高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3_2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式 新人教B版選修4-5

1、3.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,貝努利不等式,1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式. 2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式. 3.了解貝努利不等式的應(yīng)用條件,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在不等關(guān)系的證明中,有多種多樣的方法,其中數(shù)學(xué)歸納法是最常用的方法之一,在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證不等式時(shí),推導(dǎo)“k+1”成立時(shí),比較法、分析法、綜合法、放縮法等方法常被靈活地應(yīng)用. 【做一做1-1】 欲用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于足夠大的正整數(shù)n,總有2nn3,n0為驗(yàn)證的第一個(gè)值,則() A.n0=1 B.n0為大于1小于10的某個(gè)整數(shù) C.n010 D.n0=2 解析:n=1時(shí),21;n=2時(shí),41 000.故選C. 答案:

2、C,做一做1-2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明“ n N*,n1)”時(shí),由n=k(k1)不等式成立推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是() A.2k-1B.2k-1 C.2kD.2k+1 解析:增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k. 答案:C,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式 (1)定理1(貝努利不等式):設(shè)x-1,且x0,n為大于1的自然數(shù),則(1+x)n1+nx. (2)定理2:設(shè)為有理數(shù),x-1,若01,則(1+x)1+x.當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立. 名師點(diǎn)撥當(dāng)指數(shù)推廣到任意實(shí)數(shù)且x-1時(shí), 若01,則(1+x)1+x. 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等

3、式,從“n=k”到“n=k+1”證明不等式成立的技巧有哪些? 剖析:在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的問(wèn)題中,從“n=k”到“n=k+1”的過(guò)渡,利用歸納假設(shè)是比較困難的一步,它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題一樣,只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來(lái),而證明不等式的第二步中,從“n=k”到“n=k+1”,只用拼湊的方法,有時(shí)也行不通,因?yàn)閷?duì)不等式來(lái)說(shuō),它還涉及“放縮”的問(wèn)題,它可能需通過(guò)“放大”或“縮小”的過(guò)程,才能利用上歸納假設(shè),因此,我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來(lái)分析從“n=k”到“n=k+1”的變化,從中找到“放縮尺度”,準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu),題型一,題型二,題型三,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列

4、型不等式,1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)求證:對(duì)一切正整數(shù)n,不等式a1a2an2n!恒成立. 分析:由題設(shè)條件知,可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求得an;第(2)問(wèn)的證明,可以等價(jià)變形,視為證明新的不等式,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,反思利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n=k到n=k+1的變形.為滿(mǎn)足題目的要求,常常要采用“放”與“縮”等手段,但是放縮要有度,這是一個(gè)難點(diǎn),解決這類(lèi)問(wèn)題一是要仔細(xì)觀察題目的結(jié)構(gòu),二是要靠經(jīng)驗(yàn)積累,題型一,題型二,題型三,用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,分析:先通過(guò)n取比較小的值進(jìn)行歸納猜想,確定證明方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明,

5、題型一,題型二,題型三,當(dāng)n=1時(shí),21=212=1; 當(dāng)n=2時(shí),22=4=22; 當(dāng)n=3時(shí),23=852=25; 當(dāng)n=6時(shí),26=6462=36. 故猜測(cè)當(dāng)n5(nN*)時(shí),2nn2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明: (1)當(dāng)n=5時(shí),顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k5,且kN*)時(shí),不等式成立, 即2kk2(k5),則當(dāng)n=k+1時(shí), 2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1 =(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因?yàn)?k-1)22,題型一,題型二,題型三,反思利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜測(cè)出證明方向,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立,題型一,題型二,題型三,用數(shù)學(xué)歸納法證明探索型不等式,題型一,題型二,題型三,1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,且k1)時(shí),題型一,題型二,題型三,反思用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是:觀察歸納猜想證明,即先通過(guò)觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)進(jìn)行歸納,判斷并猜測(cè)出一般結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,1 2 3 4,1下列選項(xiàng)中,不滿(mǎn)足12+23+34+n(n+1)3n2-3n+2的自