高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 新人教版必修4

1、1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,知識(shí)提煉】 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,即時(shí)小測(cè)】 1.判斷 (1)函數(shù)y=cosx，x2k，2(k+1)，kZ且k0的圖象與函數(shù)y=cosx，x0，2)的圖象的形狀完全一致.() (2)函數(shù)y=sinx，x 的圖象與函數(shù)y=cosx，x0，2的圖象的形狀完全一致.() (3)五點(diǎn)法畫函數(shù)y=1-cosx，x0，2的圖象時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)依次為(0，0)，( )，(，0)， ，(2，0).(,提示：(1)正確.將函數(shù)y=cosx，x0，2)的圖象向右(或左)平移2k，k0(或k0)個(gè)單位，可得函數(shù)y=cosx，x2k，2(k+1

2、)的圖象. (2)正確.函數(shù)y=sinx，x 的圖象向左平移 個(gè)單位，可得函數(shù)y=cosx，x0，2的圖象. (3)錯(cuò)誤.五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)依次為(0，0)， ，(，2)， (2，0). 答案：(1)(2)(3,2.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是() A.向左右無(wú)限伸展 B.與y=cosx的圖象形狀相同，只是位置不同 C.與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn) D.關(guān)于y軸對(duì)稱 【解析】選D.觀察正弦函數(shù)y=sinx的圖象可知，A，C正確，D錯(cuò)誤.y=sinx的圖象向左平移 個(gè)單位可得y=cosx的圖象，故B正確,3.函數(shù)y=cosx，xR圖象的一條對(duì)稱軸是() A.x軸 B.y軸 C.直線x= D

3、.直線x= 【解析】選B.觀察y=cosx，xR的圖象可知，直線x=0即y軸是一條對(duì)稱軸,4.請(qǐng)補(bǔ)充完整下面用“五點(diǎn)法”作出y=-sinx(0 x2)的圖象時(shí)的列表. _；_；_,解析】由五點(diǎn)作圖法知處應(yīng)該填；處應(yīng)該填0；處應(yīng)該填1. 答案：01,5.當(dāng)x0，2時(shí)，cosx0的解集為_. 【解析】觀察y=cosx，x0，2的圖象可知，當(dāng)x 時(shí)，cosx0. 故cosx0的解集為 答案,知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 觀察圖形，回答下列問(wèn)題,問(wèn)題1：由y=sinx，x0，2的圖象如何得到y(tǒng)=sinx，xR的圖象？ 問(wèn)題2：正弦曲線和余弦曲線形狀一致嗎？位置上有什么關(guān)系,總結(jié)提升】

4、1.函數(shù)y=sinx，x0，2與y=sinx，xR的圖象的關(guān)系 (1)函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象是函數(shù)y=sinx，xR的 圖象的一部分. (2)因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y=sinx，x2k，2(k+1)，kZ且k0的圖象與函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象形狀完全一致，因此將y=sinx，x0，2的圖象向左、右平行移動(dòng)(每次移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度)，就可得到函數(shù)y=sinx，xR的圖象,2.正弦曲線和余弦曲線的關(guān)系,3.“幾何法”和“五點(diǎn)法”畫正、余弦函數(shù)圖象的優(yōu)缺點(diǎn) (1)“幾何法”就是利用單位圓中正弦線和余弦線作出正、余弦函數(shù)圖象的方法.該方法作圖較精確，但較為煩瑣.

5、(2)“五點(diǎn)法”是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，在要求精度不高的情況下常用此法,題型探究】 類型一 用“五點(diǎn)法”畫三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 【典例】用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y= +sinx，x0，2的圖象. 【解題探究】用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asinx+b(A0)，x0，2的圖象時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是什么？ 提示：依次是0， ， ，2,解析】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表,描點(diǎn)，并將它們用光滑的曲線連接起來(lái).(如圖,延伸探究】 1.(變換條件)將本例中“x0，2”改為“x ”，如何畫函數(shù)圖象. 【解析】(1)列表,2)描點(diǎn)，并用光滑曲線連接可得其圖象，如圖所示,2.(改變問(wèn)法)用本例畫圖方法畫出函數(shù)y=-1-cosx(

