初中相似三角形幾何證明技巧

1、初中幾何證明技巧（分類）證明兩線段相等 1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。 2.同一三角形中等角對(duì)等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。 *10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)

2、）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。 *12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。 13.等于同一線段的兩條線段相等。 證明兩個(gè)角相等 1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對(duì)等角。 3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。 5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。 *7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 *9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。 10.等于同一角

3、的兩個(gè)角相等。 證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。 3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。 7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。 *11.利用半圓上的圓周角是直角。 證明兩直線平行 1.垂直于同一直線的各直線平行。 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)

4、角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。 3.平行四邊形的對(duì)邊平行。 4.三角形的中位線平行于第三邊。 5.梯形的中位線平行于兩底。 6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。 證明線段的和差倍分 1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。 3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。 4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。 5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。 證

5、明 角的和差倍分 1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分線的定義。 3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 證明線段不等 1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。 2.垂線段最短。 3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。 *5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大

6、。 5.全量大于它的任何一部分。 證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。 2.利用內(nèi)外角平分線定理。 3.平行線截線段成比例。 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理-相交弦定理、切割線定理及其推論。 6.利用比利式或等積式化得。 證明四點(diǎn)共圓*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。 *2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。 *4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。 *5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓一周強(qiáng)化一、一周知識(shí)概述(一)相似三角形1、三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形

7、用符號(hào)“”表示相似，讀作“相似于”當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；由相似三角形的定義知如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k=1相似比是

8、一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判定定理2：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理3：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似方法總結(jié)：（1）判定兩個(gè)三角形相似，至少需要下列條件之一：兩角對(duì)應(yīng)相等；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等；三條邊對(duì)應(yīng)成比例理解時(shí)，可類比全等三角形的判定方法在中，只要滿足兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形就相似，解題時(shí)關(guān)鍵是尋找對(duì)應(yīng)角，一般地，在解題過(guò)程中要特別注意“公共角”“對(duì)頂角”“同角的余角(或補(bǔ)角)”都是相等的，這是常用的

9、判定方法（2）已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理（1）或判定定理（3）但是，在選擇利用判定定理（3）時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等2、直角三角形相似的判定如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”或“雙直角三角形”，其應(yīng)用較為廣泛如圖，可簡(jiǎn)單記為：在RtABC中，CDAB，則ABCCBDACD所以AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD.(三）相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比如圖，其符號(hào)語(yǔ)言：2、相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比其符號(hào)語(yǔ)言：如圖ABCABC，ADBC，A

10、DBC，ABCABC，BF=CF，BF=CF，ABCABC，BAE=CAE，BAE=CAE，性質(zhì)(1)與(2)可簡(jiǎn)記為：相似三角形中一切對(duì)應(yīng)線段及周長(zhǎng)之比都等于相似比3、相似三角形的面積的比等于相似比的平方二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是

11、對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如：“平行線型”相似三角形，“相交線型”相似三角形，“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形從基本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型”是常見(jiàn)的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形三、典型例題講解

12、1、尋找相似三角形例1、如圖，在ABCD 中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)DE，交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，那么圖中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6對(duì)B.5對(duì)C.4對(duì)D.3對(duì) 解：由AEDC，可得AEGCDG，DFCEFB.由BCAD，可得BFEADE，F(xiàn)CGDAG，DCFEAD.故選 B.點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查相似三角形識(shí)別的掌握情況可運(yùn)用平行線去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理來(lái)找相似三角形，但要注意不要漏找2、畫(huà)符合要求的相似三角形例2、在大小為44的正方形方格中，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出一個(gè)A1B1C1，使得A1B1C1ABC(相似

13、比不為1)，且點(diǎn)A1、B1、C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上（1）（2）分析：設(shè)單位正方形的邊長(zhǎng)為1，則ABC的三邊為，從而根據(jù)相似三角形判定定理1或3可畫(huà)A1B1C1，易得點(diǎn)評(píng)：在44的正方形方格中，滿足題設(shè)的A1B1C1只能畫(huà)出以上三個(gè)，若正方形方格數(shù)不加限制，則和ABC相似且不全等的三角形可以畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)3、利用相似三角形定義求線段長(zhǎng)例3、已知ABC中，AB=8，AC=6，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，如果以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形和以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，且相似比為，求AD和AE的長(zhǎng)分析：通過(guò)相似比，將AD，AE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到方程中求解由于已知的兩個(gè)三角形相似，并沒(méi)有具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以結(jié)論具

