ1+16+1J4+4+1兀，所求夾角為一。24本章補(bǔ)充題:一、選擇題：1.設(shè) S =1,_ 1, k,=2, 4, 2,當(dāng) a與 b 垂直，則 k =1 B.-1C. 2 D.-22.I設(shè)1,1,0, b =1,0,-1則 a與 b 的夾角為（）兀B.-4兀C.-3JID.-23.I設(shè) b = i + j +k 及 c=2i + j +k 垂直，則 bx =（）-j -kB. j -k C. j +k D. j +k4.同時與s=1, 1,0及b=1,0, -2垂直的單位向量是（B . 2M+k C 2蛍甘5.平面x2y+z+1=0與平面（）垂直-x + 2y -z 5 =06.

8、直線L :-1X 1 y 2Ml與平面（）平行-2B. 2x-y+3z + 3=0c. . x y-3z +5=0 d. 3x 5y+ z+1=04x +y -z 10 =07.亠X 1y +1直線L:y-1z 2與平面x+2yz+3=0位置關(guān)系是（）1A .垂直.B.直線在平面內(nèi)C.平行D 相交8.過點(diǎn)P（1, 2, 3 ）且與向量a =2, 2,2及b =（1, 2,4同時垂直的直線為（）z3-2C.X T y -2 z -3-4D . gr-6z39.在空間直角坐標(biāo)系中方程x2 +（ y -1）2 +z2 =9 表示A.球面 B.圓錐面 C.圓柱面D.拋物面10 .在空間直角坐標(biāo)系中方程

9、2 2x +y =4z 表示（）A .一個圓B .圓柱面C.圓錐面 D 旋轉(zhuǎn)拋物面B. x-2y+3z+5=0C. 2x-3y+z + 6=0D. x + y-5z + 3 = 011.在空間直角坐標(biāo)系中方程2y = X +1 表示()A .拋物線B .圓柱面C 圓錐面D 拋物柱面12.在空間直角坐標(biāo)系中方程222 zX +y + =1 表示()4A .球面B .圓柱面C.圓錐面 D.橢球面二、填空題： 1設(shè)a =3卩+5j+7k的終點(diǎn)為B（1, 2,3）則;起點(diǎn)A的坐標(biāo)為（IIq =14，則 b =2.設(shè)a , P , Y是向量a的三個方向角，則sin2a +sin2 P +sin2 V =

10、3設(shè)a =6, 3, 2，已知a與b平行，且4.已知 A(2,1,2) , B(0,2, 1) ,C(2,3, 0)，則也ABC的面積為5.已知向量a與b的夾角為二，且I劭=2， b3=1，則a -b與a +b的夾角為6.設(shè)平面兀過點(diǎn)（2,0,-1）且與平面4X-5y+ 2z=0平行，則平面兀方程為7.X+1y-1設(shè)平面 兀過點(diǎn)（1, -1,2）且與直線=-= 垂直，則平面兀方程為3218.已知直線L過點(diǎn)（2,1,2）且與平面3x+2y+ 2z-5=0垂直，則直線L的方程為9.點(diǎn)M (1, 2,1)到平面兀:3x 4y +5z+4 =0的距離為210.坐標(biāo)面yOz上的曲線Z =4y繞z軸旋轉(zhuǎn)而

11、得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為三、解答題：1.求直線2x -1y -2z + 4與平面X-3y + 2z-5=0的交點(diǎn)和夾角。2.已知 A(2, 1,2),B(0,2,1) , C( 2,3,0),求心ABC所在有平面方程。X +2y -z 7 =03.把直線？y的方程改寫為點(diǎn)向式、參數(shù)式。-2X +y +Z 1 =0X -24已知平面 兀過點(diǎn)M ( -1, -2,3)且與直線L1 : 34匕5和直線L 2 :6y+2 z3都平行,2-8求平面兀方程。5.已知直線L過點(diǎn)P(0,1, 2)且與平面x+2y5=0和y3z+4 =0都平行,求直線L的方程。6.已知點(diǎn)M (k,1, 2)到平面兀：2x-2y+z

12、+3=0的距離為1,求k。7.X +2y z 7 =0y與平面3x +ky +5z +4 =0垂直，求k。2x+y +Z-1 =08.指出下方程表示的圖形:X2 +y2 =9 X2 +y2 + z-2x +4y+ 4z =0x2x2 +y2 -4z2 =02 2 x +y -z =0 2x2 +y2-z2 =1-1補(bǔ)充題參考答案或提示:一、選擇題1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. D 11. D 12. D二、填空題1. (-2,7,10)22.3.12, 6, -44.1 aBx bC 咨,1x2,1,1* =7512 25.6.

13、7.8.9.10.9 bJ4x 5y +2z -6 =03x +2y z+1 =0x-2 y+1 z-23 2 23X1 4X2 +5X1 +2加 +( -4)2+52z =4( X2 +y2)_ 9屮 af-292+2哥372172-5三、解答題：1.令上仝2-3-1=t代入平面方程x-3y+2z-5=0得t=2所以交點(diǎn)為（5,4,6）。因?yàn)椋褐本€的方向向量 s=2,3,1平面的法向量n=1,3,2,=即夾角 W = arcsin 14_ S n所以夾角W滿足sin =coSs,m =苛寸=所以MBC所在有平面方程為 麗 14ijk3-1-2-11-2 3-23 -1=i -j +1-12-12 12 1-1k = -2-4$-8k2.平面的法向量 LaBxbCJ-2,3,-1x2,1,-12( X-2 )-4( y+1)-8( z-2) =0 即 x + 2y+ 4z-8=0。3.直線的方向向量=你2 =1 2-1=苗 +5 ,在直線取一點(diǎn)令Z=0則X +2y 7 =0得r 9_2x + y -1 =0y =3IX = 3t +1所以點(diǎn)向式為X1y3 z=_，參數(shù)式為y = t+3（ t為參數(shù)）5z =5t4.平面的法向量斤=S1xS2 =I=_44