6、0 x2)的圖象. 【解析】列表,描點(diǎn)作圖，如圖所示,方法技巧】用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asinx+b(A0)或y=Acosx+b(A0)在0，2上簡(jiǎn)圖的步驟 (1)列表,2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列五個(gè)點(diǎn)：(0，y)， (，y)， (2，y)，這里的y是通過(guò)函數(shù)式計(jì)算得到的. (3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，不要用線段進(jìn)行連接,補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015上饒高一檢測(cè))用“五點(diǎn)法”畫出y=sinx+2，x0，2的簡(jiǎn)圖. 【解析】(1)列表,2)描點(diǎn)：在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)(0，2)， (，2)， (2，2). (3)作圖：將上述五點(diǎn)用平滑的曲線順次連接起來(lái)(實(shí)線,延伸探究】 1.(變

7、換條件)將本題中x0，2改為x 試畫函數(shù)的簡(jiǎn)圖. 【解析】列表,描點(diǎn)作圖如圖所示,2.(改變問(wèn)法)將本例函數(shù)改為y=-sinx-1，x0，2，試畫其簡(jiǎn)圖. 【解析】(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表,2)描點(diǎn)并用光滑曲線連接可得其圖象，如圖所示,類型二 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用 【典例】1.使不等式 -2sinx0成立的x的取值集合是(,2.如果直線y=a與函數(shù)y=sinx，x 的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是_. 3.根據(jù)函數(shù)圖象解不等式：sinxcosx，x0，2,解題探究】1.典例1中，不等式應(yīng)首先變形為什么形式？如何利用正弦曲線解此不等式？ 提示：先變形為sinx ，正弦曲線在直線y=

8、 下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍. 2.典例2中，畫函數(shù)y=sinx，x 有哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？ 提示,3.典例3中，滿足不等式sinxcosx，x0，2的x的幾何意義是什么？ 提示：y=sinx，x0，2的圖象在y=cosx，x0，2上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值,解析】1.選C.不等式可化為sinx . 方法一：作圖，正弦曲線及直線y= 如圖所示. 由圖知，不等式的解集為,方法二：如圖所示不等式的解集為x|2k- x2k+ ，kZ,2.畫出函數(shù)y=sinx，x 及y=a的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，-1a0或a=1時(shí)，直線y=a與函數(shù)y=sinx，x 的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn). 答案：-1，0)1,3.畫出

9、函數(shù)y=sinx，x0，2，y=cosx，x0，2的圖象如圖所示. 觀察圖象可知，sinxcosx，x0，2的解集為x| x,延伸探究】若把本例1中不等式改為 sinx ，試求x的取值集合. 【解析】首先作出y=sinx在0，2上的圖象.如圖所示,作直線y= ，根據(jù)特殊角的正弦值，可知該直線與y=sin x，x0，2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 和 ；作直線y= ，該直線與y=sin x，x0，2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 和 .觀察圖象可知，在0，2上，當(dāng) 或 時(shí)，不等式 sin x 成立. 所以 sin x 的解集為x| +2kx +2k，或 + 2kx +2k，kZ,方法技巧】 1.用三角函數(shù)的圖象解sinxa(

10、或cosxa)的方法 (1)作出直線y=a，作出y=sinx(或y=cosx)的圖象. (2)確定sinx=a(或cosx=a)的x值. (3)確定sinxa(或cosxa)的解集. 2.利用三角函數(shù)線解sinxa(或cosxa)的方法 (1)找出使sinx=a(或cosx=a)的兩個(gè)x值的終邊所在的位置. (2)根據(jù)變化趨勢(shì)，確定不等式的解集,變式訓(xùn)練】求函數(shù)y= 的定義域. 【解題指南】解logax0型不等式，先將不等式化為logaxloga1，再根據(jù)a1，或0a1得到x與1的大小關(guān)系. 【解析】由log3sinx0，得log3sinxlog31 所以sinx1，又因?yàn)閟inx1， 所以s

11、inx=1，所以x=2k+ ，kZ， 所以原函數(shù)的定義域?yàn)閤R|x=2k+ ，kZ,補(bǔ)償訓(xùn)練】若sinx=2m+1且xR，則m的取值范圍是_. 【解析】由正弦函數(shù)圖象得-1sinx1， 所以-12m+11，所以m-1，0. 答案：-1，0,易錯(cuò)案例 利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象判斷方程根的個(gè)數(shù) 【典例】方程sinx=lgx的解有_個(gè),失誤案例,錯(cuò)解分析】分析解題過(guò)程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：錯(cuò)誤的根本原因是y=lgx的圖象所過(guò)特殊點(diǎn)，找錯(cuò)，y=sinx的圖象，分布區(qū)域找錯(cuò)，實(shí)際上，y=lgx過(guò)點(diǎn)(10，1).y=sinx的圖象在y=-1和y=1之間,自我矯正】如圖所示，y=sinx與y=lgx的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故方程有3個(gè)解. 答案