14、有不確定性，應(yīng)分類討論解：如圖(1)所示，當(dāng)ADEABC時(shí)，有，AE=2如圖(2)所示，當(dāng)ADEACB時(shí)，小結(jié)：數(shù)形結(jié)合思想方法是解答有關(guān)相似三角形問(wèn)題的基本方法在解題時(shí)需借助圖形深入理解數(shù)量之間的關(guān)系，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面的、進(jìn)一步的分析與探索4、相似三角形的判定例4、根據(jù)下列各組條件，判定ABC和ABC是否相似，并說(shuō)明理由(1)AB=3.5，BC=2.5，CA=4，AB=24.5，BC=17.5，CA=28；(2)A=35，B=104，C=44，A=35；(3)AB=3，BC=2.6，B=48，AB=1.5，BC=1.3，B=48分析：(1)中所給出的是兩個(gè)三角形中的六條邊的長(zhǎng)，考慮用“三邊對(duì)

15、應(yīng)成比例”；(2)中給出的是兩個(gè)三角形中的兩組角，考慮用“兩角對(duì)應(yīng)相等”；(3)中給出的是兩個(gè)三角形中的兩組邊、一組角，考慮用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”解：(2)因?yàn)镃=180AB=41，B=180AC=101，所以兩個(gè)三角形中只有A=A，所以ABC與ABC不相似例5、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長(zhǎng)線于F求證：(1)ADFEDB；(2)CD2=DEDF分析：(1)ADF與EDB都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可；(2)注意到CD是斜邊AB的中線，AD=BD=CD，由結(jié)論(1)不難得出結(jié)論(2)證明：(1)DFAB，A

16、DF=BDE=90，又FA=BA， F=B，ADFEDB(2)由(1)得，ADBD=DEDF又CD是RtABC斜邊上的中線， AD=BD=CD故CD2=DEDF點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等這是一道階梯型問(wèn)題，第(2)題根據(jù)(1)得出有關(guān)比例式，然后使用“等線代換”使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲證其實(shí)第(2)題也可這樣思考：把它轉(zhuǎn)化為比例式，證明這三條線段所在的CDEFDC請(qǐng)同學(xué)們完成這一證明例6、如圖，AD是ABC的角平分線，BEAD于E，CFAD于F 求證：分析：待證式中的四條線段不是在兩個(gè)三角形中，無(wú)法直接根據(jù)兩個(gè)三角形相似得出，需要插入一個(gè)“中間比”，由題設(shè)易證ABEACF，B

17、DECDF，從中不難找到這個(gè)中間比證明：AD是ABC的角平分線，1=2BEAD，CFAD，3=4=90，ABEACF，點(diǎn)評(píng)：當(dāng)無(wú)法直接由兩個(gè)三角形相似得出結(jié)論中的比例式時(shí)，一般可尋找“中間比”幫忙；5、相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用例7、如圖所示，D是BC上一點(diǎn)，ABCDBA，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，且AB=28，BC=36，求BEBF解析：BE，BF分別是ABC，ABD中AC，AD邊上的中線，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一組對(duì)應(yīng)邊，因而考慮利用相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比來(lái)解答因?yàn)锳BCDBA，且BC=36，AB=28，所以相似比又因?yàn)锽E，BF分別是ABC，ABD中

18、AC，AD邊上的中線，點(diǎn)撥：利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，注意把相似三角形的對(duì)應(yīng)元素確定準(zhǔn)確例8、如圖所示，PNBC，ADBC，交PN于E，交BC于D分析：首先，先說(shuō)明APN與ABC相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的有關(guān)知識(shí)結(jié)合已知條件，就可求出這三個(gè)問(wèn)題的結(jié)論解：(1)因?yàn)镻NBC，所以可得APNABC又因?yàn)橄嗨迫切蚊娣e比等于相似比的平方，因?yàn)镾ABC=18cm2，所以SAPN=2cm2小結(jié)：兩個(gè)三角形相似，具有的性質(zhì)包括：(1)周長(zhǎng)比等于相似比；(2)對(duì)應(yīng)高(中線、角平分線)的比等于相似比；(3)面積比等于相似比的平方本題的關(guān)鍵是由相似三角形面積的比等于相似比的

