1功和能有關(guān)問題的巧解1

1、2 =n:(n-1) : (n - 2)：(n - N +1):：1 、Vna分別表示第1s、第2s、第3s、第X1 : Xn =(2n 1): n2功和能有關(guān)冋題的巧解力學(xué)中動(dòng)能定理和動(dòng)量定理，他們相互之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，若能掌握和 運(yùn)用并能站在不同側(cè)面去剖析巧解有關(guān)問題，從而使問題化繁為簡(jiǎn)、由難變易， 提高解題效率。例題：質(zhì)量為m的物體以初速度Vo進(jìn)入粗糙水平面作勻減速直線運(yùn)動(dòng)， 經(jīng)ns (n為整數(shù))靜止。求：(1) 第Ns內(nèi)克服外力做功的數(shù)學(xué)表達(dá)式(N n)?(2) 1s內(nèi)，2s內(nèi)，3s內(nèi)，ns內(nèi)克服外力做功之比？(3) 當(dāng)n=5時(shí)，第4s內(nèi)克服外力做功多大？解析：質(zhì)量為m的物體以初速度

2、Vo進(jìn)入粗糙水平面作勻減速直線運(yùn)動(dòng)， 最后靜止。求解本題的關(guān)鍵是物體所受的合外力恒定且恒等于滑動(dòng)摩擦力的大 小，因而可利用勻減速直線運(yùn)動(dòng)特殊規(guī)律和力、功、能之間的關(guān)系及等差數(shù)列 知識(shí)分別求解。初速度Vo的勻減直線運(yùn)動(dòng)特殊規(guī)律：Xi : X H : X m :：Xn =(2 n-1) : (2 n- 3) :(2 n- 5):：bn- (2N -1 卩2 2 2 2X1 :X2： Xr ：Xn =(2 n-1 ):(2 2 n-2 ):(3 ”2 n- 3 )：(n ”2n-n )(n取1、2、3、4、，nwt,其中t =)作為給定的勻減速直線運(yùn)動(dòng) a題中t是給定的定值。Xi、X n、X m、

3、分別表示第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi) 的位移；Xl、X2、X3、 分別表示1s內(nèi)、2s內(nèi)、3s內(nèi) 的位移；V :Vi :V2：Vn4：:VVo、Vi、V2、Vn 1、Ns、第ns的初速。則有X1申加n1 2依 F 咲=AEk = mVt21 2 mV。并將Vt = 0代入得：2依W=F X得：W f咲1 = f 竺兇=f .Xn呼 nn2 2n-1-(2n- 1)mV02=f Xn1 2=-mVo1由此有W = -mvo 22n2由W = F嘆和式有：2n2(1) 依題意根據(jù)式得：2Wi : Wn : Wm :：Wn : Wn+=fX i : fX n : fX m :：fX n ： fX n

4、 申 =(2 n -1): (2n -3) : (2 n - 5):：2 n - (2N -1) : bn- (2N +1 廿2n 1Wn2n -(2N-1)則 Wn =(2n2N+1)WimVo2n 12n22n-(2n -1)】(2) W1 : W2 : W3 :：WnfX1:fX2:fX3: fXn由式得：X2 =(2 ”2n -22)X12n 1X3(3 ”2n -32)X12n 1Xn2(n ”2n -n X2n 1將 X1、X2、X3、Xn代入上式得:(2)設(shè)Ns內(nèi)克服外力做功為Sn ，W1 : W2 : W3 :Wn僅fX 1(2 2n - 22),fX1(3 ”2 n - 32

5、).fX 1 (n ”2n - n2)2n - 122 2 2 2(2n-1 ):(2 ”2 n-2 ):(3”2 n-3 廠：(n”2n-n )2n -122n - 12由上式得： W1 :W2 :W3 :：Wn =(2n-1):(4n-4):(6n-9):：n2(3)當(dāng)n=5時(shí)，第4s內(nèi)克服外力做功：由(1)式可知 Wi :Wn : Wm :Ww : W = 9: 7:5: 3:1則有Ww :Wi = 3:9Ww2 21 -(2 n- 1)mVo _-(2%5-1mVo23mVo2n2232x550解法二：從功能關(guān)系求解(1).由動(dòng)能定理有Wn二AEk 二Ekn Ekn12 2嚴(yán)-Vz )

6、由式得:VoVoVgn-N +1Vn則有Vn_4, Vn(n-N )Vo1 2由此 W尹(VN-VN42)=2n22 mV。2n - N)2 -(n- N +1)2=-0 2n- (2n -1)】2n2則Sn歸皿弓曲丿V。r( n-N)22 n2-由此有1s內(nèi)克服外力做功Wi mVA(12n12)2n2mV。22(2 ”2n -22)2n22廠(3 *2n-3 )2n22s內(nèi)克服外力做功3s內(nèi)克服外力做功ns內(nèi)克服外力做功W2W3WnmV022RD22-(N Zn - N ) 2n2mV。22= ”n2n2W, : W2 : W3 :：Wn =(2n -1): (4n -4): (6n -9)

7、:：n22mV|2 n-(2N-1) 2n2(3).將 n=5, N=4 代入 WN貝U有 Wn = -mVT2x5 -（2x4-1）=-蘭口2022x5250解法三：從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求解物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，外力克服物體做功隨時(shí)間減小，在兩相鄰的相等時(shí) 間內(nèi)外力克服物體做功成等差數(shù)列，如要求第 Ns內(nèi)外力克服物體做功的量值， 可利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 Wn mW +（N _1）也W求解，其中Wn表示第Ns內(nèi)克 服外力做功的值，Wi表示第1s內(nèi)克服外力做功的值，A W為公差，表示任意兩 個(gè)連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)克服外力做功的差值，此差值為負(fù)值?？朔饬ψ龉﹄S時(shí)間減小，如要求 Ns內(nèi)克服外

8、力做功的值，可根據(jù)等差數(shù) 列前N項(xiàng)和公式Sn = N Wi + N（N 一1）邊W求解，其中Sn表示Ns內(nèi)克服外力2做功的值，Wi表示1s內(nèi)克服外力做功的值，也W為公差，表示任意兩個(gè)連續(xù)相 等時(shí)間內(nèi)克服外力做功的差值，此差值為負(fù)值。由于 W| =-mVy（2n-1），2n22 2W =Wn -Wnj = - mV0r 2n - (2N -1) +0 2n - (2N -3)】=2n22n2(1). Wn =W| +(N -1)AW =mV0(2n-1)2n22丄mV0+ 卡(N -1)n2mVon22則有Wn2(2) . Sn =N Wiw 叫(2n -1N22n2 n則有Sn2mV02n22(N n -N )由此有1s內(nèi)克服外力做功Wi =-mV。22n2(1 .2 n-12)2s內(nèi)克服外力做功W23s內(nèi)克服外力做功W3ns內(nèi)克服外力做功WnmV。22n2mV。22n2mV022n22(2 ”2n -22)(3 如-32)(n ”2n - n2)mV。22n2W1 :W2 : W3 :：Wn =(