19、平方這一性質(zhì)建立比例式，列方程求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想例9、如圖，ABC是一塊直角三角形余料，C=90，AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，試說(shuō)明哪種加工方法的利用率較高分析：此題實(shí)質(zhì)上是比較兩種圖形中正方形的面積的大小，即比較這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的大小解：(1)如圖(1)，設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為x cmEFAC，解之得(2)如圖(2)，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為y cm作CNAB于N，交DG于M由勾股定理得AB=10cm由，得ACBC=ABCNDGAB，CDGCAB(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比)即解之，得由于所以第(1)種加工方法的利用率較高反思：有關(guān)三角形的內(nèi)接正方形

20、、矩形的問(wèn)題的解題方法，通常是利用三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，當(dāng)題目中無(wú)高時(shí)可考慮作適當(dāng)?shù)拇咕€段以幫助解題一、填空題1.如果線段a、b、c、d是成比例線段且a=3，b=4，c=5，則d=_；2.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為45，那么這兩個(gè)相似三角形的相似比為_(kāi)；對(duì)應(yīng)中線的比為_(kāi)；對(duì)應(yīng)角平分線的比為_(kāi)；對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比為_(kāi)；對(duì)應(yīng)面積的比為_(kāi).圖4703.如圖470，線段AC、BD相交于點(diǎn)O，要使AOBDOC，應(yīng)具備條件_，還需要補(bǔ)充的條件是_或_或_.4.兩個(gè)相似三角形的最短邊分別是9 cm和6 cm，它們的周長(zhǎng)和是60 cm，則大三角形的周長(zhǎng)=_cm，小三角形的周長(zhǎng)=_cm.二、選擇題1.兩地實(shí)

21、際距離是500 m，畫(huà)在圖上的距離是25 cm，若在此圖上量得A、B兩地相距為40 cm，則A、B兩地的實(shí)際距離是A.800 mB.8000 mC.32250 cmD.3225 m2.RtABC中，CD是斜邊AB上的高，該圖中共有x個(gè)三角形與ABC相似，x的值為A.1B.2C.3D.43.下列各組三角形中，相似的為A.ABC中，A=35,B=50ABC中，A=35,C=105B.ABC中，AB=1.5，BC=1.25，B=38ABC中，AB=2,BC=,B=38C.ABC中，AB=12，BC=15，AC=26ABC中，AB=20，BC=25，CA=40圖771三、解答題如圖471，已知ADEA

22、BC，AD=3 cm，DB=3 cm，BC=10 cm，A=70、 B=50.求：（1）ADE的度數(shù)；（2）AED的度數(shù)；（3）DE的長(zhǎng).參考答案：一、1.d=2.45 45 45 45 1625.3.AOB=DOC B=C A=D 4.36 cm 24 cm二、1.A 2.B 3.B三、（1）50 （2）60 （3）5 cm相似圖形精選練習(xí)ABCED1、已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E求證：（1）ABCDCB；（2）DEDCAEBD2、如圖，在ABC中，CAB=60，點(diǎn)D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使CDA=ADB=CDB.ABCD求

23、證：線段DA是線段DB、DC的比例中項(xiàng).3、如圖，在RtABC中，ACB=90，邊AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，BGAB，交EF于點(diǎn)GACBGEF求證：CF是EF與FG的比例中項(xiàng)4、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，EAAF，AE交CD的延長(zhǎng)線于E，連結(jié)EF交AD于G.（1）求證：ABF ADE；（2）求證：BFFC DGEC；ADBECF5、如圖3，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE=DF，EDF=A（1）找出圖中相似的三角形，并證明；（2）求證：6、如圖，ABC中D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD，E為垂足，連結(jié)AE.求證：(1) ED=DA；(2)EBAEAB；(3) BE2=ADAC7、如圖ABC中，B=C=（0600）.將一把三角尺中300角頂點(diǎn)P放在BC邊上，當(dāng)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，三角尺中300角的一條邊始終過(guò)點(diǎn)A，另一條邊交AC邊于點(diǎn)Q，P、Q不與三角形頂點(diǎn)重合.設(shè)CPQ=.（1）用、表示1和2；（2）當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，取何值總有ABPPCQ？當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，取何值總有ABPQCP？230oABPCQ1（3）試探索有無(wú)可能使ABP、QPC、ABC兩兩相似？若可能，寫(xiě)出所有、的值